2.1 วงเวียนกับสันตรง

ครูให้หาจุดกึ่งกลางของเส้นที่ยาว $7.3$ เซนติเมตร ถ้าใช้ไม้บรรทัด ต้องหารสองได้ $3.65$ เซนติเมตร แล้วเล็งจุดระหว่างขีด $3.6$ กับ $3.7$ ด้วยสายตา ซึ่งคลาดได้ง่าย ถ้าเส้นยาวเศษไม่ลงตัวกว่านี้ยิ่งยาก

บทนี้ใช้อีกวิธีหนึ่ง คือไม่อ่านตัวเลขบนเครื่องมือเลย แต่ใช้วงเวียนเขียนส่วนโค้งให้ตัดกันตรงจุดที่ต้องการ ผลที่ได้ถูกต้องเพราะมีเหตุผลรองรับทุกขั้น ไม่ได้ขึ้นกับว่าสายตาแม่นแค่ไหน

บทนิยาม

การสร้างทางเรขาคณิตคือการวาดรูปเรขาคณิตโดยใช้เครื่องมือเพียงสองชิ้น คือวงเวียนกับสันตรง

เครื่องมือสองชิ้น

สันตรง คือขอบตรงของไม้บรรทัด ใช้ลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดเท่านั้น ไม่อ่านขีดตัวเลข
วงเวียน ใช้ทำสองอย่าง อย่างแรกคือเขียนวงกลมหรือส่วนโค้ง อย่างที่สองคือถ่ายความยาว หมายถึงกางวงเวียนให้ปลายเหล็กกับปลายดินสออยู่ที่จุดปลายทั้งสองของเส้น แล้วยกไปใช้ที่อื่นโดยไม่หุบหรือกางเพิ่ม วงเวียนจึงเหมือนที่เก็บความยาวไว้โดยไม่ต้องแปลงเป็นตัวเลข

อย่าลบร่องรอยการสร้าง

ส่วนโค้งที่เขียนระหว่างทางเรียกว่าร่องรอยการสร้าง ให้เก็บไว้ ไม่ต้องลบ คนตรวจจะดูจากร่องรอยว่าสร้างจริง ไม่ได้วัดเอา และถ้าผลออกมาผิด ร่องรอยช่วยให้หาเจอว่าพลาดขั้นไหน

ถ้าโจทย์บอกความยาวเป็นตัวเลข เช่น ให้สร้างด้านยาว $5$ เซนติเมตร ใช้ไม้บรรทัดกางวงเวียนให้ได้ $5$ เซนติเมตรตอนเริ่มได้ หลังจากนั้นทุกขั้นใช้วงเวียนกับสันตรงเท่านั้น

ลองคิดก่อน

นิดใช้ไม้บรรทัดวัด $\overline{AB}$ ได้ $4.8$ เซนติเมตร แล้วขีดเส้นยาว $4.8$ เซนติเมตรลงในสมุด ได้เส้นยาวเท่ากัน นิดทำการสร้างทางเรขาคณิตหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ เพราะนิดอ่านตัวเลขบนไม้บรรทัดถึงสองครั้ง ครั้งแรกตอนวัด ครั้งที่สองตอนขีด แต่ละครั้งคลาดได้ราวครึ่งมิลลิเมตร และ $\overline{AB}$ ที่ยาวจริง $4.83$ เซนติเมตรก็จะถูกปัดเป็น $4.8$ การสร้างใช้วงเวียนจับความยาวของ $\overline{AB}$ แล้วยกไปวางตรงๆ ไม่ผ่านตัวเลขเลย จึงไม่มีการปัดและไม่มีการอ่านผิด

รูปเรขาคณิตพื้นฐาน

ก่อนสร้างอะไร ต้องเรียกชื่อรูปให้ตรงกันก่อน รูปที่ใช้ทั้งบทมีห้าชนิด

หัวลูกศรหมายถึงเส้นยาวต่อไปไม่สิ้นสุดทางนั้น

ชื่อ	ความหมาย	สัญลักษณ์
จุด A	บอกตำแหน่ง ไม่มีความกว้าง ความยาว หรือความหนา	จุด $A$
ส่วนของเส้นตรง AB	ส่วนหนึ่งของเส้นตรง มีจุด $A$ และ $B$ เป็นจุดปลาย วัดความยาวได้	$\overline{AB}$
รังสี AB	เริ่มที่จุด $A$ ผ่านจุด $B$ แล้วยาวต่อไปไม่สิ้นสุด	$\overrightarrow{AB}$
เส้นตรง AB	ผ่านจุด $A$ และ $B$ ยาวต่อไปไม่สิ้นสุดทั้งสองทาง	$\overleftrightarrow{AB}$
มุม ABC	เกิดจากรังสี $\overrightarrow{BA}$ กับ $\overrightarrow{BC}$ ที่เริ่มจากจุดเดียวกัน จุด $B$ เรียกว่าจุดยอดมุม รังสีทั้งสองเรียกว่าแขนของมุม	$A\hat{B}C$ หรือ $\angle ABC$

ความยาวของ $\overline{AB}$ เขียนสั้นๆ ว่า $AB$ เช่น $AB = 5$ เซนติเมตร ส่วนขนาดของมุมเขียนว่า $A\hat{B}C = 40^\circ$ อ่านว่า มุม ABC มีขนาด 40 องศา

ตัวอย่าง 1

เขียนสัญลักษณ์แทนรูปต่อไปนี้

(1) รังสีที่เริ่มที่จุด $P$ และผ่านจุด $Q$ (2) ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายเป็น $M$ กับ $N$ (3) มุมที่มีจุดยอดที่ $O$ แขนข้างหนึ่งผ่าน $X$ อีกข้างผ่าน $Y$

รังสีเขียนจุดเริ่มต้นไว้หน้า ได้ $\overrightarrow{PQ}$ เขียนเป็น $\overrightarrow{QP}$ ไม่ได้ เพราะนั่นคือรังสีที่เริ่มที่ $Q$
ส่วนของเส้นตรงไม่มีทิศ เขียน $\overline{MN}$ หรือ $\overline{NM}$ ก็ได้
มุมต้องเขียนจุดยอดไว้ตรงกลางเสมอ ได้ $X\hat{O}Y$ หรือ $Y\hat{O}X$ ถ้าเขียน $O\hat{X}Y$ จะกลายเป็นมุมที่มีจุดยอดที่ $X$ ซึ่งเป็นคนละมุม

ลองคิดก่อน

$\overrightarrow{AB}$ กับ $\overrightarrow{BA}$ เป็นรังสีเดียวกันไหม แล้ว $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{BA}$ ล่ะ

ดูคำตอบ

$\overrightarrow{AB}$ กับ $\overrightarrow{BA}$ เป็นคนละรังสี อันแรกเริ่มที่ $A$ แล้วพุ่งไปทาง $B$ อันที่สองเริ่มที่ $B$ แล้วพุ่งไปทาง $A$ ทั้งสองทับกันแค่ช่วง $\overline{AB}$ ส่วน $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{BA}$ เป็นเส้นเดียวกัน เพราะเส้นตรงยาวไม่สิ้นสุดทั้งสองทาง ลำดับตัวอักษรจึงไม่มีผล

วงเวียนทำอะไรได้

กางวงเวียนให้ยาว $3$ เซนติเมตร แล้วหมุนรอบจุด $O$ ทุกจุดที่ปลายดินสอลากผ่านอยู่ห่างจาก $O$ เท่ากับ $3$ เซนติเมตรพอดี การสร้างทุกอย่างในบทนี้ใช้ความจริงข้อนี้ข้อเดียว

หลักของวงเวียน

ทุกจุดบนส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลางที่ $O$ และรัศมี $r$ อยู่ห่างจาก $O$ เท่ากับ $r$
จุดที่ส่วนโค้งสองเส้นตัดกัน จึงอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางทั้งสองตามรัศมีของแต่ละเส้นพร้อมกัน

ข้อสองคือหัวใจของการสร้าง ถ้าอยากได้จุดที่ห่างจาก $A$ เท่านี้และห่างจาก $B$ เท่านั้น ให้เขียนส่วนโค้งสองเส้นแล้วดูว่าตัดกันที่ไหน

ตัวอย่าง 2

บนแผนที่ บ้านของต้นอยู่ที่จุด $A$ บ้านของฝนอยู่ที่จุด $B$ ห่างกัน $5$ เซนติเมตร ร้านเครื่องเขียนอยู่ห่างจาก $A$ เป็นระยะ $3$ เซนติเมตร และห่างจาก $B$ เป็นระยะ $4$ เซนติเมตร ร้านอยู่ตรงไหนได้บ้าง

ร้านห่างจาก $A$ เป็นระยะ $3$ เซนติเมตร จึงอยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $A$ รัศมี $3$ เซนติเมตร กางวงเวียน $3$ เซนติเมตร ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งทั้งด้านบนและด้านล่างของ $\overline{AB}$
ร้านห่างจาก $B$ เป็นระยะ $4$ เซนติเมตร กางวงเวียน $4$ เซนติเมตร ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งอีกเส้น
ส่วนโค้งตัดกันสองจุด คือ $P$ กับ $P'$ ทั้งสองจุดห่างจาก $A$ เป็นระยะ $3$ และห่างจาก $B$ เป็นระยะ $4$ พร้อมกัน
ร้านจึงอยู่ได้สองที่ ข้อมูลแค่นี้บอกไม่ได้ว่าอยู่ฝั่งไหนของ $\overline{AB}$ ต้องรู้เพิ่มอีกหนึ่งอย่าง เช่น ร้านอยู่ทางเหนือของบ้านต้น

ส่วนโค้งสองเส้นตัดกันสองจุด ร้านอยู่ได้ทั้งที่ P และ P′

ลองคิดก่อน

ถ้าเปลี่ยนเป็นร้านอยู่ห่างจาก $A$ เป็นระยะ $1$ เซนติเมตร และห่างจาก $B$ เป็นระยะ $2$ เซนติเมตร จะหาตำแหน่งร้านได้ไหม

ดูคำตอบ

หาไม่ได้ ส่วนโค้งรัศมี $1$ รอบ $A$ ยื่นเข้าหา $B$ ได้ไกลสุด $1$ เซนติเมตร ส่วนโค้งรัศมี $2$ รอบ $B$ ยื่นเข้าหา $A$ ได้ไกลสุด $2$ เซนติเมตร รวมกันได้ $3$ เซนติเมตร ยังไม่ถึง $5$ เซนติเมตร ส่วนโค้งทั้งสองจึงไม่แตะกันเลย แปลว่าไม่มีจุดไหนห่างจาก $A$ และ $B$ ตามนี้ได้ ข้อมูลในโจทย์ขัดกันเอง เรื่องนี้จะกลับมาอีกครั้งตอนสร้างรูปสามเหลี่ยมในหน้า 2.5

สรุป

การสร้างทางเรขาคณิตใช้วงเวียนกับสันตรงเท่านั้น ไม่อ่านตัวเลขบนไม้บรรทัดหรือไม้โปรแทรกเตอร์
วงเวียนเขียนส่วนโค้ง และถ่ายความยาวไปไว้ที่อื่นได้โดยไม่ต้องรู้ว่ายาวกี่เซนติเมตร
$\overline{AB}$ คือส่วนของเส้นตรง $\overrightarrow{AB}$ คือรังสีที่เริ่มที่ $A$ $\overleftrightarrow{AB}$ คือเส้นตรง และ $A\hat{B}C$ คือมุมที่มีจุดยอดที่ $B$
จุดที่ส่วนโค้งสองเส้นตัดกัน อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางทั้งสองตามรัศมีของแต่ละเส้น