33.1 ประพจน์และตัวเชื่อม
ครูประจำชั้นประกาศว่า นักเรียนที่มีเกรดเฉลี่ยตั้งแต่ ขึ้นไป และขาดเรียนไม่เกิน วัน จะได้เกียรติบัตร ฟ้ามีเกรดเฉลี่ย แต่ขาดเรียน วัน ฟ้าคิดว่าตัวเองได้ เพราะผ่านเงื่อนไขแรกแล้ว เพื่อนบอกว่าไม่ได้ ใครถูก
คำถามแบบนี้ไม่ได้ขึ้นกับว่าใครเสียงดังกว่า แต่ขึ้นกับความหมายของคำว่า และ ถ้าทุกคนตกลงความหมายของคำเชื่อมเล็กๆ อย่าง และ หรือ ถ้า...แล้ว... ไว้ตรงกัน ประโยคนี้จะตีความได้ทางเดียว ตรรกศาสตร์คือการตกลงความหมายนั้นให้ชัด แล้วใช้ตัดสินว่าประโยคยาวๆ จริงหรือเท็จ
ประโยคแบบไหนตัดสินจริงเท็จได้
ก่อนจะถามว่าประโยคจริงหรือเท็จ ต้องดูก่อนว่าประโยคนั้นถามได้ไหม คำว่า ช่วยปิดหน้าต่างด้วย เป็นคำสั่ง ไม่มีใครตอบได้ว่าคำสั่งนี้จริงหรือเท็จ คำถามว่า วันนี้วันอะไร ก็เช่นกัน ส่วนข้อความว่า วันนี้ฝนตก ตรวจได้ว่าจริงหรือเท็จเมื่อระบุวันและสถานที่ ตรรกศาสตร์จะทำงานกับประโยคแบบหลังเท่านั้น
นิยาม
ประพจน์คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง ใช้ แทนจริงและ แทนเท็จ ประโยคที่ยังมีตัวแปรโดยไม่ระบุค่าหรือขอบเขต เช่น ยังไม่เป็นประพจน์
ประพจน์ไม่จำเป็นต้องจริง ข้อความว่า เป็นจำนวนคู่ เป็นประพจน์ที่เป็นเท็จ ต่างจากคำถามว่า เป็นจำนวนคู่ไหม ซึ่งไม่ได้ยืนยันอะไร ที่นิยามเขียนว่า อย่างใดอย่างหนึ่ง ก็เพื่อบอกว่าประพจน์หนึ่งตัวจะเป็นทั้งจริงและเท็จพร้อมกันไม่ได้ และจะลอยอยู่กลางๆ ก็ไม่ได้
ประโยคที่มีตัวแปรอย่าง นักเรียนเคยเห็นแล้วในบทที่ 6 ในชื่อสมการ สมการจริงเมื่อแทน บางค่าและเท็จเมื่อแทนค่าอื่น จึงยังตัดสินไม่ได้จนกว่าจะรู้ค่า ประโยคแบบนี้เรียกว่าประโยคเปิด หน้า 33.5 จะแสดงวิธีทำประโยคเปิดให้เป็นประพจน์โดยไม่ต้องแทนค่า
ตัวอย่าง 1
ประโยคใดเป็นประพจน์ ถ้าเป็นให้บอกค่าความจริง
(1) (2) กรุณาปิดไฟก่อนออกจากห้อง (3) (4) เป็นจำนวนอตรรกยะ (5) ทุเรียนอร่อยที่สุด
- ข้อ (1) เป็นประโยคบอกเล่าที่ตรวจได้ ไม่ใช่ จึงเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประโยคที่ผิดก็ยังเป็นประพจน์
- ข้อ (2) เป็นคำขอร้อง ไม่ได้บอกว่าอะไรเป็นอย่างไร จึงไม่เป็นประพจน์
- ข้อ (3) มีตัวแปร ที่ยังไม่รู้ค่า แทน ได้จริง แทน ได้เท็จ ค่าความจริงยังไม่แน่นอน จึงยังไม่เป็นประพจน์
- ข้อ (4) บทที่ 11 แสดงแล้วว่า เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ จึงเป็นประพจน์ที่จริง
- ข้อ (5) เป็นความเห็น แต่ละคนตอบไม่เหมือนกันและไม่มีเกณฑ์กลางให้ตรวจ จึงไม่ถือเป็นประพจน์
ลองคิดก่อน
ข้อความ เป็นประพจน์ทันทีหรือไม่
ดูคำตอบ
ยังไม่เป็น เพราะยังไม่ทราบค่า เมื่อแทน ได้ประพจน์จริง เมื่อแทน ได้ประพจน์เท็จ
ตัวเชื่อมห้าตัว
ประโยคในชีวิตจริงมักต่อกันหลายท่อน เช่นเงื่อนไขเกียรติบัตรข้างบน เราจะแทนประโยคย่อยแต่ละท่อนด้วยตัวอักษร แล้วเชื่อมด้วยสัญลักษณ์ ความหมายของแต่ละตัวเชื่อมกำหนดด้วยคำถามเดียว คือ ประโยครวมจริงเมื่อไร
| สัญลักษณ์ | อ่าน | เป็นจริงเมื่อ |
|---|---|---|
| ไม่ | เป็นเท็จ | |
| และ | ทั้งสองจริง | |
| หรือ | อย่างน้อยหนึ่งจริง | |
| ถ้า แล้ว | ทุกกรณียกเว้นจริงไปเท็จ | |
| ก็ต่อเมื่อ | ค่าความจริงตรงกัน |
ทำไมแต่ละตัวจึงนิยามแบบนี้
- นิเสธ กลับค่าความจริงของ ถ้า คือ วันนี้ฝนตก ก็ได้ คือ วันนี้ฝนไม่ตก สองข้อความนี้จริงพร้อมกันไม่ได้และเท็จพร้อมกันไม่ได้
- และ เป็นเงื่อนไขที่เข้มที่สุด ทุกท่อนต้องผ่าน เงื่อนไขเกียรติบัตรจึงตอบคำถามตอนต้นได้ ฟ้าผ่านท่อนแรกแต่ไม่ผ่านท่อนที่สอง ประโยครวมจึงเท็จ ฟ้าไม่ได้เกียรติบัตร
- หรือ ขอแค่ท่อนใดท่อนหนึ่งผ่าน และรวมกรณีที่ผ่านทั้งสองท่อนด้วย ลองนึกถึงประกาศว่า รับผู้ที่มีบัตรนักเรียนหรือบัตรประชาชน คนที่พกมาทั้งสองบัตรก็ต้องเข้าได้ ไม่มีเหตุผลที่จะไล่เขากลับ
- ถ้า...แล้ว... เป็นเหมือนคำสัญญา แม่บอกว่า ถ้าสอบได้เกรด แล้วจะพาไปทะเล คำสัญญานี้ถูกผิดเพียงกรณีเดียว คือลูกได้เกรด แต่แม่ไม่พาไป หน้า 33.2 จะไล่ทุกกรณีให้เห็นว่าทำไมกรณีอื่นนับเป็นจริง
- ก็ต่อเมื่อ คือลูกศรสองทาง พา มา และ ก็พา มา สองท่อนจึงต้องจริงด้วยกันหรือเท็จด้วยกัน
ตัวอย่าง 2
ให้ แทน เป็นจำนวนคู่ และ แทน เป็นจำนวนเฉพาะ หาค่าความจริงของ และ
- หาค่าของประพจน์ย่อยก่อนเสมอ หารด้วย ลงตัว จึงได้ จริง
- จำนวนเฉพาะต้องมีตัวประกอบบวกแค่ กับตัวมันเอง แต่ มี และ เป็นตัวประกอบด้วย จึงได้ เท็จ
- และต้องจริงทั้งคู่ มีท่อนหนึ่งเท็จก็พอให้ทั้งประโยคเท็จ จึงได้ เป็นเท็จ
- หรือขอเพียงอย่างน้อยหนึ่งจริง จริงแล้ว จึงได้ เป็นจริงโดยไม่ต้องสนใจ
ตัวอย่าง 3
ข้อความ ถ้าส่งงานแล้วจะได้รับคะแนน เขียนเป็นสัญลักษณ์อย่างไร ให้ แทนส่งงาน และ แทนได้รับคะแนน แล้วข้อความ จะได้รับคะแนนถ้าส่งงาน เขียนอย่างไร
- ส่วนที่ตามหลังคำว่า ถ้า คือเงื่อนไขหรือเหตุ ในที่นี้คือ ส่วนที่ตามหลังคำว่า แล้ว คือสิ่งที่ตามมาหรือผล คือ
- จึงเขียนได้ ไม่ใช่ เพราะลูกศรชี้จากเหตุไปหาผล
- ข้อความที่สองย้ายคำว่า ถ้าส่งงาน ไปไว้ท้ายประโยค แต่คำว่า ถ้า ยังติดอยู่กับ ส่งงาน เหตุจึงยังเป็น และเขียนได้ เหมือนเดิม
- สังเกตว่าข้อความนี้พูดถึงคนที่ส่งงานเท่านั้น ไม่ได้ห้ามคนที่ไม่ส่งงานได้คะแนนจากทางอื่น การอ่านลูกศรเกินจากที่เขียนไว้คือต้นเหตุของการสรุปผิดในหน้า 33.3
ตัวอย่าง 4
ให้ แทน เปรมไปงานกีฬาสี และ แทน เปรมไปติวคณิต เขียนข้อความ เปรมไม่ได้ไปงานกีฬาสี แต่ไปติวคณิต เป็นสัญลักษณ์ ถ้าความจริงคือเปรมไม่ได้ไปงานกีฬาสีและไปติวจริง ข้อความนี้จริงหรือเท็จ
- ท่อนแรกปฏิเสธ จึงเขียน
- คำว่า แต่ ในภาษาไทยบอกว่าสองท่อนขัดกับที่คาดไว้ แต่ในเชิงจริงเท็จ ผู้พูดยืนยันทั้งสองท่อน จึงใช้ตัวเชื่อม และ ได้
- จากความจริง เท็จ จึงได้ จริง และ จริง
- และของสองท่อนที่จริงทั้งคู่ได้จริง ข้อความนี้จึงเป็นจริง
คำอื่นที่แปลเป็น และ ได้เหมือนกัน เช่น ทั้ง...และ... ถึงแม้ว่า...ก็... ส่วนคำว่า ไม่ก็ หรือ อย่างน้อยหนึ่งอย่าง แปลเป็น หรือ
วงเล็บกำหนดขอบเขต
ในบทที่ 1 นักเรียนรู้แล้วว่า ต้องคูณก่อนบวก ถ้าอยากให้บวกก่อนต้องใส่วงเล็บ ประพจน์ก็เหมือนกัน นิเสธหน้าวงเล็บปฏิเสธทั้งวงเล็บ แต่นิเสธหน้าตัวอักษรตัวเดียวปฏิเสธแค่ตัวนั้น รูปข้างล่างแสดงว่าตัวเชื่อมใดทำงานเป็นขั้นสุดท้าย ตัวเชื่อมบนสุดเรียกว่าตัวเชื่อมหลัก
ตัวอย่าง 5
ให้ และ เปรียบเทียบค่าความจริงของ กับ
- รูปแรกมีวงเล็บครอบ จึงคำนวณในวงเล็บก่อน
- นิเสธเป็นขั้นสุดท้าย กลับ เป็น รูปแรกจึงจริง
- รูปที่สองนิเสธติดอยู่กับ ตัวเดียว คำนวณ ก่อน
- แล้วนำไปเชื่อมด้วย และ ได้ รูปที่สองจึงเท็จ
- ตัวอักษรเหมือนกันทุกตัวแต่คำตอบต่างกัน เพราะขอบเขตของนิเสธไม่เหมือนกัน
ในภาษาไทยคำว่า ไม่ได้ไปทั้งสองที่ อาจกำกวม ควรเขียนใหม่ให้ชัดว่า ไม่ได้ไปที่ใดเลย หรือ ไม่ได้ไปครบทั้งสองที่ ก่อนแปลงเป็นสัญลักษณ์ ความหมายแรกคือ ความหมายหลังคือ การเขียนสัญลักษณ์ช่วยจับความกำกวมแต่ไม่ควรเลือกความหมายแทนผู้พูดโดยไม่มีข้อมูล
ลองคิดก่อน
ให้ แทน หารด้วย ลงตัว และ แทน หารด้วย ลงตัว เพื่อนตอบว่า เป็นเท็จ เพราะ หรือ ต้องจริงแค่ตัวเดียว เพื่อนถูกไหม
ดูคำตอบ
ไม่ถูก ทั้ง และ จริง และ หรือ ในตรรกศาสตร์รวมกรณีที่จริงทั้งคู่ จึงได้ เป็นจริง เพื่อนใช้ความหมายของ หรือ แบบภาษาพูด อย่าง ชาหรือกาแฟ ที่ให้เลือกได้อย่างเดียว ถ้าโจทย์ต้องการความหมายนั้นต้องเขียนเพิ่มให้ชัด
หน้าถัดไปจะเขียนทุกกรณีที่เป็นไปได้ลงในตารางเดียว และตอบคำถามกลับด้าน เช่น ประโยครวมเท็จ ประพจน์ย่อยต้องเป็นอะไร
สรุป
- ประพจน์คือประโยคที่มีค่าจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง ประพจน์เท็จก็ยังเป็นประพจน์ คำสั่ง คำถาม และประโยคเปิดไม่เป็นประพจน์
- และจริงเมื่อจริงทั้งคู่ หรือจริงเมื่อจริงอย่างน้อยหนึ่งตัว และรวมกรณีจริงทั้งคู่
- ลูกศรเท็จเพียงกรณีเหตุจริงผลเท็จ และต้องรักษาลำดับเหตุและผล แม้คำว่า ถ้า จะย้ายไปท้ายประโยค
- คำว่า แต่ แปลเป็น และ
- วงเล็บบอกว่านิเสธครอบแค่ไหน ใช้แผนภาพต้นไม้หาตัวเชื่อมหลักได้