16.5 เลือกค่ากลางให้เหมาะกับข้อมูล

ร้านกาแฟร้านหนึ่งติดประกาศรับสมัครพนักงานว่า "ค่าแรงเฉลี่ยของร้านเรา วันละ 700 บาท" ร้านนี้มีคนทำงาน 7 คน ได้ค่าแรงต่อวันดังนี้

400 400 400 450 450 500 2,300

คนที่ได้ 2,300 บาทคือผู้จัดการร้าน ค่าเฉลี่ย $\tfrac{4900}{7} = 700$ บาท คำนวณถูกต้องทุกอย่าง แต่พนักงาน 6 ใน 7 คนได้ไม่เกิน 500 บาท คนที่มาสมัครแล้วหวังว่าจะได้ราว 700 บาทจะผิดหวัง ตัวเลขไม่ได้ผิด แต่เลือกค่ากลางผิดตัว

ค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่มดึงค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยใช้ขนาดของข้อมูลทุกตัวมาบวกกัน ข้อมูลตัวเดียวที่ใหญ่มากจึงดึงผลรวมขึ้นไปได้มาก ส่วนมัธยฐานสนใจแค่ลำดับ ว่าข้อมูลตัวไหนอยู่ตรงกลาง ค่าที่อยู่ปลายแถวจะใหญ่แค่ไหน ลำดับตรงกลางก็ไม่เปลี่ยน

กราฟข้างล่างคือเวลาเดินทางมาโรงเรียนของนักเรียน 11 คน สิบคนแรกใช้เวลา 10 10 15 15 15 20 20 20 25 และ 30 นาที คนที่สิบเอ็ดคือจุดสีส้ม ซึ่งเลื่อนค่าได้ ก่อนเลื่อน ลองเดาว่าถ้าจุดสีส้มย้ายไปบ้านไกลจนใช้เวลา 90 นาที เส้นไหนจะขยับมากกว่ากัน

เลื่อนจุดสีส้มจาก 25 ไป 90 นาที แล้วเลื่อนกลับไป 5 นาที ดูว่ามัธยฐานขยับได้ไกลที่สุดแค่ไหน

ตอนจุดสีส้มอยู่ที่ 25 นาที ค่าเฉลี่ยประมาณ 18.64 นาที มัธยฐาน 20 นาที พอเลื่อนไป 90 นาที ผลรวมเพิ่มขึ้น 65 นาที ค่าเฉลี่ยจึงเพิ่มขึ้น $\tfrac{65}{11} \approx 5.91$ นาที กลายเป็นประมาณ 24.55 นาที ซึ่งมากกว่าเวลาของ 8 คนจาก 11 คน แต่มัธยฐานยังเป็น 20 นาทีเท่าเดิม เพราะจุดสีส้มยังอยู่ทางขวาของตัวกลางเหมือนเดิม ไม่ว่าจะไกลแค่ไหน

เลือกค่ากลางตัวไหนดี

หลักการเลือกค่ากลาง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณที่ไม่มีค่าอยู่ห่างจากกลุ่มมาก ใช้ข้อมูลครบทุกตัว และเหมาะเมื่อต้องการรู้ผลรวม เพราะค่าเฉลี่ยคูณจำนวนข้อมูลได้ผลรวมพอดี
มัธยฐาน ใช้เมื่อข้อมูลมีค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่ม หรือมีหางยาวไปข้างใดข้างหนึ่ง เช่น ค่าแรง ราคาบ้าน เวลาเดินทาง บอกได้ว่าครึ่งหนึ่งน้อยกว่าค่านี้และครึ่งหนึ่งมากกว่า
ฐานนิยม ใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพ หรือเมื่อต้องการรู้ว่าค่าไหนพบบ่อยที่สุด เช่น ขนาดเสื้อที่ขายดีที่สุด

ตัวอย่าง 1

สถานการณ์ต่อไปนี้ควรใช้ค่ากลางตัวใด

(1) ร้านรองเท้าจะสั่งรองเท้านักเรียนเพิ่ม อยากรู้ว่าควรสั่งเบอร์ไหนมากที่สุด
(2) อยากรู้ราคาบ้านทั่วไปในหมู่บ้านที่มีบ้านราว 2 ล้านบาท 40 หลัง กับคฤหาสน์ราคา 30 ล้านบาท 2 หลัง
(3) บ้านหลังหนึ่งจะตั้งงบค่าไฟทั้งปีจากค่าไฟ 12 เดือนที่ผ่านมา ซึ่งแต่ละเดือนไม่ต่างกันมาก
(4) สภานักเรียนอยากรู้ว่านักเรียนอยากได้เสื้อกีฬาสีสีอะไร

ร้านอยากรู้เบอร์ที่ขายได้บ่อยที่สุด ไม่ได้อยากรู้เบอร์เฉลี่ย ซึ่งอาจเป็น 38.6 ที่ไม่มีขาย จึงใช้ฐานนิยม
คฤหาสน์สองหลังเป็นค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่มมาก จะดึงค่าเฉลี่ยขึ้นไปจนสูงกว่าราคาบ้านเกือบทุกหลัง จึงใช้มัธยฐาน
ต้องการผลรวมของทั้งปี และข้อมูลไม่มีค่าโดดออกไป ใช้ค่าเฉลี่ย เพราะค่าเฉลี่ยต่อเดือนคูณ 12 ได้งบทั้งปีพอดี
สีเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ บวกหรือเรียงไม่ได้ ใช้ได้แค่ฐานนิยม

ตัวอย่าง 2

หาค่ากลางทั้งสามตัวของค่าแรงร้านกาแฟ แล้วบอกว่าร้านควรประกาศค่าแรงด้วยตัวเลขใดจึงตรงกับที่พนักงานใหม่น่าจะได้

ค่าเฉลี่ย $\tfrac{4900}{7} = 700$ บาท
ข้อมูลเรียงแล้ว 7 ตัว มัธยฐานคือตัวที่ $\tfrac{7 + 1}{2} = 4$ ได้ 450 บาท
400 บาทพบ 3 ครั้ง มากที่สุด ฐานนิยมคือ 400 บาท
ค่าเฉลี่ย 700 บาทถูกค่าแรงผู้จัดการดึงขึ้นไป มีแค่ 1 คนที่ได้มากกว่า 700 ส่วนมัธยฐาน 450 บาทบอกว่าครึ่งร้านได้ไม่เกิน 450 บาท และฐานนิยมบอกว่าค่าแรงที่พบบ่อยที่สุดคือ 400 บาท พนักงานใหม่น่าจะได้ราว 400 ถึง 450 บาท ร้านจึงควรประกาศด้วยมัธยฐานหรือฐานนิยม

ลองคิดก่อน

เพื่อนอ่านประกาศ "ค่าแรงเฉลี่ยวันละ 700 บาท" แล้วบอกว่า "แปลว่าพนักงานครึ่งร้านได้มากกว่า 700 บาท" เพื่อนเข้าใจถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ค่าที่แบ่งข้อมูลเป็นสองครึ่งคือมัธยฐาน ไม่ใช่ค่าเฉลี่ย ร้านนี้มีคนได้มากกว่า 700 บาทแค่คนเดียวจาก 7 คน ค่าเฉลี่ยจะแบ่งครึ่งพอดีเฉพาะเมื่อข้อมูลสมมาตรรอบค่ากลาง ข้อมูลที่มีหางยาวไปทางค่ามาก ค่าเฉลี่ยมักอยู่สูงกว่ามัธยฐาน

ดูรูปร่างของข้อมูลประกอบ

ค่ากลางตัวเดียวไม่บอกรูปร่าง แต่การเทียบค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานช่วยเดารูปร่างได้

ข้อมูลกองตรงกลางแล้วลดลงสองข้างเท่าๆ กัน เช่นจำนวนชั่วโมงที่นอนในหน้า 16.4 ค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานใกล้กัน คือ 7.8 กับ 8
ข้อมูลที่มีค่ามากไม่กี่ตัวทำให้หางยาวไปทางขวา เช่นค่าแรงร้านกาแฟ ค่าเฉลี่ยมากกว่ามัธยฐาน คือ 700 กับ 450
ข้อมูลที่มีค่าน้อยไม่กี่ตัวทำให้หางยาวไปทางซ้าย เช่นข้อสอบง่ายที่เกือบทุกคนได้คะแนนสูง แต่มีบางคนขาดสอบได้ศูนย์ ค่าเฉลี่ยน้อยกว่ามัธยฐาน

เวลารายงานผล จึงควรบอกค่ากลางพร้อมแผนภาพประกอบ หรือบอกทั้งค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน คนอ่านจะไม่ถูกตัวเลขตัวเดียวหลอก

เทียบข้อมูลสองชุดด้วยค่ากลาง

ตัวอย่าง 3

คะแนนสอบกลางภาคเต็ม 50 คะแนนของห้อง ม.2/3 และ ม.2/5 ห้องละ 15 คน จากแผนภาพต้นใบแบบสองด้านในหน้า 16.2 เรียงแล้วได้ดังนี้

ม.2/3 23 28 31 34 35 36 38 39 41 42 42 44 45 45 47
ม.2/5 18 22 25 26 29 30 31 33 33 34 37 38 40 41 43

เทียบสองห้องด้วยค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน

ม.2/3 ผลรวม 570 คะแนน ค่าเฉลี่ย $\tfrac{570}{15} = 38$ คะแนน
ม.2/5 ผลรวม 480 คะแนน ค่าเฉลี่ย $\tfrac{480}{15} = 32$ คะแนน
ห้องละ 15 คน มัธยฐานคือตัวที่ $\tfrac{15 + 1}{2} = 8$ ห้อง ม.2/3 ได้ 39 คะแนน ห้อง ม.2/5 ได้ 33 คะแนน
ทั้งสองค่ากลางบอกตรงกันว่าห้อง ม.2/3 สูงกว่าราว 6 คะแนน และทั้งสองห้องไม่มีคะแนนที่อยู่ห่างจากกลุ่มมาก ค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานจึงใกล้กันในแต่ละห้อง สรุปได้ว่าห้อง ม.2/3 ทำคะแนนได้ดีกว่าโดยรวม ตรงกับที่เห็นจากแผนภาพในหน้า 16.2

ลองคิดก่อน

ถ้าห้อง ม.2/3 มีนักเรียน 30 คน ได้ค่าเฉลี่ย 38 คะแนน และห้อง ม.2/5 มี 20 คน ได้ค่าเฉลี่ย 32 คะแนน เพื่อนบอกว่าค่าเฉลี่ยของทั้ง 50 คนคือ $\tfrac{38 + 32}{2} = 35$ คะแนน ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ห้อง ม.2/3 มีคนมากกว่า จึงต้องมีน้ำหนักมากกว่า ให้ย้อนหาผลรวมของแต่ละห้องก่อน ห้อง ม.2/3 รวม $30 \times 38 = 1140$ คะแนน ห้อง ม.2/5 รวม $20 \times 32 = 640$ คะแนน ค่าเฉลี่ยของทั้ง 50 คนคือ $\tfrac{1140 + 640}{50} = 35.6$ คะแนน การเอาค่าเฉลี่ยสองตัวมาเฉลี่ยกันตรงๆ ใช้ได้เฉพาะเมื่อสองกลุ่มมีจำนวนข้อมูลเท่ากัน

สรุป

ค่าเฉลี่ยใช้ขนาดของข้อมูลทุกตัว จึงถูกค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่มดึงไปได้มาก มัธยฐานใช้แค่ลำดับ จึงแทบไม่ขยับ
ข้อมูลเชิงปริมาณที่ไม่มีค่าโดด ใช้ค่าเฉลี่ย ข้อมูลที่มีค่าโดดหรือหางยาว ใช้มัธยฐาน ข้อมูลเชิงคุณภาพหรืออยากรู้ค่าที่พบบ่อย ใช้ฐานนิยม
ค่าเฉลี่ยไม่ได้แบ่งข้อมูลเป็นสองครึ่ง ค่าที่แบ่งครึ่งคือมัธยฐาน
หางยาวไปทางขวา ค่าเฉลี่ยมักมากกว่ามัธยฐาน หางยาวไปทางซ้าย ค่าเฉลี่ยมักน้อยกว่ามัธยฐาน
รวมค่าเฉลี่ยของสองกลุ่มที่มีขนาดต่างกัน ต้องย้อนหาผลรวมของแต่ละกลุ่มก่อน