46.1 ลิมิตและความต่อเนื่อง

รถคันหนึ่งออกตัวจากไฟแดง ระยะทางที่วิ่งได้หลังผ่านไป $t$ วินาทีคือ $s(t) = 5t^2$ เมตร เข็มไมล์ที่วินาทีที่ $2$ ชี้ความเร็วเท่าไร สูตรความเร็วที่เรียนมาคือระยะทางหารเวลา ซึ่งต้องใช้สองเวลา แต่คำถามถามความเร็วที่เวลาเดียว ถ้าแทนช่วงเวลาเป็นศูนย์ตรงๆ ก็ได้ศูนย์หารศูนย์ ซึ่งไม่ได้บอกอะไรเลย

ทางออกคือหาความเร็วเฉลี่ยในช่วงสั้นลงเรื่อยๆ จากวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $2 + h$ รถวิ่งได้ $5(2+h)^2 - 20$ เมตร ความเร็วเฉลี่ยคือระยะนี้หารด้วย $h$

ความยาวช่วง $h$ (วินาที)	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
ความเร็วเฉลี่ย (เมตรต่อวินาที)	$25$	$20.5$	$20.05$	$20.005$

ยิ่งช่วงสั้น ความเร็วเฉลี่ยยิ่งเข้าใกล้ $20$ เราจึงตอบว่าเข็มไมล์ชี้ $20$ เมตรต่อวินาที ทั้งที่ไม่เคยแทน $h = 0$ เลย ค่าที่ตัวเลขเข้าใกล้แบบนี้เรียกว่าลิมิต หน้านี้จะหาลิมิตให้เป็นระบบ แล้วใช้ลิมิตตอบคำถามว่ากราฟขาดตอนที่จุดไหนบ้าง

ลิมิตคือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้

นิยาม

$\lim_{x\to a} f(x) = L$ หมายความว่า เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ มากพอ โดยที่ $x \ne a$ ค่า $f(x)$ จะเข้าใกล้ $L$ ได้มากเท่าที่ต้องการ

คำว่า $x \ne a$ สำคัญมาก ลิมิตไม่สนใจว่า $f(a)$ เป็นเท่าไร หรือมีค่าหรือไม่ สนใจแค่ค่ารอบๆ จุดนั้น ตัวอย่างความเร็วข้างบนก็เป็นแบบนี้ สูตรความเร็วเฉลี่ยไม่มีค่าที่ $h = 0$ แต่ลิมิตยังหาได้

วิธีแรกที่ใช้ได้เสมอคือทำตารางค่า เลือก $x$ ที่ใกล้ $a$ ทั้งจากด้านน้อยกว่าและด้านมากกว่า แล้วดูว่า $f(x)$ ไปทางไหน วิธีนี้ช้าและไม่ใช่การพิสูจน์ แต่ช่วยให้เห็นภาพก่อนคำนวณด้วยพีชคณิต

ตัวอย่าง 1

ใช้ตารางค่าประมาณ $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1}$

แทน $x = 1$ ตรงๆ ได้ $\tfrac{0}{0}$ จึงยังตอบไม่ได้ ต้องดูค่ารอบๆ หนึ่งแทน
ด้านที่น้อยกว่าหนึ่ง $x = 0.9$ $0.99$ $0.999$ ให้ค่า $2.9$ $2.99$ $2.999$
ด้านที่มากกว่าหนึ่ง $x = 1.1$ $1.01$ $1.001$ ให้ค่า $3.1$ $3.01$ $3.001$
ทั้งสองด้านเข้าใกล้ $3$ จึงคาดว่าลิมิตเท่ากับ $3$ หัวข้อถัดไปจะยืนยันด้วยการแยกตัวประกอบ

ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา

ในตารางของตัวอย่างที่ 1 เราแยกดูสองด้าน เพราะบางฟังก์ชันให้ค่าต่างกันตามทิศที่เดินเข้าหา เขียน $\lim_{x\to a^-} f(x)$ แทนลิมิตซ้าย คือ $x$ เข้าใกล้ $a$ จากด้านที่น้อยกว่า และ $\lim_{x\to a^+} f(x)$ แทนลิมิตขวา คือเข้าใกล้จากด้านที่มากกว่า

สมบัติ

$\lim_{x\to a} f(x)$ มีค่าเท่ากับ $L$ ก็ต่อเมื่อ ลิมิตซ้ายและลิมิตขวามีค่า และเท่ากับ $L$ ทั้งคู่ ถ้าลิมิตซ้ายกับขวาต่างกันจะไม่มีลิมิตสองด้าน

ฟังก์ชันที่มักต้องแยกด้านคือฟังก์ชันที่กำหนดเป็นช่วง และสูตรที่มีค่าสัมบูรณ์ เพราะสูตรที่ใช้จริงเปลี่ยนเมื่อข้ามจุดนั้น วิธีที่ปลอดภัยคือเขียนสูตรของแต่ละด้านก่อน แล้วค่อยหาลิมิตของสูตรด้านนั้น

ตัวอย่าง 2

(1) กำหนด $f(x) = x^2$ เมื่อ $x$ น้อยกว่า $2$ และ $f(x) = x + 3$ เมื่อ $x \ge 2$ หา $\lim_{x\to 2} f(x)$

(2) พิจารณา $g(x) = \dfrac{|x|}{x}$ เมื่อ $x \ne 0$ ลิมิตที่ศูนย์มีหรือไม่

ข้อ (1) ด้านซ้ายของ $2$ ใช้สูตร $x^2$ จึงได้ลิมิตซ้าย $2^2 = 4$ ด้านขวาใช้สูตร $x + 3$ ได้ลิมิตขวา $2 + 3 = 5$
ลิมิตซ้ายกับขวาไม่เท่ากัน กราฟกระโดดจาก $4$ ขึ้นไป $5$ ที่ $x = 2$ จึงไม่มี $\lim_{x\to 2} f(x)$
ข้อ (2) เมื่อ $x$ มากกว่าศูนย์ $|x| = x$ จึง $g(x) = 1$ เมื่อ $x$ น้อยกว่าศูนย์ $|x| = -x$ จึง $g(x) = -1$
ลิมิตขวาเป็น $1$ ลิมิตซ้ายเป็น $-1$ ต่างกัน จึงไม่มีลิมิตสองด้าน ไม่ว่าจะกำหนดค่าที่ศูนย์เท่าไร

รูปแบบศูนย์หารศูนย์ต้องจัดรูปก่อน

พหุนามหาลิมิตได้ด้วยการแทนค่าตรงๆ เช่น $\lim_{x\to 3}(x^2 - 2x) = 9 - 6 = 3$ เศษส่วนของพหุนามก็แทนได้ถ้าตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ปัญหาเกิดเมื่อแทนแล้วได้ $\tfrac{0}{0}$ ซึ่งแปลว่าทั้งเศษและส่วนมีตัวประกอบที่เป็นศูนย์ที่จุดนั้นอยู่ด้วยกัน ต้องหาตัวประกอบนั้นแล้วตัดออก

การตัดทำได้เพราะลิมิตดูเฉพาะ $x \ne a$ เมื่อ $x \ne a$ ตัวประกอบ $x - a$ ไม่เป็นศูนย์ จึงหารได้ตามปกติ แต่การตัดไม่ได้เปลี่ยนโดเมนของฟังก์ชันเดิม ฟังก์ชันเดิมยังไม่นิยามที่ $a$ เหมือนเดิม

ตัวอย่าง 3

หา $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$

แทน $x = 2$ ได้ $\tfrac{0}{0}$ แปลว่าเศษมีตัวประกอบ $x - 2$ ซ่อนอยู่
แยกตัวประกอบ $x^2-4=(x-2)(x+2)$ เมื่อ $x\ne2$ ตัด $x - 2$ ได้ $\dfrac{x^2-4}{x-2} = x + 2$
ฟังก์ชัน $x + 2$ เป็นพหุนาม แทนค่าได้ ลิมิตจึงเท่ากับ $2+2=4$ แม้เศษส่วนเดิมไม่นิยามที่ $2$

ถ้าตัวประกอบที่เป็นศูนย์ซ่อนอยู่ในรากที่สอง การแยกตัวประกอบธรรมดาทำไม่ได้ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุค คือเปลี่ยนเครื่องหมายระหว่างสองพจน์ เช่นสังยุคของ $\sqrt{x} - 2$ คือ $\sqrt{x} + 2$ ผลคูณของคู่สังยุคเป็นผลต่างกำลังสอง รากจึงหายไป

ตัวอย่าง 4

หา $\lim_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

แทน $x = 4$ ได้ $\tfrac{2-2}{0} = \tfrac{0}{0}$ ต้องจัดรูป
คูณเศษและส่วนด้วย $\sqrt{x} + 2$ เศษกลายเป็น $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = x - 4$
ได้ $\dfrac{x - 4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$ เมื่อ $x \ne 4$ ตัด $x - 4$ เหลือ $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$
แทน $x = 4$ ได้ $\dfrac{1}{2+2} = \dfrac{1}{4}$ ค่านี้จะกลับมาอีกครั้งในหน้า 46.2 เป็นความชันของกราฟ $y = \sqrt{x}$ ที่ $x = 4$

ลองคิดก่อน

แทนค่าแล้วได้ $0/0$ จึงสรุปว่าลิมิตเป็นศูนย์ได้หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ได้ $\tfrac{0}{0}$ บอกแค่ว่าการแทนค่าตรงๆ ยังตอบไม่ได้ ในตัวอย่างที่ 3 ลิมิตเป็น $4$ ในตัวอย่างที่ 4 เป็น $\tfrac{1}{4}$ ทั้งที่แทนค่าแล้วได้ $\tfrac{0}{0}$ เหมือนกัน ต้องแยกตัวประกอบหรือคูณสังยุคก่อน และบางกรณีอาจไม่มีลิมิตเลย

ความต่อเนื่องสามเงื่อนไข

กราฟที่ลากได้ด้วยปากกาโดยไม่ยกมือเรียกว่ากราฟต่อเนื่อง กราฟจะขาดที่จุดใดจุดหนึ่งได้สามแบบ คือมีรูเพราะฟังก์ชันไม่มีค่าที่จุดนั้น กระโดดเพราะสองด้านไปคนละที่ หรือมีจุดหลุดออกไปเพราะค่าที่จุดนั้นไม่ตรงกับที่สองด้านเข้าหา นิยามจึงต้องกันทั้งสามแบบ

สมบัติ

$f$ ต่อเนื่องที่ $a$ เมื่อครบสามเงื่อนไข (1) $f(a)$ นิยาม (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ มีค่า (3) $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$

ในชีวิตจริงเจอฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบ่อย เช่นค่าส่งพัสดุที่คิดเป็นขั้นตามน้ำหนัก ของหนักขึ้นนิดเดียวแต่ข้ามขั้นราคาก็กระโดดทันที ส่วนพหุนามต่อเนื่องทุกจุด และเศษส่วนของพหุนามต่อเนื่องทุกจุดที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง 5

กำหนด $f(x)=x+1$ เมื่อ $x\ne1$ และ $f(1)=5$ ต่อเนื่องที่หนึ่งหรือไม่

เงื่อนไข (1) ผ่าน เพราะโจทย์กำหนด $f(1) = 5$ ไว้
เงื่อนไข (2) ผ่าน ค่ารอบหนึ่งใช้สูตร $x + 1$ ทั้งสองด้าน จึงเข้าใกล้ $2$ ทั้งสองด้าน
เงื่อนไข (3) ไม่ผ่าน เพราะ $f(1)=5$ ต่างจากลิมิต $2$ จึงไม่ต่อเนื่อง ถ้าเปลี่ยนค่าที่จุดนั้นเป็น $f(1) = 2$ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องทันที

รูแก้ได้ แต่การกระโดดแก้ไม่ได้

ความไม่ต่อเนื่องแบบรูหรือจุดหลุด อย่างในตัวอย่างที่ 5 แก้ได้ด้วยการเปลี่ยนค่าเพียงจุดเดียว แต่การกระโดดที่ลิมิตซ้ายขวาต่างกัน อย่างในตัวอย่างที่ 2 แก้ด้วยค่าที่จุดเดียวไม่ได้ เพราะเงื่อนไข (2) ไม่ผ่านตั้งแต่แรก ต้องแยกชนิดปัญหาก่อนเสนอให้เติมค่าฟังก์ชัน

หาค่าคงตัวที่ทำให้ฟังก์ชันเป็นช่วงต่อเนื่อง

ฟังก์ชันที่กำหนดเป็นช่วงจะต่อเนื่องที่รอยต่อเมื่อสองสูตรมาบรรจบที่ความสูงเดียวกัน โจทย์จึงมักใส่ค่าคงตัวที่ยังไม่รู้ไว้ในสูตร แล้วถามว่าต้องเป็นเท่าไร วิธีทำคือหาลิมิตซ้าย ลิมิตขวา และค่าที่จุดรอยต่อ แล้วตั้งสมการให้เท่ากัน

ตัวอย่าง 6

กำหนด $f(x) = kx + 1$ เมื่อ $x$ น้อยกว่า $2$ และ $f(x) = x^2 - k$ เมื่อ $x \ge 2$ หาค่า $k$ ที่ทำให้ $f$ ต่อเนื่องที่ $x = 2$

ค่าที่จุดรอยต่อใช้สูตรที่มีเครื่องหมายเท่ากับ คือสูตรด้านขวา ได้ $f(2) = 4 - k$ ซึ่งเท่ากับลิมิตขวาด้วย เพราะสูตรขวาเป็นพหุนาม
ลิมิตซ้ายใช้สูตร $kx + 1$ แทน $x = 2$ ได้ $2k + 1$
ต่อเนื่องเมื่อทั้งสองเท่ากัน $2k + 1 = 4 - k$ จึงได้ $3k = 3$ หรือ $k = 1$
ตรวจ เมื่อ $k = 1$ ลิมิตซ้ายเป็น $3$ และ $f(2) = 3$ ตรงกัน กราฟสองส่วนจึงมาบรรจบกันที่จุด $(2, 3)$

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ กับ $x + 2$ เป็นฟังก์ชันเดียวกัน เพราะตัด $x - 2$ ได้ เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก สองฟังก์ชันให้ค่าเท่ากันทุกจุดที่ $x \ne 2$ จึงมีลิมิตที่ $2$ เท่ากัน แต่ $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ไม่นิยามที่ $x = 2$ ส่วน $x + 2$ มีค่า $4$ ที่จุดนั้น กราฟแรกจึงมีรูที่ $(2, 4)$ และไม่ต่อเนื่องที่ $2$ การตัดตัวประกอบใช้หาลิมิตได้ แต่ไม่ได้เติมจุดที่หายไปให้โดเมนเดิม

สรุป

ลิมิตดูค่ารอบจุดที่ $x \ne a$ ไม่ใช่ค่าที่จุด ใช้ตารางค่าเพื่อเห็นภาพก่อนคำนวณ
ลิมิตสองด้านมีเมื่อลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวา ฟังก์ชันเป็นช่วงให้แยกสูตรแต่ละด้านก่อน
ได้ $\tfrac{0}{0}$ ให้แยกตัวประกอบหรือคูณสังยุค การตัดตัวประกอบไม่เติมโดเมนเดิมเอง
ความต่อเนื่องต้องผ่านทั้งสามเงื่อนไข หาค่าคงตัวได้โดยให้สองด้านมาบรรจบกัน

ความเร็วของรถตอนต้นหน้าเป็นลิมิตของความชันชนิดหนึ่ง หน้าถัดไปจะตั้งชื่อลิมิตนี้ว่าอนุพันธ์ และใช้หาความชันของกราฟที่จุดใดก็ได้