descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 28 วงกลมตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 2 บทที่ 2

28.3 คอร์ดและระยะจากศูนย์กลาง

ต้องการตัดไม้ตรงพาดหน้าต่างวงกลมโดยไม่ผ่านศูนย์กลาง ถ้ารู้รัศมีและระยะจากศูนย์กลางถึงแนวไม้ จะคำนวณความยาวไม้ได้โดยไม่ต้องวัดปลายโค้งโดยตรงอย่างไร

เส้นตั้งฉากแบ่งคอร์ดครึ่งหนึ่ง

สมบัติ

เส้นจากศูนย์กลางที่ตั้งฉากกับคอร์ดจะแบ่งคอร์ดเป็นสองส่วนเท่ากัน และเส้นที่ผ่านศูนย์กลางกับจุดกึ่งกลางของคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางจะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น

ให้ M เป็นเท้าฉากจาก O ลงบนคอร์ด AB สามเหลี่ยม OMA กับ OMB เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี OA=OB เป็นรัศมีและ OM เป็นด้านร่วม จึงเท่ากันทุกประการแบบ ฉ.ด.ด. ได้ AM=MB เมื่อลากรัศมีถึงปลายคอร์ดจึงได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่ใช้พีทาโกรัสได้ทันที

ตัวอย่าง 1

หน้าต่างวงกลมรัศมี 10 เซนติเมตร แนวไม้อยู่ห่างศูนย์กลางในแนวตั้งฉาก 6 เซนติเมตร ต้องใช้ไม้ยาวอย่างน้อยเท่าไรโดยไม่เผื่อส่วนยึด

  1. ให้ M เป็นเท้าฉาก และ A เป็นปลายคอร์ด ได้ AM2=102−62=64AM^2=10^2-6^2=64
  2. ครึ่งคอร์ด AM ยาว 8 เซนติเมตร
  3. คอร์ดเต็มยาว 2(8)=162(8)=16 เซนติเมตร ต้องตอบความยาวเต็ม ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง

คอร์ดเท่ากันอยู่ห่างเท่ากัน

ในวงกลมเดียวกัน หรือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน คอร์ดที่ยาวเท่ากันอยู่ห่างศูนย์กลางเท่ากัน และกลับกัน พิสูจน์ได้จากสามเหลี่ยมมุมฉากข้างต้น เมื่อรัศมีเท่ากันกับครึ่งคอร์ดเท่ากัน ด้านที่เหลือต้องเท่ากันด้วย ต้องมีเงื่อนไขรัศมีเท่ากัน ถ้าเป็นวงกลมคนละขนาดจะใช้ข้อสรุปนี้ไม่ได้

ตัวอย่าง 2

วงกลมรัศมี 13 มีคอร์ด AB และ CD ยาว 24 เท่ากัน คอร์ดทั้งสองอยู่ห่างศูนย์กลางเท่าไร

  1. ครึ่งคอร์ดยาว 24/2=1224/2=12
  2. ระยะตั้งฉาก d=132−122=5d=\sqrt{13^2-12^2}=5
  3. คอร์ดทั้งสองจึงอยู่ห่างศูนย์กลาง 5 หน่วย แม้จะอยู่คนละทิศ

คอร์ดที่ใกล้ศูนย์กลางยาวกว่า

จาก AM2=r2−OM2AM^2=r^2-OM^2 เมื่อ r คงที่ ถ้า OM ลดลง AM จะเพิ่มขึ้น คอร์ดจึงยาวขึ้น คอร์ดที่ผ่านศูนย์กลางมี OM เป็นศูนย์ จึงยาวที่สุดตามที่เรียนในหน้าแรก

ตัวอย่าง 3

วงกลมรัศมี 5 มีคอร์ดหนึ่งห่างศูนย์กลาง 3 และอีกคอร์ดห่าง 4 เปรียบเทียบความยาว

  1. คอร์ดแรกยาว 225−9=82\sqrt{25-9}=8
  2. คอร์ดที่สองยาว 225−16=62\sqrt{25-16}=6
  3. คอร์ดแรกใกล้ศูนย์กลางกว่าและยาวกว่าจริง 2 หน่วย

ลองคิดก่อน

ลากเส้นจาก O ไปจุดใดก็ได้บนคอร์ด แล้วถือว่าได้ครึ่งคอร์ดได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ ต้องลากตั้งฉาก หรือทราบก่อนว่าจุดนั้นเป็นจุดกึ่งกลาง การอยู่บนคอร์ดเพียงอย่างเดียวไม่ได้ทำให้สองส่วนเท่ากัน และยังใช้พีทาโกรัสไม่ได้หากไม่ทราบมุมฉาก

สรุป

  • ตรวจมุมฉากก่อนใช้ความสัมพันธ์ระหว่างครึ่งคอร์ด รัศมี และระยะจากศูนย์กลาง
  • หาครึ่งคอร์ดแล้วคูณสองเมื่อโจทย์ถามคอร์ดเต็ม
  • เมื่อรัศมีเท่ากัน คอร์ดที่ใกล้ศูนย์กลางกว่ายาวกว่า