16.3 ตารางแจกแจงความถี่และฮิสโทแกรม

ครูวัดส่วนสูงของนักเรียน ม.2 จำนวน 40 คน เป็นเซนติเมตร ได้ข้อมูลดังนี้

151 148 145 143 152 147 155 153 154 164
158 165 152 144 154 167 157 172 160 146
151 163 150 162 161 156 148 149 157 156
159 164 141 159 153 158 155 169 161 157

ข้อมูลมีตั้งแต่ 141 ถึง 172 แผนภาพจุดจะแบนเกินไป ถ้าใช้แผนภาพต้นใบ ต้นจะมีแค่ 14 15 16 และ 17 แถวต้น 15 มีใบถึง 20 ตัว ซึ่งหยาบเกินไปจนเห็นแค่ว่าครึ่งห้องสูงหนึ่งร้อยห้าสิบกว่า หน้านี้จะจัดกลุ่มข้อมูลเป็นช่วงที่กว้างเท่าไรก็ได้ตามที่เลือกเอง แล้ววาดเป็นฮิสโทแกรม

ตารางแจกแจงความถี่

นิยาม

การแบ่งข้อมูลเชิงปริมาณออกเป็นช่วงที่ไม่ทับกัน แต่ละช่วงเรียกว่าอันตรภาคชั้น (class interval) หรือเรียกสั้นๆ ว่าชั้น จำนวนข้อมูลที่ตกอยู่ในชั้นใดคือความถี่ของชั้นนั้น ตารางที่บอกชั้นทั้งหมดพร้อมความถี่เรียกว่าตารางแจกแจงความถี่

ขั้นตอนการสร้างมีดังนี้

หาค่าน้อยที่สุดและค่ามากที่สุดของข้อมูล
เลือกจำนวนชั้น ข้อมูลไม่กี่สิบตัวนิยมใช้ประมาณ 5 ถึง 10 ชั้น
หาความกว้างของชั้นจาก $\dfrac{\text{ค่ามากที่สุด} - \text{ค่าน้อยที่สุด}}{\text{จำนวนชั้น}}$ แล้วปัดขึ้นเป็นจำนวนที่ใช้สะดวก
เริ่มชั้นแรกที่ค่าซึ่งไม่มากกว่าค่าน้อยที่สุด เขียนชั้นต่อกันไปจนครอบคลุมค่ามากที่สุด ทุกชั้นกว้างเท่ากัน
นับข้อมูลลงชั้นด้วยรอยขีดแบบบทที่ 9 แล้วตรวจว่าความถี่รวมกันเท่ากับจำนวนข้อมูล

ที่ต้องปัดขึ้นในขั้นที่ 3 เพราะถ้าปัดลง ชั้นทั้งหมดรวมกันอาจกว้างไม่พอ ค่ามากที่สุดจะตกขอบไม่มีชั้นให้ลง

ตัวอย่าง 1

สร้างตารางแจกแจงความถี่ของส่วนสูงนักเรียน 40 คน โดยให้มีประมาณ 7 ชั้น

ค่าน้อยที่สุดคือ 141 ค่ามากที่สุดคือ 172 ต่างกัน $172 - 141 = 31$
ความกว้างประมาณ $\tfrac{31}{7} \approx 4.43$ ปัดขึ้นเป็น 5 เซนติเมตร
เริ่มชั้นแรกที่ 140 ซึ่งน้อยกว่า 141 และเป็นจำนวนที่อ่านง่าย ชั้นแรกคือ 140 ถึง 144 มีค่าที่เป็นไปได้ 5 ค่า คือ 140 141 142 143 144
ชั้นต่อไปคือ 145 ถึง 149 แล้ว 150 ถึง 154 ไปเรื่อยๆ จนถึง 170 ถึง 174 ซึ่งครอบคลุม 172 ได้ 7 ชั้นพอดี
นับข้อมูลลงชั้นได้ตารางข้างล่าง แล้วตรวจผลรวม $3 + 6 + 9 + 11 + 7 + 3 + 1 = 40$

ส่วนสูง (เซนติเมตร)	ความถี่
140 ถึง 144	3
145 ถึง 149	6
150 ถึง 154	9
155 ถึง 159	11
160 ถึง 164	7
165 ถึง 169	3
170 ถึง 174	1
รวม	40

ขีดจำกัด ขอบ ความกว้าง และจุดกึ่งกลางชั้น

แต่ละชั้นมีตัวเลขที่ต้องรู้จักสี่แบบ ดูชั้น 150 ถึง 154 เป็นตัวอย่าง

นิยาม

ขีดจำกัดล่างและขีดจำกัดบน คือค่าน้อยที่สุดกับค่ามากที่สุดที่เขียนไว้ในชั้น ชั้นนี้คือ 150 กับ 154
ขอบล่าง คือค่ากึ่งกลางระหว่างขีดจำกัดล่างของชั้นนี้ กับขีดจำกัดบนของชั้นที่อยู่ติดกันด้านน้อยกว่า ชั้นนี้คือ $\tfrac{149 + 150}{2} = 149.5$
ขอบบน คือค่ากึ่งกลางระหว่างขีดจำกัดบนของชั้นนี้ กับขีดจำกัดล่างของชั้นที่อยู่ติดกันด้านมากกว่า ชั้นนี้คือ $\tfrac{154 + 155}{2} = 154.5$
ความกว้างของอันตรภาคชั้น คือ ขอบบน $-$ ขอบล่าง ชั้นนี้กว้าง $154.5 - 149.5 = 5$
จุดกึ่งกลางชั้น คือ $\tfrac{\text{ขีดจำกัดล่าง} + \text{ขีดจำกัดบน}}{2}$ ชั้นนี้คือ $\tfrac{150 + 154}{2} = 152$

ทำไมต้องมีขอบ ทั้งที่ขีดจำกัดก็บอกชั้นได้อยู่แล้ว เหตุผลคือส่วนสูงจริงไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม คนที่สูง 149.7 เซนติเมตรถูกปัดเป็น 150 จึงอยู่ในชั้น 150 ถึง 154 ส่วนคนที่สูง 149.3 ถูกปัดเป็น 149 อยู่ชั้นก่อนหน้า เส้นแบ่งจริงระหว่างสองชั้นจึงอยู่ที่ 149.5 ไม่ใช่ 149 หรือ 150 ขอบทำให้ชั้นทุกชั้นต่อกันสนิทไม่มีช่องโหว่ และเป็นตำแหน่งที่ใช้วาดแท่งของฮิสโทแกรม

ตัวอย่าง 2

หาขอบล่าง ขอบบน และจุดกึ่งกลางของชั้นแรก 140 ถึง 144 และของชั้นสุดท้าย 170 ถึง 174

ชั้นแรกไม่มีชั้นที่น้อยกว่า ให้ถือว่าชั้นก่อนหน้าคือ 135 ถึง 139 ซึ่งกว้างเท่ากัน ขอบล่างจึงเป็น $\tfrac{139 + 140}{2} = 139.5$
ขอบบนของชั้นแรก $\tfrac{144 + 145}{2} = 144.5$ จุดกึ่งกลาง $\tfrac{140 + 144}{2} = 142$
ชั้นสุดท้าย ให้ถือว่าชั้นถัดไปคือ 175 ถึง 179 ขอบล่าง $\tfrac{169 + 170}{2} = 169.5$ ขอบบน $\tfrac{174 + 175}{2} = 174.5$ จุดกึ่งกลาง $\tfrac{170 + 174}{2} = 172$
ตรวจความกว้าง $144.5 - 139.5 = 5$ และ $174.5 - 169.5 = 5$ เท่ากับชั้นอื่น

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่าชั้น 150 ถึง 154 กว้าง 4 เซนติเมตร เพราะ $154 - 150 = 4$ ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

ลองนับค่าที่อยู่ในชั้นนี้ 150 151 152 153 154 ได้ 5 ค่า ไม่ใช่ 4 ค่า การลบขีดจำกัดบนด้วยขีดจำกัดล่างทำให้ขาดไปหนึ่งเสมอ เพราะทั้งสองปลายเป็นของชั้นนี้ ความกว้างที่ถูกต้องต้องลบขอบ $154.5 - 149.5 = 5$ หรือดูจากขีดจำกัดล่างของสองชั้นที่อยู่ติดกัน $155 - 150 = 5$ ก็ได้

ฮิสโทแกรม

นิยาม

ฮิสโทแกรม (histogram) คือกราฟของตารางแจกแจงความถี่ แกนนอนเป็นค่าของข้อมูล แกนตั้งเป็นความถี่ แต่ละชั้นแทนด้วยแท่งสี่เหลี่ยมที่ฐานเริ่มที่ขอบล่างและสิ้นสุดที่ขอบบน ความสูงเท่ากับความถี่ แท่งที่อยู่ติดกันจึงชิดกันสนิทไม่มีช่องว่าง

ฮิสโทแกรมส่วนสูงของนักเรียน 40 คน ตัวเลขบนแกนนอนคือขอบของแต่ละชั้น

ฮิสโทแกรมต่างจากแผนภูมิแท่งในบทที่ 9 แผนภูมิแท่งใช้กับข้อมูลที่เป็นกลุ่มแยกกัน เช่นกีฬาที่ชอบ แท่งจึงเว้นช่องห่างกัน สลับลำดับแท่งได้ ส่วนฮิสโทแกรมใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณที่ต่อเนื่องกัน ชั้นหนึ่งจบตรงไหนชั้นถัดไปเริ่มตรงนั้น แท่งจึงต้องชิดกันและเรียงตามค่าเสมอ

รูปนี้บอกได้ทันทีว่านักเรียนส่วนใหญ่สูงหนึ่งร้อยห้าสิบกว่าเซนติเมตร แท่งสูงที่สุดอยู่ตรงกลาง แล้วลดลงทั้งสองข้าง ด้านสูงลดลงช้ากว่าด้านเตี้ยเล็กน้อย

ตัวอย่าง 3

จากฮิสโทแกรมข้างบน

(1) มีนักเรียนกี่คนที่สูงไม่ถึง 155 เซนติเมตร และคิดเป็นร้อยละเท่าใด
(2) ชั้นที่มีความถี่มากที่สุดมีจุดกึ่งกลางชั้นเท่าใด

ไม่ถึง 155 คือทุกแท่งที่อยู่ทางซ้ายของขอบ 154.5 ได้แก่ชั้น 140 ถึง 144 145 ถึง 149 และ 150 ถึง 154 รวม $3 + 6 + 9 = 18$ คน
คิดเป็นร้อยละ $\tfrac{18}{40} \times 100 = 45$
แท่งสูงที่สุดคือชั้น 155 ถึง 159 มี 11 คน จุดกึ่งกลางชั้นคือ $\tfrac{155 + 159}{2} = 157$ หรือหาจากขอบก็ได้ $\tfrac{154.5 + 159.5}{2} = 157$

ลองคิดก่อน

จากตารางแจกแจงความถี่หรือฮิสโทแกรมอย่างเดียว ตอบได้ไหมว่ามีนักเรียนกี่คนที่สูงกว่า 157 เซนติเมตร

ดูคำตอบ

ตอบให้แน่นอนไม่ได้ รู้แค่ว่าชั้น 155 ถึง 159 มี 11 คน แต่ไม่รู้ว่าใครสูงเท่าไรในชั้นนั้น อาจสูง 155 ทั้งหมด หรือ 159 ทั้งหมดก็ได้ บอกได้แค่ว่าคนที่สูงกว่า 157 มีอย่างน้อย $7 + 3 + 1 = 11$ คนจากสามชั้นบน และไม่เกิน $11 + 11 = 22$ คน การจัดกลุ่มทำให้เห็นภาพรวมชัด แต่แลกกับการเสียค่าจริงของข้อมูลแต่ละตัวไป ถ้าต้องการคำตอบแน่นอนต้องกลับไปดูข้อมูลดิบ ซึ่งจะได้ 15 คน

ความกว้างของชั้นเปลี่ยนรูปที่เห็น

ข้อมูลชุดเดียวกันวาดเป็นฮิสโทแกรมได้หลายแบบ ขึ้นกับความกว้างของชั้นที่เลือก กราฟข้างล่างใช้ส่วนสูง 40 คนชุดเดิม ทุกความกว้างเริ่มชั้นแรกที่ 140 ก่อนเลื่อน ลองเดาก่อนว่าถ้าแต่ละชั้นกว้างแค่ 1 เซนติเมตร รูปจะเป็นอย่างไร

เลื่อนความกว้างไปที่ 1 2 5 และ 10 แล้วดูว่าแบบไหนเห็นรูปร่างของข้อมูลชัดที่สุด ตัวเลขบนแกนตั้งปรับตามความถี่สูงสุดของแต่ละแบบ

ชั้นแคบเกินไป เช่นกว้าง 1 หรือ 2 เซนติเมตร มีชั้นมากถึง 33 หรือ 17 ชั้น แต่ละชั้นมีข้อมูลแค่ 0 ถึง 5 ตัว แท่งขึ้นลงสลับกันจากความบังเอิญ มองไม่ออกว่าข้อมูลกองตรงไหน
ชั้นกว้างเกินไป เช่นกว้าง 10 เซนติเมตร เหลือ 4 ชั้น ครึ่งห้องไปกองอยู่ในแท่งเดียว รายละเอียดว่าข้อมูลลดลงเร็วหรือช้าหายไปหมด
ชั้นกว้างพอดี เช่น 4 ถึง 6 เซนติเมตร ได้ 6 ถึง 9 ชั้น เห็นรูปร่างชัดและยังมีรายละเอียดพอ ตรงกับเกณฑ์ 5 ถึง 10 ชั้นที่ใช้ในตัวอย่าง 1

ความกว้างของชั้นจึงไม่มีคำตอบเดียวที่ถูก แต่ต้องเลือกให้คนอ่านเห็นรูปร่างของข้อมูล และเมื่อจะเทียบฮิสโทแกรมสองรูป ต้องใช้ชั้นชุดเดียวกัน ไม่อย่างนั้นรูปร่างที่ต่างกันอาจมาจากการแบ่งชั้นต่างกัน ไม่ใช่ข้อมูลต่างกัน

รูปหลายเหลี่ยมของความถี่

นิยาม

รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ (frequency polygon) ได้จากการจุดที่จุดกึ่งกลางชั้นของทุกชั้น ความสูงเท่ากับความถี่ แล้วลากส่วนของเส้นตรงต่อจุดที่อยู่ติดกัน ปลายทั้งสองข้างลากลงมาแตะแกนนอนที่จุดกึ่งกลางของชั้นว่างที่อยู่ถัดออกไปข้างละหนึ่งชั้น

ฮิสโทแกรมกับรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ของส่วนสูงชุดเดียวกัน ตัวเลขบนแกนนอนคือจุดกึ่งกลางชั้น

ส่วนสูงชุดนี้มีจุดกึ่งกลางชั้นเป็น 142 147 152 ไปจนถึง 172 ปลายซ้ายลงมาแตะแกนที่ 137 ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของชั้นว่าง 135 ถึง 139 ปลายขวาแตะที่ 177 ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของชั้นว่าง 175 ถึง 179 เส้นจึงปิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมกับแกนนอน

รูปหลายเหลี่ยมของความถี่มีประโยชน์ตอนเทียบข้อมูลสองชุด เช่นส่วนสูงของนักเรียนชายกับนักเรียนหญิง ถ้าวาดฮิสโทแกรมสองรูปทับกัน แท่งจะบังกันจนอ่านไม่ได้ แต่เส้นสองเส้นคนละสีวาดทับกันบนแกนเดียวกันได้สบาย ลองติ๊กช่องในกราฟข้างบนเพื่อดูว่าเส้นเปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อเปลี่ยนความกว้างของชั้น

สรุป

ตารางแจกแจงความถี่แบ่งข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้นที่กว้างเท่ากันและไม่ทับกัน ความถี่รวมต้องเท่ากับจำนวนข้อมูล
ความกว้างประมาณ $\tfrac{\text{ค่ามากที่สุด} - \text{ค่าน้อยที่สุด}}{\text{จำนวนชั้น}}$ แล้วปัดขึ้น
ขอบล่างและขอบบนอยู่กึ่งกลางระหว่างชั้นที่ติดกัน ความกว้าง เท่ากับ ขอบบน $-$ ขอบล่าง ไม่ใช่ขีดจำกัดบนลบขีดจำกัดล่าง
จุดกึ่งกลางชั้น เท่ากับ ขีดจำกัดล่างบวกขีดจำกัดบน หารสอง
ฮิสโทแกรมวาดแท่งจากขอบล่างถึงขอบบน แท่งชิดกัน อ่านได้แค่จำนวนในแต่ละชั้น ไม่รู้ค่าจริงของแต่ละตัว
ความกว้างของชั้นเปลี่ยนรูปที่เห็น เลือกให้ได้ประมาณ 5 ถึง 10 ชั้น
รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ต่อจุดกึ่งกลางชั้น ใช้เทียบข้อมูลหลายชุดบนแกนเดียวกัน