43.1 หลักการบวกและหลักการคูณ
บัตร ATM ใช้รหัสผ่านตัวเลข หลัก ถ้ามีคนลืมรหัสแล้วอยากลองกดทีละรหัสจนกว่าจะเจอ จะต้องลองอย่างมากกี่รหัส ถ้ามีเป็นหมื่นรหัส การเขียนไล่ทีละแบบทั้งช้าและพลาดง่าย หน้านี้ให้เครื่องมือสองตัวที่นับได้โดยไม่ต้องเขียนครบ คือหลักการบวกกับหลักการคูณ ทุกเรื่องที่เหลือในบทนี้สร้างจากสองหลักนี้
เริ่มจากเรื่องใกล้ตัวกว่านั้น โรงอาหารมีอาหารจานเดียวกับก๋วยเตี๋ยว ถ้าเลือกซื้อเพียงอย่างเดียวใช้การบวก แต่ถ้าเลือกอาหารพร้อมเครื่องดื่มต้องจับคู่ทุกทาง จึงใช้การคูณ ความต่างอยู่ที่คำว่า หรือ กับคำว่า และ ในสิ่งที่เราทำจริง
เลือกอย่างใดอย่างหนึ่งใช้หลักการบวก
หลักการบวก
ถ้าวิธีทำแบ่งเป็นกรณีที่ไม่ทับซ้อนกัน มี วิธีในกรณีแรกและ วิธีในกรณีที่สอง รวมมี วิธี ถ้ากรณีทับซ้อนต้องหักส่วนที่นับซ้ำก่อน
คำว่าไม่ทับซ้อนหมายความว่าผลลัพธ์หนึ่งแบบอยู่ได้เพียงกรณีเดียว เช่นจานที่เลือกเป็นอาหารจานเดียวก็ไม่ใช่ก๋วยเตี๋ยว การบวกจึงนับผลลัพธ์ทุกแบบครั้งเดียวพอดี และใช้กับกรณีมากกว่าสองกรณีได้ด้วย
ตัวอย่าง 1
อาหารจานเดียว แบบกับก๋วยเตี๋ยว แบบ เลือกอาหารหนึ่งจานได้กี่วิธี
- สองหมวดไม่ทับซ้อนและไม่ได้เลือกทั้งสองหมวด
- รวม วิธี
ถ้ากรณีทับกัน ผลลัพธ์ที่อยู่ในทั้งสองกรณีจะถูกนับสองครั้ง ต้องลบออกหนึ่งครั้ง ตัวอย่างถัดไปแสดงว่าถ้าลืมขั้นนี้ คำตอบจะเกินจริงเท่าไร
ตัวอย่าง 2
ชมรมคณิตศาสตร์มีสมาชิก คน ชมรมวิทยาศาสตร์มีสมาชิก คน และมี คนที่เป็นสมาชิกทั้งสองชมรม ครูจะเลือกนักเรียนหนึ่งคนจากสมาชิกของสองชมรมนี้ไปเป็นพิธีกร เลือกได้กี่วิธี
- ถ้าบวกตรงๆ ได้ แต่ คนที่อยู่ทั้งสองชมรมถูกนับทั้งในชมรมแรกและชมรมที่สอง จึงถูกนับคนละสองครั้ง
- หักส่วนที่นับซ้ำออกหนึ่งครั้ง ได้ วิธี
- ตรวจด้วยสามกลุ่มที่ไม่ทับกันจริง คณิตอย่างเดียว คน วิทย์อย่างเดียว คน ทั้งสองชมรม คน รวม ตรงกัน
ทำต่อเนื่องหลายขั้นใช้หลักการคูณ
คราวนี้งานไม่ได้จบในการเลือกครั้งเดียว ต้องทำขั้นแรกแล้วทำขั้นที่สองต่อ ลองดูการแต่งชุดกีฬาสีที่มีเสื้อ สีคือแดง ฟ้า เหลือง และกางเกง แบบคือขาสั้นกับขายาว ก่อนใช้สูตร ให้วาดแผนภาพต้นไม้ โดยแตกกิ่งตามขั้นตอน ขั้นแรกแตกเป็นสีเสื้อ แล้วจากปลายกิ่งเสื้อแต่ละสีแตกต่อเป็นแบบกางเกง
สองกิ่งที่ต่างกันต้องต่างกันที่เสื้อหรือกางเกง การนับปลายกิ่งจึงเท่ากับการนับชุด ขั้นแรกมี กิ่ง และทุกกิ่งแตกต่อเท่ากันคือ กิ่ง ปลายกิ่งจึงมี กิ่ง การคูณคือการบวกจำนวนที่เท่ากันซ้ำๆ แบบย่อนั่นเอง
หลักการคูณ
ถ้างานหนึ่งทำเป็นสองขั้นต่อเนื่อง ขั้นแรกทำได้ วิธี และไม่ว่าขั้นแรกทำแบบใด ขั้นที่สองทำได้ วิธีเสมอ งานนี้ทำได้ วิธี ใช้กับงานหลายขั้นได้โดยคูณต่อกันไป
แผนภาพต้นไม้ช่วยตรวจว่าทุกกิ่งมีจำนวนทางเท่ากันหรือไม่ ถ้าไม่เท่ากันให้แยกกรณีแล้วบวกผลคูณ ไม่ฝืนใช้ผลคูณเดียว เงื่อนไขสำคัญจึงอยู่ที่คำว่าเสมอ ตัวเลือกในขั้นที่สองอาจเปลี่ยนหน้าตาไปตามขั้นแรกได้ แต่จำนวนต้องเท่าเดิม
ตัวอย่าง 3
เสื้อกีฬามี สี กางเกง แบบ รองเท้า แบบ จัดชุดได้กี่วิธี
- เลือกเสื้อแล้วกางเกงแล้วรองเท้า แต่ละขั้นมีทางเลือกเท่ากันทุกกรณี เพราะรองเท้าทั้งสองแบบใส่กับชุดไหนก็ได้
- ต่อจากต้นไม้ในรูป ปลายกิ่งทั้ง กิ่งแตกต่ออีกกิ่งละ จึงมี ชุด
ตัวอย่าง 4
กลับมาที่รหัส ATM หลักที่ใช้เลข ถึง (1) ถ้าเลขซ้ำกันได้ ตั้งรหัสได้กี่แบบ (2) ถ้าธนาคารห้ามใช้เลขซ้ำ ตั้งได้กี่แบบ
- มองการตั้งรหัสเป็นงานสี่ขั้น คือเลือกหลักที่หนึ่ง สอง สาม สี่ ตามลำดับ
- ข้อ (1) ทุกหลักเลือกได้ ทาง ไม่ว่าหลักก่อนหน้าจะเป็นอะไร จึงได้ แบบ ตรงกับการนับ ถึง
- ข้อ (2) หลักแรกเลือกได้ ทาง หลักที่สองต้องไม่ซ้ำหลักแรก จึงเหลือ ทาง หลักที่สามเหลือ หลักที่สี่เหลือ
- ตัวเลขที่เหลือให้เลือกเปลี่ยนไปตามหลักก่อนหน้า แต่จำนวนที่เหลือเท่ากันทุกกิ่ง จึงยังใช้หลักการคูณได้ ได้ แบบ
ลองคิดก่อน
รหัสสองหลักใช้เลข ถึง ห้ามซ้ำ จะมี รหัสหรือไม่
ดูคำตอบ
หลักแรกเลือกได้สิบ แต่หลักหลังเหลือเก้าเพราะห้ามซ้ำ จึงต้องใช้สิบคูณเก้า ได้ รหัส เงื่อนไขหลังเลือกมีผลกับจำนวนทางในขั้นถัดไป
ลองคิดก่อน
ไปโรงเรียนได้ด้วยรถเมล์ สาย หรือรถสองแถว สาย โดยขึ้นคันเดียวถึงโรงเรียน เพื่อนตอบว่ามี วิธี ถูกหรือไม่
ดูคำตอบ
ไม่ถูก การไปโรงเรียนครั้งหนึ่งขึ้นรถเมล์หรือขึ้นสองแถวอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่ได้ขึ้นทั้งสองต่อกัน จึงต้องบวก ได้ วิธี การคูณใช้เมื่อต้องทำทั้งสองขั้นต่อกัน เช่นนั่งรถเมล์แล้วต่อสองแถว จึงจะได้ วิธี
นับจำนวนที่มีเงื่อนไขในบางหลัก
โจทย์นับจำนวนเต็มหลายหลักมักมีเงื่อนไขสองแบบปนกัน คือหลักแรกห้ามเป็นศูนย์ เพราะ คือจำนวนสองหลัก และบางหลักต้องเป็นเลขกลุ่มหนึ่ง เช่นหลักหน่วยต้องเป็นเลขคู่ หลักคิดที่ใช้ได้เกือบทุกข้อคือเลือกหลักที่มีเงื่อนไขก่อน แล้วค่อยเลือกหลักอิสระ
ตัวอย่าง 5
ใช้เลขโดด ถึง สร้างจำนวนสามหลักที่เลขโดดไม่ซ้ำกันได้กี่จำนวน
- หลักร้อยมีเงื่อนไข คือห้ามเป็นศูนย์ จึงเลือกก่อน ได้ ทาง คือ ถึง
- หลักสิบเลือกจากเลขที่เหลือ ตัว ศูนย์กลับมาใช้ได้ที่หลักนี้ แต่เลขที่ใช้ในหลักร้อยใช้ซ้ำไม่ได้ จึงได้ ทาง
- หลักหน่วยเหลือ ทาง รวม จำนวน
- ถ้าเริ่มจากหลักหน่วย หลักร้อยจะเหลือ หรือ ทางแล้วแต่ว่าศูนย์ถูกใช้ไปหรือยัง ใช้ผลคูณเดียวไม่ได้
ข้อถัดไปมีเงื่อนไขสองหลักพร้อมกัน และเงื่อนไขทั้งสองแย่งเลขศูนย์กัน ศูนย์เป็นเลขคู่จึงอยู่หลักหน่วยได้ แต่ถ้าศูนย์อยู่หลักหน่วยแล้ว หลักร้อยจะไม่ต้องกันศูนย์อีก ทางเลือกของหลักร้อยจึงไม่เท่ากันทุกกิ่ง ต้องแยกกรณี
ตัวอย่าง 6
ใช้เลขโดด ถึง สร้างจำนวนคู่สามหลักที่เลขโดดไม่ซ้ำกันได้กี่จำนวน
- จำนวนคู่คือหลักหน่วยเป็น แยกกรณีตามหลักหน่วย เพราะศูนย์ทำให้หลักร้อยมีทางเลือกต่างจากเลขคู่ตัวอื่น
- กรณีหลักหน่วยเป็น หลักร้อยเลือกจาก ถึง ได้ ทาง หลักสิบเหลือ ทาง ได้ จำนวน
- กรณีหลักหน่วยเป็น มี ทาง หลักร้อยห้ามเป็นศูนย์และห้ามซ้ำหลักหน่วย เหลือ ทาง หลักสิบใช้ศูนย์ได้แต่ห้ามซ้ำสองหลักที่ใช้แล้ว เหลือ ทาง ได้ จำนวน
- สองกรณีไม่ทับกัน เพราะหลักหน่วยเป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์อย่างใดอย่างหนึ่ง รวม จำนวน
แยกกรณีเมื่อทางเลือกไม่เท่ากัน
หลักการคูณไม่ต้องหมายความว่าทุกขั้นเป็นอิสระในความหมายของความน่าจะเป็น แต่จำนวนทางเลือกในขั้นถัดไปต้องถูกนับตามเงื่อนไขจริง ถ้าบางกิ่งมีจำนวนทางต่างกันให้แยกกลุ่มกิ่งที่เหมือนกันก่อน แล้วบวกผลคูณ แต่ละผลลัพธ์สุดท้ายต้องอยู่ในกรณีใดกรณีหนึ่งเพียงครั้งเดียว ตัวอย่างที่ 6 ใช้วิธีนี้แล้ว ข้อนี้เป็นอีกแบบที่เจอในร้านอาหาร
ตัวอย่าง 7
ร้านมีชุดข้าว แบบ แต่ละแบบเลือกน้ำได้ แบบ กับชุดเส้น แบบ แต่ละแบบเลือกน้ำได้ แบบ เลือกชุดอาหารพร้อมน้ำได้กี่วิธี
- กรณีชุดข้าวมี วิธี
- กรณีชุดเส้นมี วิธี
- สองกรณีไม่ทับกันจึงรวม วิธี ไม่คูณอาหารห้าแบบกับน้ำห้าแบบ
ตรวจวิธีคิด
เขียนแผนภาพต้นไม้ตรวจได้ว่าชุดอาหารหนึ่งชุดปรากฏครั้งเดียวหรือไม่ ถ้าเพิ่มเงื่อนไขห้ามเครื่องดื่มบางชนิด ต้องตัดเฉพาะกิ่งที่ผิดเงื่อนไข ไม่ลดทุกกรณีเท่ากันโดยไม่มีเหตุผล
สรุป
- บวกกรณีที่ไม่ทับกัน ถ้ากรณีทับกันต้องหักส่วนที่นับซ้ำ
- คูณขั้นตอนที่ทำต่อเนื่อง เมื่อจำนวนทางในแต่ละขั้นเท่ากันทุกกิ่ง
- แผนภาพต้นไม้ใช้ตรวจว่าทุกกิ่งแตกเท่ากันหรือไม่ ถ้าไม่เท่าให้แยกกรณี
- เลือกหลักหรือตำแหน่งที่มีเงื่อนไขก่อนหลักอิสระ
- ตรวจข้อห้ามและการนับซ้ำก่อนใช้สูตร
ในตัวอย่างรหัสที่ห้ามซ้ำ เราได้ผลคูณที่ลดลงทีละหนึ่ง รูปแบบนี้เกิดทุกครั้งที่หยิบของต่างกันมาวางเรียงตำแหน่งโดยไม่ใส่คืน หน้า 43.2 จะตั้งชื่อและเขียนสูตรให้รูปแบบนี้