descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 18 เส้นขนานตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 3

18.1 เส้นขนานและมุมภายใน

ช่างติดชั้นวางของสองแผ่นบนผนังห้อง อยากให้ชั้นทั้งสองขนานกัน ถ้าชั้นเอียงเข้าหากันนิดเดียว ของที่วางชิดผนังจะไหลไปกองอีกด้าน แต่ช่างต่อชั้นให้ยาวไม่สิ้นสุดเพื่อดูว่ามันตัดกันหรือไม่ไม่ได้ หน้านี้จะหาวิธีตรวจด้วยการวัดมุมแค่สองมุม

เส้นขนานคืออะไร

นิยาม

เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกัน

ถ้า AB↔\overleftrightarrow{AB} ขนานกับ CD↔\overleftrightarrow{CD} เขียนว่า AB↔∥CD↔\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD} ในรูปนิยมเขียนหัวลูกศรเล็กๆ บนเส้นทั้งสองเพื่อบอกว่าขนานกัน ส่วนของเส้นตรงหรือรังสีขนานกันเมื่อเส้นตรงที่บรรจุมันขนานกัน เช่นขอบบนกับขอบล่างของกระดาน

เส้นขนานคู่หนึ่งห่างกันเท่ากันตลอด ถ้าวัดระยะในแนวที่ตั้งฉากกับเส้นทั้งสอง จะได้ระยะเท่ากันไม่ว่าวัดตรงไหน รางรถไฟจึงต้องขนานกัน ล้อรถไฟสองข้างจะได้วิ่งบนรางพอดีตลอดทาง

ลองคิดก่อน

เส้นตรงสองเส้นในกระดาษแผ่นหนึ่งไม่ตัดกันภายในขอบกระดาษ แบบนี้ขนานกันแน่หรือไม่

ดูคำตอบ

ยังสรุปไม่ได้ เส้นตรงยาวต่อไปได้ไม่สิ้นสุด สองเส้นอาจเอียงเข้าหากันนิดเดียวแล้วไปตัดกันไกลจากขอบกระดาษมาก การมองด้วยตาจึงใช้ตัดสินไม่ได้ ต้องมีเหตุผลหรือการวัดมายืนยัน ซึ่งเป็นเรื่องของหน้านี้

ต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน

เส้นขอบเพดานด้านหน้าห้องกับเส้นขอบพื้นด้านข้างห้องไม่ตัดกันเลย แต่ไม่ได้ขนานกัน เพราะไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน ในบทนี้เส้นทุกเส้นอยู่บนระนาบเดียวกันเสมอ

เส้นตัดกับมุมแปดมุม

เส้นตรงที่ตัดเส้นตรงตั้งแต่สองเส้นขึ้นไป ที่จุดตัดต่างกัน เรียกว่าเส้นตัด ในรูปข้างล่าง EF↔\overleftrightarrow{EF} เป็นเส้นตัดที่ตัด AB↔\overleftrightarrow{AB} และ CD↔\overleftrightarrow{CD} ทำให้เกิดมุมจุดตัดละสี่มุม รวมแปดมุม ในบทนี้จะเรียกมุมเหล่านี้ว่า 1^\hat{1} ถึง 8^\hat{8}

12345678ABCDEF
มุม 1 ถึง 4 อยู่ที่จุดตัดบน มุม 5 ถึง 8 อยู่ที่จุดตัดล่าง

แบ่งมุมตามตำแหน่งได้สองกลุ่ม

  • มุมภายใน คือมุมที่อยู่ระหว่าง AB↔\overleftrightarrow{AB} กับ CD↔\overleftrightarrow{CD} ได้แก่ 3^\hat{3} 4^\hat{4} 5^\hat{5} และ 6^\hat{6}
  • มุมภายนอก คือมุมที่อยู่นอกแนวของเส้นทั้งสอง ได้แก่ 1^\hat{1} 2^\hat{2} 7^\hat{7} และ 8^\hat{8}

มุมภายในสองมุมที่อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด เรียกว่ามุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีสองคู่ คือ 3^\hat{3} กับ 5^\hat{5} ทางซ้ายของ EF↔\overleftrightarrow{EF} และ 4^\hat{4} กับ 6^\hat{6} ทางขวา

12345678ABCDEF
มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด คู่สีส้มอยู่ทางซ้าย คู่สีเขียวอยู่ทางขวา

ชื่อเหล่านี้บอกแค่ตำแหน่งของมุม ใช้ได้แม้ AB↔\overleftrightarrow{AB} กับ CD↔\overleftrightarrow{CD} ไม่ขนานกัน

ทบทวนมุมที่จุดตัดจุดเดียว

ก่อนจะเทียบมุมที่จุดตัดสองจุด ต้องคล่องเรื่องมุมสี่มุมที่จุดตัดจุดเดียวก่อน ใช้สองข้อนี้ตลอดบท

  • มุมสองมุมที่อยู่ติดกันบนเส้นตรง ประกอบกันเป็นมุมตรง จึงรวมกันได้ 180∘180^\circ เช่น 1^+2^=180∘\hat{1} + \hat{2} = 180^\circ
  • เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน เช่น 1^=4^\hat{1} = \hat{4} และ 2^=3^\hat{2} = \hat{3}

เหตุผลของข้อที่สองมาจากข้อแรก 1^+2^=180∘\hat{1} + \hat{2} = 180^\circ และ 2^+4^=180∘\hat{2} + \hat{4} = 180^\circ ทั้งสองคู่มี 2^\hat{2} อยู่ด้วยและรวมกันได้เท่ากัน จึงได้ 1^=4^\hat{1} = \hat{4}

ตัวอย่าง 1

เส้นตรงสองเส้นตัดกันดังรูป หาขนาดของมุม aa bb และ cc

65°abc
มุมหนึ่งมีขนาด 65°
  1. aa กับมุม 65∘65^\circ อยู่ติดกันบนเส้นตรง จึงได้ a=180∘−65∘=115∘a = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ
  2. bb เป็นมุมตรงข้ามกับมุม 65∘65^\circ จึงได้ b=65∘b = 65^\circ
  3. cc เป็นมุมตรงข้ามกับ aa จึงได้ c=115∘c = 115^\circ
  4. ตรวจ มุมรอบจุดหนึ่งจุดรวมกันได้ 360∘360^\circ และ 65∘+115∘+65∘+115∘=360∘65^\circ + 115^\circ + 65^\circ + 115^\circ = 360^\circ

ที่จุดตัดหนึ่งจุด รู้มุมเดียวก็หาอีกสามมุมได้ คำถามต่อไปคือ ถ้ารู้มุมที่จุดตัดบน จะรู้มุมที่จุดตัดล่างด้วยหรือไม่

มุมภายในบนข้างเดียวกันรวมกันได้เท่าไร

ลากจุดสีส้มเพื่อหมุนเส้นตัด แล้วดูผลบวกของ 3^\hat{3} กับ 5^\hat{5} ตอนที่เส้นทั้งสองขนานกัน จากนั้นเลื่อนแถบเพื่อเอียงเส้นล่าง แล้วดูว่าผลบวกเปลี่ยนไปอย่างไร

ติ๊กช่องแสดงขนาดมุมเพื่อดูตัวเลข เมื่อเส้นล่างไม่เอียง 3^+5^\hat{3} + \hat{5} เป็นเท่าไรเสมอ

ตอนที่เส้นทั้งสองขนานกัน ไม่ว่าหมุนเส้นตัดไปทางไหน 3^+5^\hat{3} + \hat{5} และ 4^+6^\hat{4} + \hat{6} ได้ 180∘180^\circ ทุกครั้ง พอเอียงเส้นล่าง ผลบวกก็ไม่เป็น 180∘180^\circ อีกต่อไป

ทฤษฎีบท

  1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180∘180^\circ
  2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180∘180^\circ แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน

ข้อ 1 ใช้หาขนาดของมุมเมื่อรู้ว่าเส้นขนานกัน ข้อ 2 ใช้ตรวจว่าเส้นขนานกันหรือไม่ ทั้งสองข้อไม่ใช่ข้อความเดียวกัน ต้องเลือกใช้ให้ถูกกับสิ่งที่โจทย์ให้มา

ทำไมต้องเป็น 180°

ดูกรณีที่ผลบวกไม่ถึง 180∘180^\circ ในรูปข้างล่าง มุมภายในทางขวารวมกันได้ 110∘+50∘=160∘110^\circ + 50^\circ = 160^\circ เส้นทั้งสองเอียงเข้าหากันทางขวาและพบกันที่จุด PP ส่วนทางซ้าย มุมภายในรวมกันได้ 70∘+130∘=200∘70^\circ + 130^\circ = 200^\circ เกิน 180∘180^\circ เส้นทั้งสองจึงแยกห่างออกจากกันทางซ้าย

110°50°P
ผลบวกของมุมภายในทางขวาเป็น 160° เส้นทั้งสองจึงพบกันทางขวา

มุมภายในทั้งสี่มุมรวมกันได้ 360∘360^\circ เสมอ เพราะแต่ละจุดตัดมีมุมตรงหนึ่งมุม ถ้าข้างหนึ่งน้อยกว่า 180∘180^\circ อีกข้างต้องมากกว่า เส้นจะพบกันทางข้างที่น้อยกว่า เส้นไม่พบกันทั้งสองทางได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองข้างเท่ากับ 180∘180^\circ พอดี

ตัวอย่าง 2

กำหนดให้ AB↔∥CD↔\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD} มี EF↔\overleftrightarrow{EF} เป็นเส้นตัดดังรูปมุมแปดมุมข้างบน ถ้า 4^=115∘\hat{4} = 115^\circ หาขนาดของ 6^\hat{6} และ 5^\hat{5}

  1. 4^\hat{4} กับ 6^\hat{6} เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และเส้นทั้งสองขนานกัน จึงได้ 6^=180∘−115∘=65∘\hat{6} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ
  2. 5^\hat{5} กับ 6^\hat{6} อยู่ติดกันบนเส้นตรง CD↔\overleftrightarrow{CD} จึงได้ 5^=180∘−65∘=115∘\hat{5} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ
  3. ตรวจด้วยอีกทาง 3^=180∘−4^=65∘\hat{3} = 180^\circ - \hat{4} = 65^\circ และ 3^+5^=65∘+115∘=180∘\hat{3} + \hat{5} = 65^\circ + 115^\circ = 180^\circ ตรงตามทฤษฎีบท

ตัวอย่าง 3

ช่างใช้ไม้เฉียงหนึ่งแผ่นยึดชั้นวางสองชั้น แล้ววัดมุมที่ไม้เฉียงทำกับชั้นทั้งสองทางด้านซ้ายของไม้เฉียง ได้มุมใต้ชั้นบน 128∘128^\circ และมุมเหนือชั้นล่าง 52∘52^\circ ชั้นทั้งสองขนานกันหรือไม่ ถ้าวัดมุมเหนือชั้นล่างได้ 50∘50^\circ แทน จะเป็นอย่างไร

  1. ไม้เฉียงคือเส้นตัด มุมใต้ชั้นบนกับมุมเหนือชั้นล่างอยู่ระหว่างชั้นทั้งสอง และอยู่ทางซ้ายของไม้เฉียงทั้งคู่ จึงเป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด
  2. 128∘+52∘=180∘128^\circ + 52^\circ = 180^\circ ตามทฤษฎีบทข้อ 2 ชั้นทั้งสองขนานกัน
  3. ถ้าได้ 50∘50^\circ จะได้ 128∘+50∘=178∘128^\circ + 50^\circ = 178^\circ ไม่เท่ากับ 180∘180^\circ ชั้นทั้งสองไม่ขนานกัน และเพราะผลบวกน้อยกว่า 180∘180^\circ ชั้นจะเอียงเข้าหากันทางด้านซ้าย

ลองคิดก่อน

เพื่อนวัดได้ 3^=5^\hat{3} = \hat{5} แล้วสรุปว่า AB↔∥CD↔\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD} เพราะมุมคู่นี้เท่ากัน เพื่อนสรุปถูกหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ถูก มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดต้องรวมกันได้ 180∘180^\circ ไม่ใช่เท่ากัน ถ้าเส้นขนานกันจริง 3^\hat{3} กับ 5^\hat{5} จะเท่ากันได้แค่กรณีเดียว คือมุมละ 90∘90^\circ ซึ่งเส้นตัดตั้งฉากกับเส้นทั้งสอง เช่นถ้าวัดได้มุมละ 70∘70^\circ ผลบวกเป็น 140∘140^\circ เส้นทั้งสองไม่ขนานกัน

กรณีมุมฉากนี้ให้ผลที่ใช้บ่อย ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตั้งฉากกับเส้นใดเส้นหนึ่งในเส้นขนานคู่หนึ่ง มุมภายในอีกมุมต้องเป็น 180∘−90∘=90∘180^\circ - 90^\circ = 90^\circ เส้นนั้นจึงตั้งฉากกับอีกเส้นด้วย หมอนรถไฟที่วางตั้งฉากกับรางหนึ่งจึงตั้งฉากกับอีกรางด้วย

สรุป

  • เส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกันขนานกันก็ต่อเมื่อไม่ตัดกัน เขียนแทนด้วย ∥\parallel
  • เส้นตัดทำให้เกิดมุมแปดมุม มุมภายในอยู่ระหว่างเส้นทั้งสอง มุมภายนอกอยู่นอกเส้นทั้งสอง
  • มุมติดกันบนเส้นตรงรวมกัน 180∘180^\circ มุมตรงข้ามเท่ากัน
  • เส้นขนานกันก็ต่อเมื่อมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้ 180∘180^\circ
  • ผลบวกน้อยกว่า 180∘180^\circ ทางไหน เส้นพบกันทางนั้น