36.6 แบบฝึกหัด

แทน $x = -1$ ลงในทุกตำแหน่งของ $x$ พร้อมวงเล็บ ได้ $(-1)^2 - 2(-1) + 3$ พจน์แรก $(-1)^2 = 1$ พจน์กลางเป็นลบคูณลบจึงได้ $+2$ รวมเป็น $1 + 2 + 3 = 6$

ฟังก์ชันห้ามตัวหน้าตัวเดียวคู่กับตัวหลังหลายค่า จึงไล่ดูตัวหน้าทีละชุด ชุดแรกตัวหน้า $1$ กับ $2$ ไม่ซ้ำกัน แม้ตัวหลังเป็น $2$ เหมือนกันก็ยังเป็นฟังก์ชัน ชุดที่สองตัวหน้า $1$ ปรากฏสองครั้งและคู่กับ $2$ กับ $3$ ถ้าถามค่าที่ $1$ จะตอบไม่ได้ จึงไม่เป็นฟังก์ชัน ชุดที่สามตัวหน้าไม่ซ้ำ เป็นฟังก์ชัน

ค่ารถแยกเป็นสองส่วน ค่าตั้งต้นที่จ่ายแน่นอน $15$ บาท กับค่าตามระยะกิโลเมตรละ $4$ บาท จึงได้ $C(d) = 15 + 4d$ เมื่อ $d \ge 0$ แทน $d = 7$ ได้ $C(7) = 15 + 28 = 43$ บาท

ค่าจอดเป็นฟังก์ชันขั้นบันได แบ่งช่วงก่อน $0 \lt t \le 1$ จ่าย $30$ บาท $1 \lt t \le 2$ จ่าย $60$ บาท และ $2 \lt t \le 3$ จ่าย $90$ บาท เวลา $2.1$ มากกว่า $2$ แต่ไม่เกิน $3$ จึงอยู่ช่วงที่สาม จ่าย $3 \times 30 = 90$ บาท การคิด $2.1 \times 30$ เป็นการคิดตามสัดส่วนซึ่งไม่ใช่กติกานี้

ผลต่างคือ $10$ กับ $30$ ไม่คงที่ จึงไม่ใช่เชิงเส้น แต่อัตราส่วน $15 \div 5 = 45 \div 15 = 3$ คงที่ ได้แบบจำลอง $f(t) = 5 \cdot 3^t$ ที่ $t = 3$ จึงได้ $5 \cdot 27 = 135$ ซึ่งเท่ากับคูณค่าล่าสุดด้วย $3$ อีกครั้ง $45 \times 3 = 135$

วาดระดับ $30$ บน $(0,1]$ ระดับ $60$ บน $(1,2]$ และระดับ $90$ บน $(2,3]$ จุดซ้ายโปร่งขวาทึบทุกช่วง เกณฑ์ตรวจคือความสูงครบสามระดับ ขอบไม่ซ้อนค่าที่เวลาเดียว และกำกับหน่วย

ข้อมูลเข้าต้องผ่านสองเงื่อนไขพร้อมกัน ข้างในรากไม่ติดลบ คือ $x - 2 \ge 0$ หรือ $x \ge 2$ และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ คือ $x \ne 5$ ตัวเลือก $1$ ให้ $\sqrt{-1}$ ไม่เป็นจำนวนจริง ตัวเลือก $5$ ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ เหลือ $3$ ที่ให้ $\sqrt{1}/(-2) = -\tfrac{1}{2}$ คำนวณได้

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ทำ $g$ ก่อน จึงแทน $g(x) = x^2 - 1$ ลงในช่องของ $f$ ทั้งก้อนพร้อมวงเล็บ ได้ $3(x^2 - 1) + 2$ แล้วกระจาย $3x^2 - 3 + 2 = 3x^2 - 1$

ตั้ง $y = 4x - 8$ ฟังก์ชันนี้คูณ $4$ แล้วลบ $8$ การย้อนจึงบวก $8$ ก่อน ได้ $y + 8 = 4x$ แล้วหารด้วย $4$ ได้ $x = \dfrac{y + 8}{4}$ สลับชื่อตัวแปรได้ $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 8}{4}$ ตรวจ $f^{-1}(f(x)) = \dfrac{(4x - 8) + 8}{4} = x$

เรนจ์เดิมคือ $[0,\infty)$ เมื่อแก้ $y=x^2$ ต้องเลือกรากลบเพราะโดเมนเดิมไม่บวก จึงได้ $f^{-1}(x)=-\sqrt x$ โดเมน $[0,\infty)$ เรนจ์ $(-\infty,0]$ เกณฑ์ตรวจคือรากลบ การสลับโดเมนเรนจ์ และตรวจที่ $f(-3)=9$ แล้วผกผัน $9$ คืน $-3$

ทำกำลังสองสมบูรณ์ ครึ่งหนึ่งของ $-6$ คือ $-3$ จึงได้ $f(x) = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ ด้านจำกัด $(x-3)^2 \ge 0$ จึงได้ $f(x) \ge 2$ ด้านเกิดได้จริง ทุก $y \ge 2$ มี $x = 3 + \sqrt{y-2}$ ที่ให้ $f(x) = y$ เรนจ์จึงเป็น $[2,\infty)$