38.8 แบบฝึกหัด

ผลต่างพิกัด $x$ คือ $4 - (-2) = 6$ ผลต่างพิกัด $y$ คือ $9 - 1 = 8$ สองค่านี้เป็นขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ระยะตรงจึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$

พิกัด $x$ ของจุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ สองปลาย $\dfrac{-4 + 6}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ ตรวจได้ว่า $1$ อยู่ห่างจาก $-4$ และ $6$ เท่ากันคือ $5$ หน่วย

ความชัน $\dfrac{8-2}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2$ เส้นผ่าน $(0, 2)$ ซึ่งอยู่บนแกน $y$ จุดตัดแกน $y$ จึงเป็น $2$ ได้ $y = 2x + 2$ ตรวจจุด $(3, 8)$ ได้ $2(3) + 2 = 8$ ถูกต้อง

$y$ ยกกำลังสอง จึงเทียบกับ $y^2 = 4px$ ได้ $4p = 12$ หารสี่ได้ $p = 3$ เป็นบวก กราฟเปิดขวา โฟกัสอยู่บนแกน $x$ ห่างจุดยอด $(0, 0)$ ไป $3$ หน่วย คือ $(3, 0)$

ระยะสั้นที่สุดคือระยะตั้งฉาก ใช้สูตร $\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ แทน $(1, 2)$ ได้ตัวเศษ $|3(1) + 4(2) - 1| = |10| = 10$ ตัวส่วน $\sqrt{9+16} = 5$ ระยะ $\dfrac{10}{5} = 2$ กิโลเมตร

เทียบกับ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ขวามือคือรัศมีกำลังสอง $r^2 = 49$ จึงมี $r=\sqrt{49}=7$ เมตร ส่วน $(2, -1)$ คือศูนย์กลาง ไม่เกี่ยวกับรัศมี

ตัวส่วนที่ใหญ่กว่าคือ $36$ จึงเป็น $a^2$ และ $b^2 = 20$ วงรีใช้ $c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 20 = 16$ จึงได้ $c = 4$ โฟกัสอยู่ห่างศูนย์กลาง $4$ หน่วย ซึ่งน้อยกว่า $a = 6$ ตามที่ควร

ศูนย์กลาง $(0,0)$ เปิดขึ้นลงเพราะพจน์ $y$ เป็นบวก จุดยอด $(0,\pm3)$ โฟกัส $(0,\pm5)$ จาก $c^2=9+16$ เส้นกำกับ $y=\pm3x/4$ เกณฑ์ตรวจคือทิศเปิดถูก จุดยอดอยู่แกน y โฟกัสอยู่นอกจุดยอด และเส้นกำกับสองเส้นผ่านศูนย์กลาง

จับกลุ่มทีละตัวแปรแล้วย้ายค่าคงตัว $(x^2 + 4x) + (y^2 - 10y) = -20$ เติมกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ คือ $4$ และ $25$ ทั้งสองข้าง ได้ $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = -20 + 4 + 25 = 9$ ขวามือคือ $r^2$ รัศมีจึงเป็น $\sqrt9 = 3$ และศูนย์กลางคือ $(-2, 5)$

วางก้นจานที่จุดกำเนิดให้จานเปิดขึ้น สมการคือ $x^2 = 4py$ ขอบจานอยู่ห่างแกน $40$ เซนติเมตร ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง และสูง $20$ เซนติเมตร จุด $(40, 20)$ จึงอยู่บนพาราโบลา แทนค่าได้ $1600 = 4p(20) = 80p$ จึงได้ $p = 20$ โฟกัสอยู่ห่างก้นจาน $20$ เซนติเมตร ซึ่งพอดีกับระดับขอบจาน