descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 4 ทศนิยมและเศษส่วนตรงกับหนังสือ ม.1 เล่ม 1 บทที่ 4

4.3 การบวก ลบ คูณ หารเศษส่วน

สูตรขนมต้องใช้น้ำตาล 34\tfrac{3}{4} ถ้วย แต่ในโหลเหลือน้ำตาลอยู่ 23\tfrac{2}{3} ถ้วย พอไหม ถ้าไม่พอขาดอีกเท่าไร

ลองหาว่ามีมากกว่าที่ต้องใช้เท่าไร คือ 23−34\tfrac{2}{3} - \tfrac{3}{4} ถ้าผลลัพธ์ติดลบแปลว่าไม่พอ หน้านี้จะคิดโจทย์แบบนี้ได้ โดยใช้กฎเครื่องหมายจากบทที่ 1 เหมือนหน้าที่แล้ว

การบวกและการลบ

เศษส่วนที่ตัวส่วนเท่ากัน บวกหรือลบตัวเศษได้เลย เพราะเป็นของชิ้นขนาดเดียวกัน เช่น 27+37=57\tfrac{2}{7} + \tfrac{3}{7} = \tfrac{5}{7} ถ้าตัวส่วนไม่เท่ากัน ต้องทำให้เท่ากันก่อนด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วน

ตัวอย่าง 1

หาค่า 23−34\tfrac{2}{3} - \tfrac{3}{4} แล้วตอบคำถามเรื่องน้ำตาล

  1. ค.ร.น. ของ 33 กับ 44 คือ 1212
  2. 23=812\tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{12} และ 34=912\tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{12}
  3. 812−912=8−912=−112\tfrac{8}{12} - \tfrac{9}{12} = \tfrac{8 - 9}{12} = -\tfrac{1}{12}
  4. ผลลัพธ์ติดลบ น้ำตาลจึงไม่พอ ขาดอีก 112\tfrac{1}{12} ถ้วย

ตัวอย่าง 2

หาค่า −58+16-\tfrac{5}{8} + \tfrac{1}{6}

  1. ค.ร.น. ของ 88 กับ 66 คือ 2424
  2. −58=−1524-\tfrac{5}{8} = -\tfrac{15}{24} และ 16=424\tfrac{1}{6} = \tfrac{4}{24}
  3. −15+424=−1124\tfrac{-15 + 4}{24} = -\tfrac{11}{24} ซึ่งเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว เพราะ 1111 กับ 2424 ไม่มีตัวประกอบร่วม

ลองคิดก่อน

เพื่อนคิดว่า 12+13=1+12+3=25\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{1 + 1}{2 + 3} = \tfrac{2}{5} ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ตรวจง่ายๆ ได้ว่า 25\tfrac{2}{5} น้อยกว่า 12\tfrac{1}{2} แต่เอา 12\tfrac{1}{2} ไปบวกกับจำนวนบวก ผลบวกต้องมากกว่า 12\tfrac{1}{2} ตัวส่วนบอกขนาดของชิ้น จึงเอามาบวกกันไม่ได้ ต้องทำให้ชิ้นขนาดเท่ากันก่อน 36+26=56\tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} = \tfrac{5}{6}

จำนวนคละ

เปลี่ยนจำนวนคละเป็นเศษเกินก่อน แล้วคิดแบบเศษส่วนธรรมดา

เครื่องหมายลบคลุมทั้งจำนวน

−213-2\tfrac{1}{3} หมายถึง −(2+13)=−73-\big(2 + \tfrac{1}{3}\big) = -\tfrac{7}{3} ไม่ใช่ −2+13=−53-2 + \tfrac{1}{3} = -\tfrac{5}{3} ตอนเปลี่ยนเป็นเศษเกิน ให้ทำส่วนที่เป็นบวก 213=732\tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3} ก่อน แล้วค่อยใส่เครื่องหมายลบ

ตัวอย่าง 3

หาค่า −213+34-2\tfrac{1}{3} + \tfrac{3}{4} ตอบเป็นจำนวนคละ

  1. −213=−73-2\tfrac{1}{3} = -\tfrac{7}{3}
  2. ค.ร.น. ของ 33 กับ 44 คือ 1212 ได้ −2812+912=−1912-\tfrac{28}{12} + \tfrac{9}{12} = -\tfrac{19}{12}
  3. 19÷1219 \div 12 ได้ 11 เศษ 77 จึงตอบ −1712-1\tfrac{7}{12}

การคูณ

คูณตัวเศษกับตัวเศษ คูณตัวส่วนกับตัวส่วน

ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

เช่น 23×45=815\tfrac{2}{3} \times \tfrac{4}{5} = \tfrac{8}{15} ซึ่งอ่านได้ว่า 23\tfrac{2}{3} ของ 45\tfrac{4}{5} เครื่องหมายใช้กฎจำนวนเต็มเหมือนเดิม ถ้าตัวเลขใหญ่ ให้ตัดตัวประกอบร่วมระหว่างตัวเศษกับตัวส่วนออกก่อนคูณ จะได้เศษส่วนอย่างต่ำทันที

ตัวอย่าง 4

หาค่า (−49)×158\left(-\tfrac{4}{9}\right) \times \tfrac{15}{8}

  1. ลบคูณบวกได้ลบ ที่เหลือคิดเฉพาะ 4×159×8\tfrac{4 \times 15}{9 \times 8}
  2. 44 กับ 88 หารด้วย 44 ได้ 11 กับ 22 ส่วน 1515 กับ 99 หารด้วย 33 ได้ 55 กับ 33
  3. เหลือ 1×53×2=56\tfrac{1 \times 5}{3 \times 2} = \tfrac{5}{6} คำตอบคือ −56-\tfrac{5}{6}

ตัวอย่าง 5

หาค่า (−112)×(−223)\left(-1\tfrac{1}{2}\right) \times \left(-2\tfrac{2}{3}\right)

  1. เปลี่ยนเป็นเศษเกิน −32-\tfrac{3}{2} และ −83-\tfrac{8}{3}
  2. ลบคูณลบได้บวก 3×82×3=246=4\tfrac{3 \times 8}{2 \times 3} = \tfrac{24}{6} = 4

อย่าคูณแยกส่วน คือเอาจำนวนเต็มคูณจำนวนเต็ม เศษส่วนคูณเศษส่วน แล้วนำมาบวกกัน แบบ 1×2+12×23=2131 \times 2 + \tfrac{1}{2} \times \tfrac{2}{3} = 2\tfrac{1}{3} ซึ่งไม่ตรงกับคำตอบจริงคือ 44 เพราะ 1121\tfrac{1}{2} คือผลบวก 1+121 + \tfrac{1}{2} การคูณผลบวกต้องคูณทุกพจน์ไขว้กันด้วย เปลี่ยนเป็นเศษเกินก่อนจึงปลอดภัยที่สุด

การหาร

ส่วนกลับ

สองจำนวนที่คูณกันได้ 11 เป็นส่วนกลับของกันและกัน ส่วนกลับของ ab\tfrac{a}{b} คือ ba\tfrac{b}{a} เมื่อ a≠0a \neq 0 และ b≠0b \neq 0 เช่น ส่วนกลับของ 35\tfrac{3}{5} คือ 53\tfrac{5}{3} ส่วนกลับของ 44 คือ 14\tfrac{1}{4} ส่วน 00 ไม่มีส่วนกลับ เพราะ 00 คูณอะไรก็ได้ 00

ลองคิดก่อน

ส่วนกลับของ −23-\tfrac{2}{3} คือ 32\tfrac{3}{2} ใช่ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ (−23)×32=−1\left(-\tfrac{2}{3}\right) \times \tfrac{3}{2} = -1 ไม่ใช่ 11 ส่วนกลับต้องมีเครื่องหมายเดียวกับจำนวนเดิม ส่วนกลับของ −23-\tfrac{2}{3} คือ −32-\tfrac{3}{2} เพราะลบคูณลบได้บวก (−23)×(−32)=1\left(-\tfrac{2}{3}\right) \times \left(-\tfrac{3}{2}\right) = 1

หารด้วยเศษส่วน คือคูณด้วยส่วนกลับ

3÷143 \div \tfrac{1}{4} ถามว่าใน 33 มี 14\tfrac{1}{4} อยู่กี่ชิ้น หนึ่งหน่วยมีสี่ชิ้น สามหน่วยจึงมี 3×4=123 \times 4 = 12 ชิ้น การหารด้วย 14\tfrac{1}{4} จึงเท่ากับคูณด้วย 44 ซึ่งเป็นส่วนกลับของ 14\tfrac{1}{4} ใช้ได้กับเศษส่วนทุกตัว

ab÷cd=ab×dc\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

ตัวอย่าง 6

หาค่า (−56)÷(−109)\left(-\tfrac{5}{6}\right) \div \left(-\tfrac{10}{9}\right)

  1. เปลี่ยนเป็นคูณด้วยส่วนกลับ (−56)×(−910)\left(-\tfrac{5}{6}\right) \times \left(-\tfrac{9}{10}\right)
  2. ลบคูณลบได้บวก และตัด 55 กับ 1010 เหลือ 11 กับ 22 ตัด 99 กับ 66 เหลือ 33 กับ 22
  3. ได้ 1×32×2=34\tfrac{1 \times 3}{2 \times 2} = \tfrac{3}{4}

เศษส่วนกับทศนิยมในข้อเดียว

เปลี่ยนให้เป็นแบบเดียวกันก่อน ส่วนใหญ่เปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วนจะง่ายกว่า เพราะเศษส่วนบางตัวเป็นทศนิยมที่ไม่จบ

ตัวอย่าง 7

หาค่า 0.75×(−23)0.75 \times \left(-\tfrac{2}{3}\right)

  1. 0.75=75100=340.75 = \tfrac{75}{100} = \tfrac{3}{4}
  2. 34×(−23)=−612=−12\tfrac{3}{4} \times \left(-\tfrac{2}{3}\right) = -\tfrac{6}{12} = -\tfrac{1}{2} หรือเขียนเป็นทศนิยม −0.5-0.5

สรุป

  • บวกลบเศษส่วน ทำตัวส่วนให้เท่ากันด้วย ค.ร.น. แล้วบวกลบเฉพาะตัวเศษ
  • คูณ ตัวเศษคูณตัวเศษ ตัวส่วนคูณตัวส่วน ตัดตัวประกอบร่วมก่อนจะง่ายขึ้น
  • หาร คูณด้วยส่วนกลับของตัวหาร ส่วนกลับมีเครื่องหมายเดียวกับจำนวนเดิม
  • จำนวนคละเปลี่ยนเป็นเศษเกินก่อนเสมอ และ −213=−73-2\tfrac{1}{3} = -\tfrac{7}{3}
  • เครื่องหมายของคำตอบใช้กฎเดียวกับจำนวนเต็ม