1.3 การบวกและการลบจำนวนเต็ม

เช้ามืดวันหนึ่งในฤดูหนาว ยอดดอยแห่งหนึ่งวัดอุณหภูมิได้ $-2$ องศาเซลเซียส พอถึงเที่ยงอากาศอุ่นขึ้น 9 องศา ตอนเที่ยงอุณหภูมิเท่าไร

ถ้าวาดเทอร์โมมิเตอร์ตะแคงเป็นเส้นจำนวน เริ่มที่ $-2$ แล้วขยับไปทางขวา 9 ช่อง ผ่าน $-1$ $0$ $1$ ไปเรื่อยๆ จะหยุดที่ $7$ เขียนเป็นการบวกได้ว่า $(-2) + 9 = 7$

บวกบนเส้นจำนวน

การบวก $a + b$ บนเส้นจำนวนทำแบบนี้

• เริ่มที่ $a$
• ถ้า $b$ เป็นบวก เดินไปทางขวา $|b|$ ช่อง
• ถ้า $b$ เป็นลบ เดินไปทางซ้าย $|b|$ ช่อง
• จุดที่หยุดคือผลบวก

ก่อนเลื่อนแถบ ลองเดาว่า $3 + (-5)$ จะหยุดที่ไหน แล้วตั้งค่าให้ตรงเพื่อตรวจ

เขียนวงเล็บรอบจำนวนลบที่ตามหลังเครื่องหมาย $+$ หรือ $-$ เสมอ เช่น $3 + (-5)$ ไม่เขียน $3 + -5$ เพราะเครื่องหมายสองตัวติดกันอ่านสับสนง่าย

บวกโดยไม่ต้องวาดเส้นจำนวน

เส้นจำนวนช่วยให้เห็นภาพ แต่ถ้าตัวเลขใหญ่อย่าง $(-48) + 135$ จะเดินทีละช่องไม่ไหว ลองสังเกตจากกราฟข้างบน

• $(-4) + (-3)$ เดินไปทางซ้ายต่ออีก ไกลจาก $0$ มากขึ้น ได้ $-7$ ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์ $4 + 3 = 7$
• $(-4) + 3$ เดินกลับมาทางขวา หักล้างกันไป 3 ช่อง ได้ $-1$ ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์ $4 - 3 = 1$ และยังติดลบเพราะฝั่งลบมีมากกว่า

นึกเป็นเงินก็ได้ จำนวนบวกคือเงินที่ได้ จำนวนลบคือเงินที่เสีย เสียกับเสียรวมกันก็เสียมากขึ้น ได้กับเสียมาเจอกันให้หักล้างกันก่อน แล้วดูว่าฝั่งไหนเหลือ

การลบคือการบวกจำนวนตรงข้าม

$5 - (-2)$ หมายความว่าอะไร ลองดูแบบรูปของการลบ $5$ ด้วยจำนวนที่เล็กลงทีละ $1$

ตัวลบเล็กลงทีละ $1$ ผลลัพธ์ก็โตขึ้นทีละ $1$ ทุกครั้ง ถ้าแบบรูปนี้ต่อไป จะได้ $5 - (-1) = 6$ และ $5 - (-2) = 7$ ซึ่งเท่ากับ $5 + 2$ พอดี ส่วน $5 - 3 = 2$ ก็เท่ากับ $5 + (-3)$

บนเส้นจำนวนจึงแปลว่า การลบเดินกลับทิศกับการบวก ติ๊กช่องเปลี่ยนเป็นการลบในกราฟข้างบน จะเห็นลูกศรเส้นประบอกทิศที่การบวกจะไป และลูกศรสีส้มที่ไปทางตรงข้าม

หาผลต่างในชีวิตจริง

โจทย์ที่ถามว่าห่างกันเท่าไรหรือต่างกันเท่าไร ให้เอาค่าที่มากกว่าลบด้วยค่าที่น้อยกว่า ถ้าค่าที่น้อยกว่าเป็นลบ จะได้การลบด้วยจำนวนลบ

ถ้าตอบ $6 - 14 = -8$ แสดงว่าลืมว่า $-14$ คือตำแหน่งที่ติดลบอยู่แล้ว ระยะห่างติดลบไม่ได้ ตัวเลขนี้จึงผิดแน่นอน

บวกลบหลายจำนวนต่อกัน

ถ้าโจทย์มีทั้งบวกและลบปนกัน เช่น $(-7) + 12 - (-3) - 10$ ให้เปลี่ยนการลบทุกตัวเป็นการบวกจำนวนตรงข้ามก่อน ได้ $(-7) + 12 + 3 + (-10)$ แล้วรวมฝั่งบวก $15$ กับฝั่งลบ $-17$ ได้ $-2$

สรุป

• บนเส้นจำนวน บวกจำนวนบวกเดินไปขวา บวกจำนวนลบเดินไปซ้าย
• เครื่องหมายเหมือนกัน บวกค่าสัมบูรณ์ ใส่เครื่องหมายเดิม เครื่องหมายต่างกัน ลบค่าสัมบูรณ์ ใส่เครื่องหมายของตัวที่ค่าสัมบูรณ์มากกว่า
• $a - b = a + (-b)$ จึงได้ $7 - (-5) = 12$
• การลบสลับที่ไม่ได้ $4 - 9$ ไม่เท่ากับ $9 - 4$