41.5 แบบฝึกหัด

ขนาดของเวกเตอร์สามมิติคือรากที่สองของผลบวกกำลังสองขององค์ประกอบทั้งสาม

$\|\langle2,-3,6\rangle\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$

องค์ประกอบ $-3$ ยกกำลังสองได้ $9$ ซึ่งเป็นบวก ขนาดจึงไม่ขึ้นกับว่าองค์ประกอบติดลบหรือไม่

เวกเตอร์เก็บแค่ขนาดกับทิศ ไม่เก็บตำแหน่งของลูกศร เลื่อนลูกศรขนานไปที่ใดก็ยังเป็นเวกเตอร์เดิม ลูกศรสองอันจึงแทนเวกเตอร์เท่ากันเมื่อยาวเท่ากันและชี้ทิศเดียวกัน ตำแหน่งเริ่มต้นต่างกันได้

ขนาดเท่ากันอย่างเดียวไม่พอ เช่น $\overrightarrow{AB}$ กับ $\overrightarrow{BA}$ ยาวเท่ากันแต่ชี้กลับทาง จึงเป็นนิเสธกัน ส่วนการเริ่มจุดเดียวกันไม่ได้บอกอะไรเรื่องขนาดและทิศเลย

คูณองค์ประกอบตำแหน่งเดียวกันแล้วบวกกัน

$\langle1,2,3\rangle\cdot\langle4,0,-1\rangle=1(4)+2(0)+3(-1)=4+0-3=1$

ผลลัพธ์เป็นจำนวน ไม่ใช่เวกเตอร์ ค่าเป็นบวกจึงบอกด้วยว่ามุมระหว่างสองเวกเตอร์เป็นมุมแหลม

เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อดอตโปรดักต์เป็นศูนย์

$\langle x,2\rangle\cdot\langle3,-6\rangle=3x+2(-6)=3x-12$

ตั้ง $3x-12=0$ ได้ $x=4$

ตรวจ $\langle4,2\rangle\cdot\langle3,-6\rangle=12-12=0$ และเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ จึงตั้งฉากจริง

ใช้สูตร $\mathbf u\times\mathbf v=\langle u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1\rangle$

องค์ประกอบแรก $0(0)-0(3)=0$ องค์ประกอบกลาง $0(0)-2(0)=0$ องค์ประกอบที่สาม $2(3)-0(0)=6$ จึงได้ $\langle0,0,6\rangle$

ตรวจการตั้งฉาก $\langle0,0,6\rangle\cdot\langle2,0,0\rangle=0$ และ $\langle0,0,6\rangle\cdot\langle0,3,0\rangle=0$ ตั้งฉากกับทั้งสองตัว

สองเวกเตอร์นี้คือ $2\mathbf i$ กับ $3\mathbf j$ ผลคูณจึงเป็น $6(\mathbf i\times\mathbf j)=6\mathbf k$ สอดคล้องกัน ถ้าสลับลำดับจะได้ $\langle0,0,-6\rangle$ ทิศกลับตามกฎมือขวา

ตั้งทิศตะวันออกเป็นแกน $x$ และทิศเหนือเป็นแกน $y$ สามช่วงที่เดินคือ $\langle6,0\rangle$ $\langle0,8\rangle$ และ $\langle-6,0\rangle$

บวกทีละองค์ประกอบ $\langle6+0-6,\ 0+8+0\rangle=\langle0,8\rangle$ ช่วงตะวันออกกับตะวันตกหักล้างกันพอดี

ขนาดการกระจัดคือ $\sqrt{0^2+8^2}=8$ เมตร ส่วนระยะเดินคือ $6+8+6=20$ เมตร ซึ่งตอบคนละคำถาม

งานของแรงคงที่คือดอตโปรดักต์ของแรงกับการกระจัด $W=\mathbf F\cdot\mathbf s$

$W=\langle12,5\rangle\cdot\langle4,0\rangle=12(4)+5(0)=48$ จูล

องค์ประกอบแนวตั้ง $5$ นิวตันตั้งฉากกับการเคลื่อนที่แนวนอน จึงไม่ทำงาน มีแต่ส่วนแนวนอน $12$ นิวตันที่ลากรถไป $4$ เมตร

หาครอสโปรดักต์ของสองด้าน องค์ประกอบแรก $0(0)-0(4)=0$ องค์ประกอบกลาง $0(0)-3(0)=0$ องค์ประกอบที่สาม $3(4)-0(0)=12$ ได้ $\langle0,0,12\rangle$

ขนาด $12$ คือพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีสองด้านนี้ สามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงได้ $\tfrac{12}{2}=6$ ตารางหน่วย

ตรวจ สองด้านตั้งฉากกันตามแกน $x$ และแกน $y$ สามเหลี่ยมมุมฉากมีพื้นที่ $\tfrac12\times3\times4=6$ ตรงกัน