33.2 ค่าความจริงและตาราง

ร้านเครื่องเขียนติดป้ายว่า ถ้าซื้อครบ $300$ บาท จะได้ถุงผ้าฟรี ลูกค้าสี่คนเดินออกจากร้าน คนแรกซื้อครบและได้ถุงผ้า คนที่สองซื้อครบแต่ไม่ได้ คนที่สามซื้อ $150$ บาทแต่ร้านใจดีแถมถุงให้ คนที่สี่ซื้อ $150$ บาทและไม่ได้ถุง ร้านผิดคำพูดกับใครบ้าง

ถ้าตอบได้ว่าผิดกับคนที่สองคนเดียว นักเรียนเข้าใจลูกศรแล้ว หน้านี้จะเขียนความเข้าใจนั้นลงในตาราง ตารางค่าความจริงคือการไล่ทุกกรณีที่เป็นไปได้อย่างเป็นระบบ ไม่ข้ามและไม่ซ้ำ

ทำไมลูกศรจริงเมื่อเหตุเป็นเท็จ

ให้ $p$ แทน ซื้อครบ $300$ บาท และ $q$ แทน ได้ถุงผ้า ป้ายของร้านคือ $p\to q$ ไล่ลูกค้าทีละคน

คนแรก $p$ จริง $q$ จริง ร้านทำตามที่บอก ป้ายจริง
คนที่สอง $p$ จริง $q$ เท็จ ลูกค้าทำตามเงื่อนไขแล้วแต่ไม่ได้ของ ป้ายเท็จ
คนที่สาม $p$ เท็จ $q$ จริง ป้ายไม่ได้ห้ามร้านแถมของให้คนที่ซื้อไม่ครบ ร้านไม่ได้ผิดคำพูด
คนที่สี่ $p$ เท็จ $q$ เท็จ ลูกค้าไม่ได้ทำตามเงื่อนไข ร้านไม่ต้องให้ ก็ไม่ได้ผิดคำพูด

ประพจน์มีแค่สองค่า เมื่อไม่ผิดคำพูดก็ต้องนับเป็นจริง ลูกศรจึงเท็จเพียงแถวเดียว ส่วนก็ต่อเมื่อ $p\leftrightarrow q$ หมายถึง ได้ถุงผ้าเมื่อซื้อครบ และซื้อครบเท่านั้นจึงได้ถุงผ้า คนที่สามจึงทำให้ประโยคนี้เท็จด้วย เพราะได้ถุงทั้งที่ซื้อไม่ครบ

$p$	$q$	$p\to q$	$p\leftrightarrow q$
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	T	F
F	F	T	T

ตารางนี้เป็นความหมายของตัวเชื่อม ไม่ได้บอกว่าเหตุการณ์หนึ่งทำให้อีกเหตุการณ์เกิดจริงในทางวิทยาศาสตร์ ก่อนใช้ต้องกำหนดประพจน์ให้ชัด

ลองครบสี่คู่ค่าความจริง แล้วเขียนตารางของตัวเองก่อนเทียบ

ลองคิดก่อน

ข้อความ ถ้า $2 + 2 = 5$ แล้ว $3$ เป็นจำนวนคู่ เป็นจริงหรือเท็จ

ดูคำตอบ

เป็นจริง เหตุ $2 + 2 = 5$ เท็จ ผล $3$ เป็นจำนวนคู่ ก็เท็จ ตรงกับแถวสุดท้ายของตาราง ลูกศรจึงจริง หลายคนตอบเท็จเพราะรู้สึกว่าข้อความไม่มีเหตุผล แต่ค่าความจริงของลูกศรดูจากค่าของสองท่อนเท่านั้น ไม่ได้ดูว่าสองท่อนเกี่ยวข้องกันไหม

สร้างตารางหลายตัวแปร

ประพจน์ย่อยแต่ละตัวมีได้สองค่า ทุกครั้งที่เพิ่มประพจน์ย่อยหนึ่งตัว จำนวนกรณีจะคูณสอง ประพจน์ย่อย $n$ ตัวจึงมีกรณีค่าความจริง $2^n$ แถว สองตัวมีสี่แถว สามตัวมีแปดแถว แผนภาพต้นไม้ข้างล่างแสดงว่าแปดแถวมาจากไหน

แต่ละชั้นแตกเป็นสองกิ่ง สามชั้นจึงได้ 2 × 2 × 2 = 8 แถว

อ่านต้นไม้จากบนลงล่างจะได้ลำดับแถวที่นิยมใช้ คอลัมน์ $p$ เป็น T สี่แถวแล้ว F สี่แถว คอลัมน์ $q$ สลับทุกสองแถว คอลัมน์ $r$ สลับทุกแถว เรียงแบบนี้ทุกครั้งจะตรวจได้ง่ายว่าไม่มีแถวซ้ำ และเทียบตารางกับเพื่อนได้ทันที

จากนั้นเพิ่มคอลัมน์ทีละชั้นจากวงเล็บในสุดออกมา เหมือนลำดับการคำนวณในหน้า 33.1 คอลัมน์สุดท้ายคือตัวเชื่อมหลัก

ตัวอย่าง 1

ให้ $p=T$ $q=F$ $r=T$ หาค่าความจริงของ $(p\vee q)\wedge\sim r$

ตัวเชื่อมหลักคือ และ ตรงกลาง จึงต้องรู้ค่าของสองฝั่งก่อน ฝั่งซ้ายคือวงเล็บ $T\vee F=T$ เพราะมีตัวจริงอยู่แล้วหนึ่งตัว
ฝั่งขวาคือ $\sim r$ นิเสธติดอยู่กับ $r$ ตัวเดียว $r=T$ จึงได้ $\sim r=F$
นำสองฝั่งมาเชื่อมด้วย และ ได้ $T\wedge F=F$ ประโยคนี้จึงเป็นเท็จ

ตัวอย่าง 2

สร้างตารางของ $(p\to q)\wedge(q\to p)$ แล้วเทียบกับคอลัมน์ $p\leftrightarrow q$

มีประพจน์ย่อยสองตัว จึงมี $2^2=4$ แถว เขียนคอลัมน์ $p$ เป็น T T F F และ $q$ เป็น T F T F
คอลัมน์ $p\to q$ เท็จแถวเดียวที่ $p$ จริง $q$ เท็จ คือแถวที่สอง ได้ T F T T
คอลัมน์ $q\to p$ ต้องมองให้ $q$ เป็นเหตุ เท็จแถวเดียวที่ $q$ จริง $p$ เท็จ คือแถวที่สาม ได้ T T F T
เชื่อมสองคอลัมน์ด้วย และ แถวที่จริงทั้งคู่คือแถวแรกกับแถวสุดท้าย ได้ T F F T
คอลัมน์นี้ตรงกับ $p\leftrightarrow q$ ทุกแถว ก็ต่อเมื่อจึงหมายถึงลูกศรสองทางจริง ตามที่บอกไว้ในหน้า 33.1

ตัวอย่าง 3

ในตารางแปดแถวของ $(p\wedge q)\to r$ มีกี่แถวที่เป็นเท็จ

ไม่ต้องคำนวณครบแปดแถว ให้ถามกลับว่าลูกศรเท็จเมื่อไร คำตอบคือเหตุจริงและผลเท็จเท่านั้น
เหตุคือ $p\wedge q$ ซึ่งจริงเมื่อ $p=T$ และ $q=T$ พร้อมกัน ผลคือ $r$ ต้องเป็น $F$
ทั้งสามค่าถูกบังคับหมด จึงมีแถวเดียว คือ $p=T$ $q=T$ $r=F$ ในแผนภาพต้นไม้คือแถวที่ 2
อีกเจ็ดแถวเป็นจริง การมองหาแถวที่เท็จก่อนเร็วกว่าการไล่ทุกแถวมาก

ย้อนจากค่าของทั้งประโยค

โจทย์อีกแบบให้ค่าความจริงของทั้งประโยคมา แล้วถามค่าของประพจน์ย่อย กุญแจคือตัวเชื่อมแต่ละตัวมีกรณีหนึ่งที่บังคับค่าได้หมด

ถ้ารู้ว่า	จะได้
$p\wedge q$ จริง	$p$ จริง และ $q$ จริง
$p\vee q$ เท็จ	$p$ เท็จ และ $q$ เท็จ
$p\to q$ เท็จ	$p$ จริง และ $q$ เท็จ

ส่วนกรณีอื่นยังบอกได้ไม่แน่นอน ถ้า $p\wedge q$ เท็จ ยังไม่รู้ว่าตัวใดเท็จ อาจเท็จเพียงตัวเดียวหรือทั้งคู่ก็ได้ ถ้าลูกศรจริง มีได้ถึงสามกรณี ถ้าเจอโจทย์ย้อน ให้หาตัวเชื่อมที่อยู่ในกรณีบังคับก่อน

ลองคิดก่อน

ถ้า $p\vee q$ จริง สรุปได้ว่าทั้งสองจริงไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ อาจจริงเพียงตัวเดียว ข้อมูลที่บังคับให้ทั้งสองจริงคือตัวเชื่อม และ ที่เป็นจริง

ตัวอย่าง 4

กำหนด $p\vee q$ เป็นจริง และ $p\to q$ เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $p$ และ $q$

เงื่อนไขแรก หรือจริง มีได้สามกรณี ยังสรุปไม่ได้ จึงเริ่มจากเงื่อนไขที่สองซึ่งอยู่ในกรณีบังคับ
ลูกศรเท็จบังคับ $p=T$ และ $q=F$
นำคู่นี้ไปตรวจเงื่อนไขแรก $T\vee F=T$ ผ่าน
จึงมีคู่เดียวคือ $p=T$ และ $q=F$

ถ้าเงื่อนไขที่สองเปลี่ยนเป็นลูกศรจริง จะยังมีหลายคู่ค่าที่เป็นไปได้ ต้องตอบเป็นทุกกรณีที่เหลือ ไม่เลือกกรณีหนึ่งแล้วสรุปว่าเป็นคำตอบเดียว

ตัวอย่าง 5

ถ้า $(p\wedge\sim q)\to r$ เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $(q\vee r)\to p$

ตัวเชื่อมหลักคือลูกศร และลูกศรเท็จ จึงได้ว่าเหตุ $p\wedge\sim q$ จริง และผล $r$ เท็จ
เหตุ $p\wedge\sim q$ เป็น และ ที่จริง จึงบังคับต่อได้อีกชั้น $p$ จริง และ $\sim q$ จริง ดังนั้น $q$ เท็จ
ตอนนี้รู้ครบ $p=T$ $q=F$ $r=F$ แทนลงในประโยคที่ถาม วงเล็บ $q\vee r=F\vee F=F$
ลูกศรที่มีเหตุเท็จเป็นจริงเสมอ จึงได้ $(q\vee r)\to p$ เป็นจริง

วิธีย้อนแบบนี้คือการเลือกเฉพาะแถวของตารางที่ผ่านทุกเงื่อนไข แต่ไม่ต้องเขียนตารางเต็ม หน้าถัดไปจะใช้ความคิดเดียวกันตรวจว่าข้อสรุปตามมาจากเหตุจริงไหม โดยมองหาแถวที่เหตุจริงทั้งหมดแต่ผลเท็จ

สรุป

ลูกศรเท็จเพียงกรณีเหตุจริงผลเท็จ ถ้าเหตุเท็จ ลูกศรจริงเสมอ
ก็ต่อเมื่อจริงเมื่อสองท่อนมีค่าตรงกัน และเท่ากับลูกศรสองทาง
ประพจน์ย่อย $n$ ตัวมี $2^n$ แถว เรียงให้ตัวแรกสลับช้าที่สุด แล้วคำนวณจากวงเล็บในสุดออกมา
โจทย์ย้อนให้เริ่มจากกรณีบังคับ คือ และที่จริง หรือที่เท็จ และลูกศรที่เท็จ
อย่าย้อนหาค่าประพจน์ย่อยเกินข้อมูลที่ให้ ถ้าเหลือหลายกรณีต้องตอบทุกกรณี