38.6 วงรี

ช่างจัดสวนอยากทำแปลงดอกไม้รูปวงรี เขาตอกหมุดสองตัวลงดิน ผูกเชือกเส้นหนึ่งไว้กับหมุดทั้งสอง เอาไม้ดึงเชือกให้ตึงแล้วลากไปรอบๆ รอยที่ไม้ขีดบนดินคือวงรี ทุกจุดบนรอยนั้นมีสมบัติเดียวกัน ระยะจากจุดนั้นถึงหมุดตัวแรกบวกระยะถึงหมุดตัวที่สองเท่ากับความยาวเชือกเสมอ

วงรีพบได้ในธรรมชาติด้วย ดาวเคราะห์ทุกดวงโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรีที่มีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสหนึ่ง และห้องที่มีเพดานโค้งเป็นวงรี ถ้าคนหนึ่งกระซิบที่โฟกัสหนึ่ง อีกคนที่ยืนอยู่ที่โฟกัสอีกจุดจะได้ยินชัด เพราะเสียงที่สะท้อนผนังทุกทิศเดินทางไปรวมที่โฟกัสอีกจุดในเวลาเท่ากัน ห้องแบบนี้เรียกว่าห้องกระซิบ

นิยามด้วยผลบวกระยะ

ทำไมค่าคงตัวต้องมากกว่าระยะระหว่างโฟกัส ลองนึกถึงเชือก ถ้าเชือกยาวเท่ากับระยะระหว่างหมุดพอดี เชือกจะตึงเป็นเส้นตรงระหว่างหมุด ลากไปไหนไม่ได้ ถ้าเชือกสั้นกว่านั้นก็ผูกไม่ถึงด้วยซ้ำ นี่คืออสมการสามเหลี่ยม ผลบวกของสองด้านต้องยาวกว่าด้านที่สาม

วางศูนย์กลางวงรีที่จุดกำเนิด โฟกัสที่ $F_1(-c, 0)$ และ $F_2(c, 0)$ และเรียกค่าคงตัวว่า $2a$ ทำไมเลือกเขียนเป็น $2a$ ให้จุดที่วงรีตัดแกน $x$ ทางขวาเป็น $(v, 0)$ ระยะถึง $F_1$ คือ $v + c$ ระยะถึง $F_2$ คือ $v - c$ ผลบวกคือ $2v$ แต่ผลบวกนี้ต้องเท่ากับ $2a$ จึงได้ $v = a$ จุดยอดจึงอยู่ที่ $(\pm a, 0)$ และความยาวเชือกเท่ากับความยาวของวงรีตามแนวยาวพอดี ส่วนนี้เรียกว่าแกนเอก ยาว $2a$

ต่อไปดูจุด $B(0, b)$ ที่วงรีตัดแกน $y$ จุดนี้อยู่ห่างโฟกัสทั้งสองเท่ากันเพราะสมมาตร ผลบวกเป็น $2a$ แต่ละระยะจึงเท่ากับ $a$ สามเหลี่ยม $OBF_2$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มีขา $b$ กับ $c$ และด้านตรงข้ามมุมฉาก $a$ จากพีทาโกรัส

$c^2 = a^2 - b^2$

ส่วนของเส้นตรงจาก $(0, -b)$ ถึง $(0, b)$ เรียกว่าแกนโท ยาว $2b$ และสั้นกว่าแกนเอก เพราะ $a$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จึงยาวกว่าทั้ง $b$ และ $c$ โฟกัสจึงอยู่ภายในวงรีเสมอ

สมการรูปมาตรฐาน

แปลงนิยาม $PF_1 + PF_2 = 2a$ เป็นสมการด้วยสูตรระยะ แล้วกำจัดเครื่องหมายรากทีละตัว จะได้

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \qquad a > b > 0$

ถ้าแกนเอกเป็นแนวตั้ง โฟกัสอยู่บนแกน $y$ สมการเป็น $\tfrac{x^2}{b^2} + \tfrac{y^2}{a^2} = 1$ คือ $a^2$ ย้ายไปอยู่ใต้ $y^2$ วิธีดูง่ายที่สุดคือตัวส่วนที่ใหญ่กว่าบอกทิศของแกนเอก และตัวส่วนที่ใหญ่กว่าคือ $a^2$ เสมอ

ถ้าเลื่อนศูนย์กลางไปที่ $(h, k)$ ใช้ $(x - h)$ และ $(y - k)$ แทน $x$ และ $y$ แบบเดียวกับวงกลมและพาราโบลา จุดยอดและโฟกัสทั้งหมดเลื่อนไปพร้อมศูนย์กลาง

เมื่อ $c = 0$ โฟกัสทั้งสองซ้อนกันที่ศูนย์กลาง $b = a$ และวงรีกลายเป็นวงกลม ยิ่ง $c$ เข้าใกล้ $a$ วงรียิ่งแบน อัตราส่วน $\tfrac{c}{a}$ จึงใช้บอกว่าวงรีแบนแค่ไหน วงโคจรของโลกมีอัตราส่วนนี้น้อยมาก จึงเกือบเป็นวงกลม

อ่านค่าจากสมการ

ถ้าส่งระยะโฟกัสไปตามแกน $x$ จะได้คนละวงรี แม้คำนวณ $c$ ถูก ต้องตรวจทั้งตำแหน่งศูนย์กลางและทิศของแกนเอกก่อนเขียนคู่อันดับ

หาสมการจากสถานการณ์

ทำกำลังสองสมบูรณ์

เมื่อสมการถูกกระจายมา ให้ดูก่อนว่าสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ กับ $y^2$ เป็นบวกทั้งคู่แต่ไม่เท่ากัน นั่นคือลักษณะของวงรี จากนั้นทำกำลังสองสมบูรณ์ทีละตัวแปร ต่างจากวงกลมตรงที่ต้องดึงสัมประสิทธิ์ออกก่อน และสุดท้ายต้องหารให้ขวามือเป็น $1$

หน้าถัดไปจะเปลี่ยนผลบวกเป็นผลต่าง ได้ไฮเพอร์โบลา ซึ่งหน้าตาต่างจากวงรีมาก แต่สมการต่างกันแค่เครื่องหมายเดียว

สรุป

• วงรีคือจุดที่ผลบวกระยะถึงสองโฟกัสเท่ากับ $2a$ ซึ่งเป็นความยาวแกนเอก
• รูปมาตรฐาน $\tfrac{(x - h)^2}{a^2} + \tfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ ตัวส่วนที่ใหญ่กว่าคือ $a^2$ และบอกทิศของแกนเอก
• วงรีมีสองพจน์บวกและใช้ $c^2=a^2-b^2$ โฟกัสอยู่ภายใน
• รูปทั่วไป ดึงสัมประสิทธิ์ออกก่อนเติมกำลังสอง บวกขวามือด้วยค่าที่เติมจริง แล้วหารให้ขวามือเป็น $1$