40.6 แบบฝึกหัด

$A$ มีสองแถวสามคอลัมน์ ตัวห้อยของ $a_{23}$ อ่านแถวก่อนคอลัมน์ ตัวแรกคือแถวที่สอง ตัวหลังคือคอลัมน์ที่สาม

แถวที่สองคือ $3, 4, 8$ สมาชิกตัวที่สามของแถวนี้คือ $8$ จึงได้ $a_{23} = 8$

มิติ $(2 \times 2)(2 \times 2)$ คูณได้ สมาชิกแถวหนึ่งคอลัมน์สองของ $AB$ ใช้แถวหนึ่งของ $A$ คือ $1, 2$ จับคู่กับคอลัมน์สองของ $B$ คือ $0, 5$

คูณคู่แล้วบวก $1(0) + 2(5) = 0 + 10 = 10$

ใช้ $\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad - bc$ ผลคูณแนวทแยงหลักคือ $4(5) = 20$ ผลคูณแนวทแยงรองคือ $3(2) = 6$

นำมาลบกัน ได้ $20 - 6 = 14$

หาดีเทอร์มิแนนต์ก่อน $\det A = 3(1) - 1(2) = 1$ ไม่เป็นศูนย์ จึงมีผกผัน

สลับสมาชิกบนแนวทแยงหลัก $3$ กับ $1$ เปลี่ยนเครื่องหมายสมาชิกบนแนวทแยงรอง แล้วหารทุกตัวด้วย $1$ ได้ $A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-2&3\end{bmatrix}$

ตรวจ $AA^{-1}$ ช่องแถวหนึ่งคอลัมน์หนึ่งได้ $3(1) + 1(-2) = 1$ ช่องแถวหนึ่งคอลัมน์สองได้ $3(-1) + 1(3) = 0$ ถูกต้อง สมาชิกที่ถามคือ $-1$

เขียนมิติเรียงกัน $(2 \times 3)(3 \times 4)$ ตัวเลขด้านในคือ $3$ กับ $3$ เท่ากัน จึงคูณได้ เพราะแต่ละแถวของ $A$ มีสามตัว จับคู่กับแต่ละคอลัมน์ของ $B$ ที่มีสามตัวได้ครบ

ผลคูณมีแถวเท่ากับจำนวนแถวของ $A$ คือ $2$ และคอลัมน์เท่ากับจำนวนคอลัมน์ของ $B$ คือ $4$ จึงได้มิติ $2\times4$

ให้สมุดเล่มละ $x$ บาท ปากกาด้ามละ $y$ บาท ได้ระบบ $3x + y = 85$ และ $x + y = 35$ เขียนเป็น $AX = B$ เมื่อ $A = \begin{bmatrix}3&1\\1&1\end{bmatrix}$ และ $B = \begin{bmatrix}85\\35\end{bmatrix}$

$\det A = 3(1) - 1(1) = 2$ ไม่เป็นศูนย์ ใช้กฎของคราเมอร์ แทนคอลัมน์แรกด้วย $B$ ได้ $\det A_x = 85(1) - 1(35) = 50$ จึงได้ $x = \dfrac{50}{2} = 25$

สมุดเล่มละ $25$ บาท แทนกลับใน $x + y = 35$ ได้ปากกาด้ามละ $10$ บาท ตรวจ $3(25) + 10 = 85$ ถูกต้อง

ให้ขายตั๋วนักเรียน $s$ ใบ ตั๋วผู้ใหญ่ $a$ ใบ สมการจำนวนตั๋ว $s + a = 40$ สมการเงิน $20s + 35a = 1010$

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $\begin{bmatrix}1&1\\20&35\end{bmatrix}$ มีดีเทอร์มิแนนต์ $35 - 20 = 15$ ใช้กฎของคราเมอร์กับตัวแปรที่สอง แทนคอลัมน์ของ $a$ ด้วยด้านขวา ได้ $\det\begin{bmatrix}1&40\\20&1010\end{bmatrix} = 1010 - 800 = 210$ จึงได้ $a = \dfrac{210}{15} = 14$ ใบ

ตั๋วนักเรียนจึงเป็น $40 - 14 = 26$ ใบ ตรวจ $20(26) + 35(14) = 520 + 490 = 1010$ ถูกต้อง

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}$ มีดีเทอร์มิแนนต์ $6 - 6 = 0$ จึงใช้ผกผันหรือกฎของคราเมอร์ไม่ได้ ต้องดูสมการเอง

สมการที่สองคือสมการแรกคูณสองทั้งด้านซ้ายและด้านขวา $2(x + 3y) = 2(9)$ จึงไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ เหลือสมการเดียวคือ $x + 3y = 9$ ระบบจึงมีคำตอบมากมายไม่จำกัด กราฟเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ทับกัน

ตั้ง $y = t$ แล้ว $x = 9 - 3t$ เมื่อ $t\in\mathbb R$ เช่น $t = 0$ ได้ $(9, 0)$ และ $t = 1$ ได้ $(6, 1)$

เกณฑ์ตรวจคือไม่สรุปว่าไม่มีคำตอบเพียงเพราะ det เป็นศูนย์ และแทนรูปทั่วไปแล้วผ่านทั้งสองสมการ

การสลับเปลี่ยนย้ายสมาชิกตำแหน่ง $(2, 1)$ ไปไว้ที่ $(1, 2)$ สมาชิกแถวหนึ่งคอลัมน์สองของ $(AB)^t$ จึงเท่ากับสมาชิกแถวสองคอลัมน์หนึ่งของ $AB$

สมาชิกนั้นใช้แถวสองของ $A$ คือ $0, 3$ คู่กับคอลัมน์หนึ่งของ $B$ คือ $1, 2$ ได้ $0(1) + 3(2) = 6$

ตรวจด้วย $(AB)^t = B^tA^t$ แถวหนึ่งของ $B^t$ คือ $1, 2$ คอลัมน์สองของ $A^t$ คือ $0, 3$ ได้ $1(0) + 2(3) = 6$ เท่ากัน