35.4 การนำเลขยกกำลังไปใช้

ร้านลดราคาสินค้าสองรอบ รอบละ $10$ เปอร์เซ็นต์ ยอดลดรวมไม่ได้เป็น $20$ เปอร์เซ็นต์ของราคาเดิม เพราะรอบที่สองคิดจากราคาที่ลดแล้ว การคูณซ้ำแสดงด้วยเลขยกกำลังได้

เรื่องแบบนี้พบบ่อยกว่าที่คิด ดอกเบี้ยเงินฝาก ราคาสินค้าที่ขึ้นทุกปี จำนวนผู้ติดตามช่องวิดีโอที่โตเป็นเปอร์เซ็นต์ หรือยาที่ร่างกายขับออกวันละครึ่งหนึ่ง ล้วนเป็นการคูณด้วยตัวเลขเดิมซ้ำหลายรอบ หน้านี้ใช้เลขยกกำลังจากบทที่ 14 และรากจากหน้า 35.1 ถึง 35.3 ตอบคำถามเหล่านี้

ร้อยละกลายเป็นตัวคูณ

ลดราคา $10$ เปอร์เซ็นต์จากราคา $P$ คือหักออก $0.1P$ เหลือ $P - 0.1P$ ดึง $P$ ออกเป็นตัวร่วมได้ $P(1 - 0.1) = 0.9P$ การลดราคาจึงเท่ากับการคูณด้วย $0.9$ ไม่ต้องหาส่วนลดแยกแล้วค่อยลบ วิธีคิดนี้ต่อยอดจากร้อยละในบทที่ 7

เพิ่ม $r$ เปอร์เซ็นต์หมายถึงคูณด้วย $1+r/100$ ลด $r$ เปอร์เซ็นต์หมายถึงคูณด้วย $1-r/100$ ถ้าใช้ตัวคูณเดิม $n$ รอบ ปริมาณสุดท้ายคือปริมาณเริ่มต้นคูณตัวคูณยกกำลัง $n$

ถ้าให้ $A_0$ เป็นปริมาณเริ่มต้น $m$ เป็นตัวคูณต่อรอบ และ $A_n$ เป็นปริมาณหลังผ่านไป $n$ รอบ จะได้

A_n = A_0\, m^n

ตารางข้างล่างคิดรองเท้าราคา $1200$ บาท ลดสองรอบ รอบละ $10$ เปอร์เซ็นต์ ทีละรอบ จะเห็นว่าส่วนลดรอบสองน้อยกว่ารอบแรก เพราะคิดจากฐานที่เล็กลง

รอบ	ราคาก่อนลด (บาท)	ส่วนลด 10% (บาท)	ราคาหลังลด (บาท)
1	1200	120	1080
2	1080	108	972

ตัวอย่าง 1

รองเท้าราคา $1200$ บาท ลดสองรอบ รอบละ $10$ เปอร์เซ็นต์ เหลือเท่าไร

แต่ละรอบคูณ $0.9$ เพราะลด $10$ เปอร์เซ็นต์คือเหลือ $90$ เปอร์เซ็นต์ของราคาก่อนลดรอบนั้น
สองรอบคือคูณ $0.9$ ซ้ำสองครั้ง ได้ $1200(0.9)^2=1200(0.81)=972$ บาท ตรงกับตาราง
ลดรวม $1200 - 972 = 228$ บาท คิดเป็น $\tfrac{228}{1200} = 0.19$ หรือ $19$ เปอร์เซ็นต์ของราคาเดิม ดูจากตัวคูณก็ได้ $0.81$ คือเหลือ $81$ เปอร์เซ็นต์ จึงลดไป $19$ เปอร์เซ็นต์ ไม่ใช่ $20$

ก่อนใช้ต้องอ่านว่าร้อยละคิดต่อเดือน ต่อปี หรือต่อรอบ จำนวนครั้งในเลขชี้กำลังต้องตรงหน่วยเวลา ถ้าตัวคูณแต่ละรอบต่างกัน ต้องคูณตัวคูณของแต่ละรอบ ไม่แทนด้วยกำลังเดียวตามใจ

ตัวอย่าง 2

ฝากเงิน $10000$ บาท ได้ดอกเบี้ยร้อยละ $2$ ต่อปี ทบต้นทุกปี เมื่อครบ $3$ ปี มีเงินในบัญชีเท่าไร

ทบต้นหมายถึงดอกเบี้ยของปีที่แล้วถูกรวมเข้าเงินต้น และปีถัดไปได้ดอกเบี้ยจากยอดใหม่ทั้งก้อน แต่ละปีเงินจึงถูกคูณด้วย $1 + 0.02 = 1.02$
ดอกเบี้ยคิดต่อปีและฝาก $3$ ปี จำนวนรอบจึงเป็น $3$ ได้ $10000(1.02)^3$
$(1.02)^2 = 1.0404$ และ $1.0404 \times 1.02 = 1.061208$ จึงมีเงิน $10000 \times 1.061208 = 10612.08$ บาท
ถ้าคิดดอกเบี้ยจากเงินต้นเดิมทุกปีจะได้แค่ $3 \times 200 = 600$ บาท แต่ทบต้นได้ $612.08$ บาท ส่วนเกิน $12.08$ บาทคือดอกเบี้ยที่เกิดจากดอกเบี้ย

ลองคิดก่อน

ธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละ $1$ ต่อเดือน ทบต้นทุกเดือน เพื่อนบอกว่าครบหนึ่งปีเงินเพิ่ม $12$ เปอร์เซ็นต์พอดี ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่พอดี หนึ่งปีทบต้น $12$ รอบ ตัวคูณทั้งปีคือ $(1.01)^{12} \approx 1.1268$ เงินเพิ่มประมาณ $12.68$ เปอร์เซ็นต์ มากกว่า $12$ เล็กน้อย เพราะทุกเดือนได้ดอกเบี้ยจากดอกเบี้ยของเดือนก่อนๆ ด้วย จำนวนรอบต้องนับตามหน่วยของอัตรา คือนับเป็นเดือน

ลองคิดก่อน

เพิ่มราคา $20$ เปอร์เซ็นต์แล้วลด $20$ เปอร์เซ็นต์กลับราคาเดิมไหม

ดูคำตอบ

ไม่กลับ ตัวคูณรวม $1.2(0.8)=0.96$ จึงเหลือ $96$ เปอร์เซ็นต์ของราคาเดิม ฐานของการคิดร้อยละแต่ละรอบต่างกัน

หาอัตราจากผลลัพธ์

บางครั้งรู้ค่าเริ่มต้นกับค่าสุดท้าย แต่ไม่รู้อัตรา ถ้ารู้จำนวนรอบ $n$ ก็ย้อนหาตัวคูณได้ด้วยรากที่ $n$ หรือเลขชี้กำลัง $\tfrac{1}{n}$ ตามหน้า 35.3 แบบเดียวกับเงินออมของชมรมในหน้า 35.1

ตัวอย่าง 3

ตำบลหนึ่งมีประชากร $2000$ คน อีก $2$ ปีต่อมามี $2420$ คน ถ้าเพิ่มด้วยอัตราร้อยละเท่ากันทุกปี เพิ่มปีละกี่เปอร์เซ็นต์

ให้ตัวคูณต่อปีเป็น $r$ สองปีได้ $2000r^2 = 2420$ หารด้วย $2000$ ได้ $r^2 = 1.21$
ประชากรเพิ่ม $r$ จึงเป็นบวก ใช้รากหลัก $r = 1.21^{1/2} = \sqrt{1.21} = 1.1$ เพราะ $1.1^2 = 1.21$
ตัวคูณ $1.1$ คือเพิ่มปีละ $10$ เปอร์เซ็นต์ ตรวจ $2000 \to 2200 \to 2420$
ถ้าเอาเพิ่มรวม $21$ เปอร์เซ็นต์หารสองได้ $10.5$ จะผิด เพราะปีที่สองโตจากฐาน $2200$ ไม่ใช่ $2000$ การแบ่งตัวคูณออกเป็นรอบเท่าๆ กันต้องใช้ราก ไม่ใช่การหาร

หามิติจากพื้นที่และปริมาตร

ถ้ารูปคล้ายกันมีอัตราส่วนด้าน $k$ พื้นที่เป็น $k^2$ เท่าและปริมาตรเป็น $k^3$ เท่า การย้อนจากอัตราส่วนพื้นที่สู่ด้านใช้กำลัง $1/2$ ส่วนย้อนปริมาตรใช้กำลัง $1/3$ ตรวจด้วยการยกกำลังกลับ

เหตุผลอยู่ที่การนับหน่วย ขยายด้านเป็น $3$ เท่า จัตุรัสหนึ่งหน่วยกลายเป็นจัตุรัสที่มีช่องเล็ก $3$ แถว แถวละ $3$ ช่อง คือ $3^2 = 9$ ช่อง ถ้าเป็นลูกบาศก์ ยังมีความสูงอีกสามชั้น จึงได้ $3^3 = 27$ ก้อน ความรู้เรื่องรูปคล้ายนี้มาจากบทที่ 24

ด้านเพิ่ม 3 เท่า พื้นที่เพิ่ม 3² = 9 เท่า ถ้าเป็นลูกบาศก์ ปริมาตรเพิ่ม 3³ = 27 เท่า

ตัวอย่าง 4

กล่องลูกบาศก์ใบใหญ่มีปริมาตรเป็น $27$ เท่าของใบเล็ก ถ้าใบเล็กด้านยาว $4$ เซนติเมตร ใบใหญ่ด้านยาวเท่าไร

ให้อัตราส่วนด้านเป็น $k$ ปริมาตรเป็น $k^3$ เท่า จึงได้ $k^3 = 27$ ย้อนด้วยรากที่สาม อัตราส่วนด้านคือ $27^{1/3}=3$
ด้านใบใหญ่ $4\times3=12$ เซนติเมตร ไม่ใช่ $4 \times 27$ เพราะ $27$ เท่าเป็นของปริมาตร ไม่ใช่ของความยาว
ตรวจปริมาตร $12^3/4^3=1728/64=27$

ลองคิดก่อน

โปสเตอร์ขยายใหม่มีพื้นที่เป็น $2.25$ เท่าของแผ่นเดิม เพื่อนบอกว่าด้านยาวขึ้น $2.25$ เท่าด้วย ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก พื้นที่เป็นกำลังสองของอัตราส่วนด้าน ด้านจึงยาวขึ้น $2.25^{1/2} = 1.5$ เท่า ตรวจ $1.5^2 = 2.25$ ถ้าด้านยาวขึ้น $2.25$ เท่าจริง พื้นที่จะเป็นประมาณ $5.06$ เท่า

แบบจำลองร้อยละคงที่เป็นข้อตกลงของโจทย์ ไม่ได้รับรองว่าจำนวนนักเรียน ราคา หรือปริมาณจริงจะเปลี่ยนด้วยอัตราเดิมตลอดไป คำตอบต้องระบุช่วงเวลาที่กำหนด

ย้อนหาราคาก่อนเปลี่ยน

ถ้าทราบราคาหลังเปลี่ยนหลายครั้ง ให้หารด้วยตัวคูณรวม ไม่ใช่บวกร้อยละเดิมกลับ เพราะร้อยละเดิมคิดจากฐานที่ยังไม่รู้

ตัวอย่าง 5

สินค้าลดราคา $20$ เปอร์เซ็นต์แล้วเหลือ $640$ บาท ราคาเดิมเท่าไร

ให้ราคาเดิม $P$ บาท ลด $20$ เปอร์เซ็นต์คือคูณ $0.8$ ได้ $0.8P=640$
ย้อนการคูณด้วยการหาร หารด้วย $0.8$ ได้ $P=800$ บาท
ตรวจส่วนลด $0.2(800)=160$ บาท แล้ว $800-160=640$
ถ้าลดสองรอบ รอบละ $10$ เปอร์เซ็นต์ แล้วเหลือ $810$ บาท ตัวคูณรวมคือ $(0.9)^2 = 0.81$ ราคาเดิมจึงเป็น $\dfrac{810}{0.81} = 1000$ บาท

ถ้าเพิ่ม $20$ เปอร์เซ็นต์จาก $640$ จะได้ $768$ ไม่กลับเป็น $800$ การย้อนการคูณคือการหารด้วยตัวคูณ ไม่ใช่เปลี่ยนเครื่องหมายของอัตราร้อยละ

สรุป

เปลี่ยนร้อยละเป็นตัวคูณก่อนยกกำลัง
จำนวนรอบต้องตรงหน่วยเวลา
รู้ค่าต้นกับค่าปลาย หาตัวคูณต่อรอบด้วยรากที่ $n$ ไม่ใช่หารร้อยละรวมด้วย $n$
ย้อนพื้นที่ใช้รากที่สอง ย้อนปริมาตรใช้รากที่สาม
ย้อนหาค่าเดิมด้วยการหารด้วยตัวคูณรวม

บทที่ 37 จะมองการคูณซ้ำแบบนี้เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และใช้ลอการิทึมหาจำนวนรอบเมื่อไม่รู้ว่าต้องคูณกี่ครั้ง