45.4 ค่ารายงวดและการผ่อนชำระ

ร้านมือถือติดป้ายว่า ผ่อน $0\%$ นาน $10$ เดือน ร้านรถจักรยานยนต์บอกว่า ดาวน์น้อย ผ่อนเดือนละไม่ถึงสองพันบาท ตัวเลขบนป้ายดูง่าย แต่จะรู้ว่าจ่ายแพงกว่าราคาเงินสดเท่าไร ต้องรวมเงินหลายงวดที่จ่ายต่างวันกัน หน้า 45.3 สอนให้ย้ายเงินก้อนเดียวบนเส้นเวลา หน้านี้ย้ายเงินหลายก้อนที่เท่ากันทุกงวด แล้วจะพบว่าผลรวมเป็นอนุกรมเรขาคณิตจากหน้า 45.2

เงินฝากรายงวดคือผลรวมของเงินหลายก้อน

สมมติฝากเงิน $R$ บาททุกปลายงวด รวม $n$ งวด อัตราต่องวด $i$ แล้วถามยอดเงิน ณ ปลายงวดที่ $n$ ซึ่งเป็นวันที่ฝากครั้งสุดท้าย ก้อนแรกฝากปลายงวดที่หนึ่ง อยู่ในบัญชีอีก $n-1$ งวด จึงโตเป็น $R(1+i)^{n-1}$ ก้อนที่สองโตเป็น $R(1+i)^{n-2}$ ไล่ไปจนก้อนสุดท้ายที่เพิ่งฝาก ยังเป็น $R$ เรียงจากก้อนสุดท้ายกลับไปก้อนแรกได้

F = R + R(1+i) + R(1+i)^2 + \cdots + R(1+i)^{n-1}

นี่คืออนุกรมเรขาคณิต $n$ พจน์ พจน์แรก $R$ อัตราส่วน $1 + i$ ใช้สูตรจากหน้า 45.2 ได้ $F = R\dfrac{(1+i)^n - 1}{(1+i) - 1}$ ส่วนเหลือ $i$ พอดี

สมบัติ

ฝาก $R$ บาททุกปลายงวด รวม $n$ งวด ด้วยอัตราคงที่ $i\ne0$ ได้มูลค่าอนาคต $F=R\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ และมูลค่าปัจจุบัน $P=R\dfrac{1-(1+i)^{-n}}i$

มูลค่าปัจจุบันได้จากการย้ายทุกก้อนกลับมาวันนี้ ก้อนที่ $k$ หารด้วย $(1+i)^k$ ผลรวมเป็นอนุกรมเรขาคณิตอีกชุดที่มีอัตราส่วน $(1+i)^{-1}$ หรือหาร $F$ ด้วย $(1+i)^n$ ทีเดียวก็ได้ผลเดียวกัน ถ้า $i=0$ ผลรวมคือ $nR$

ตัวอย่าง 1

ฝากปลายปีปีละ $1000$ บาท สามปี อัตรา $5\%$ ต่อปี ณ ปลายปีที่สามมีเท่าไร

เงินสามก้อนโตเป็น $1000(1.05)^2$ , $1000(1.05)$ และ $1000$
รวม $1102.50+1050+1000=3152.50$ บาท
ตรวจด้วยสูตร $1000\dfrac{(1.05)^3 - 1}{0.05} = 1000 \times 3.1525 = 3152.50$ บาท ตรงกัน

ลองคิดก่อน

ฝากปลายปีสามครั้งแล้วคิดดอกเบี้ยให้ทุกก้อนสามปีได้หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ได้ ต้องวาดวันฝากกับวันประเมิน ก้อนสุดท้ายเพิ่งฝากจึงยังไม่เกิดดอกเบี้ย การคิดให้ทุกก้อนเท่ากันทำให้ประเมินเงินสูงเกินจริง

ตัวอย่าง 2

นิดฝากเงินทุกสิ้นเดือน เดือนละ $2000$ บาท นาน $2$ ปี บัญชีให้ดอกเบี้ยร้อยละ $1.2$ ต่อปี ทบต้นทุกเดือน วันที่ฝากครั้งสุดท้ายมีเงินในบัญชีเท่าไร ตอบเป็นบาททศนิยมสองตำแหน่ง

แปลงหน่วยก่อนตามหน้า 45.3 อัตราต่อเดือน $i = 0.012/12 = 0.001$ และ $n = 24$ งวด
$F = 2000\dfrac{(1.001)^{24} - 1}{0.001}$ ประมาณ $48556.07$ บาท
เงินที่ฝากเองคือ $24 \times 2000 = 48000$ บาท ดอกเบี้ยรวมราว $556.07$ บาท ตรวจความสมเหตุสมผลได้ว่า ดอกเบี้ยต้องน้อยกว่า $48000 \times 0.012 \times 2 = 1152$ บาท เพราะเงินส่วนใหญ่ไม่ได้อยู่ครบสองปี

ฝากต้นงวด

ถ้าฝากทุกต้นงวดแทน ทุกก้อนได้ดอกเบี้ยเพิ่มอีกหนึ่งงวดเมื่อเทียบกับฝากปลายงวด ยอด ณ ปลายงวดที่ $n$ จึงเท่ากับสูตรปลายงวดคูณ $1 + i$ เช่นตัวอย่างที่ 1 ถ้าฝากต้นปี จะได้ $3152.50(1.05) = 3310.125$ หรือประมาณ $3310.13$ บาท ก่อนใช้สูตรให้วาดเส้นเวลาทุกครั้ง แล้วถามว่าก้อนแรกและก้อนสุดท้ายอยู่ในบัญชีกี่งวด

ค่าผ่อนคือมูลค่าปัจจุบันที่เท่ากับยอดกู้

เงินกู้เป็นการแลกเงินก้อนวันนี้กับเงินชำระอนาคต ทุกงวดต้องคิดลดกลับมาวันเดียวกันก่อนรวม ยอดกู้จึงเท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่าผ่อนทุกงวด แก้สูตรหา $R$ ได้

R = \frac{Pi}{1 - (1+i)^{-n}}

วิธีนี้ไม่ใช่การเอายอดกู้บวกดอกเบี้ยทั้งหมดแล้วหารจำนวนงวดโดยไม่มีเส้นเวลา ดอกเบี้ยแต่ละงวดคิดจากหนี้ที่ยังเหลือ หนี้ลดลงทุกงวด ดอกเบี้ยจึงลดตาม ในไทยเรียกการคิดแบบนี้ว่าลดต้นลดดอก

ตัวอย่าง 3

กู้วันนี้ $2100$ บาท ชำระปลายงวดสองครั้งเท่ากัน อัตราดอกเบี้ย $10\%$ ต่องวด ต้องชำระครั้งละเท่าไร

ให้ชำระครั้งละ $R$ มูลค่าปัจจุบันคือ $R/1.1+R/(1.1)^2=2100$
ผลรวมตัวคูณคิดลดคือ $\dfrac{10}{11} + \dfrac{100}{121} = \dfrac{210}{121}$ จึงได้ $R=2100 \times \dfrac{121}{210}=1210$
ตรวจด้วยตารางยอดคงเหลือข้างล่าง หนี้หมดพอดีเมื่อจ่ายงวดที่สอง

งวด	หนี้ต้นงวด	ดอกเบี้ย	จ่าย	หนี้ปลายงวด
1	2100	210	1210	1100
2	1100	110	1210	0

ตัวอย่าง 4

รถจักรยานยนต์ราคา $60000$ บาท ดาวน์ $10000$ บาท ส่วนที่เหลือผ่อน $36$ งวดทุกสิ้นเดือน อัตราดอกเบี้ยแบบลดต้นลดดอกร้อยละ $1$ ต่อเดือน ค่างวดเท่าไร และดอกเบี้ยรวมเท่าไร ตอบเป็นบาททศนิยมสองตำแหน่ง

ยอดกู้คือ $60000 - 10000 = 50000$ บาท เงินดาวน์จ่ายวันนี้แล้ว ไม่อยู่ในค่างวด
$R = \dfrac{50000(0.01)}{1 - (1.01)^{-36}}$ ประมาณ $1660.72$ บาท
จ่ายรวม $36$ งวด ประมาณ $59785.76$ บาท ดอกเบี้ยรวมราว $9785.76$ บาท

ขั้นที่ 3 คูณค่างวดก่อนปัดเศษ ถ้าใช้ $1660.72 \times 36 = 59785.92$ จะต่างไปราวสิบหกสตางค์ เพราะปัดเศษไปแล้ว ในชีวิตจริงผู้ให้กู้ปัดค่างวดแล้วปรับเศษในงวดสุดท้าย

อัตราคงที่กับลดต้นลดดอก

สัญญาเช่าซื้อรถในไทยหลายแห่งบอกอัตราแบบคงที่ หรืออัตราแฟลต คือคิดดอกเบี้ยจากยอดจัดเต็มจำนวนตลอดสัญญา เหมือนดอกเบี้ยคงต้นในหน้า 45.3 แม้หนี้จะลดลงทุกเดือนแล้วก็ตาม

ตัวอย่าง 5

ยอดจัด $50000$ บาทเท่าตัวอย่างที่ 4 แต่คิดอัตราคงที่ร้อยละ $12$ ต่อปี $3$ ปี ค่างวดเท่าไร เทียบกับตัวอย่างที่ 4

ดอกเบี้ยทั้งสัญญาคิดจากยอดจัดเต็ม $50000(0.12)(3) = 18000$ บาท
ค่างวด $\dfrac{50000 + 18000}{36}$ ประมาณ $1888.89$ บาท
ตัวเลขร้อยละ $12$ ต่อปีเท่ากับร้อยละ $1$ ต่อเดือนของตัวอย่างที่ 4 แต่ดอกเบี้ยรวม $18000$ บาท มากกว่า $9785.76$ บาทเกือบสองเท่า เพราะอัตราคงที่คิดดอกเบี้ยจากหนี้ที่จ่ายคืนไปแล้วด้วย

ลองคิดก่อน

มือถือราคาเงินสด $20000$ บาท ร้านให้ผ่อน $0\%$ เดือนละ $2000$ บาท $10$ เดือน แต่เก็บค่าธรรมเนียมจัดการ $1200$ บาทวันทำสัญญา เพื่อนบอกว่าไม่มีดอกเบี้ย จึงถูกกว่ากู้เงินที่ร้อยละ $1$ ต่อเดือนแบบลดต้นลดดอก ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ผ่อน $0\%$ จ่ายรวม $1200 + 20000 = 21200$ บาท ถ้ากู้ $20000$ บาท ร้อยละ $1$ ต่อเดือน $10$ งวด ค่างวดประมาณ $2111.64$ บาท จ่ายรวมราว $21116.42$ บาท น้อยกว่า ค่าธรรมเนียมทำหน้าที่เป็นดอกเบี้ยที่ไม่ได้เรียกชื่อว่าดอกเบี้ย และยังจ่ายตั้งแต่วันแรก ถ้าคิดเป็นมูลค่าปัจจุบันจะยิ่งแพงกว่า ต้องอ่านค่าธรรมเนียมทุกรายการก่อนเชื่อคำว่า $0\%$

ตรวจวิธีคิด

ถ้าเปลี่ยนจากปลายงวดเป็นต้นงวด ค่ารายงวดต้องเปลี่ยนเพราะเงินก้อนแรกถูกจ่ายทันที ตรวจด้วยตารางยอดคงเหลือได้ว่าแต่ละงวดคิดดอกเบี้ยจากหนี้ที่เหลือจริง

สรุป

เงินรายงวดหลายก้อนรวมกันเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน $1 + i$
มูลค่าอนาคต $R\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ มูลค่าปัจจุบัน $R\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}$
ค่ารายงวดปลายงวดกับต้นงวดต่างกันหนึ่งงวดดอกเบี้ย
ยอดกู้เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่างวดทุกงวด อัตราคงที่แพงกว่าลดต้นลดดอกที่ตัวเลขเท่ากัน
คำว่า $0\%$ ต้องดูค่าธรรมเนียมประกอบ

สายพื้นฐานจบบทที่หน้านี้ สายเพิ่มเติมจะไปต่อที่ลิมิตของลำดับ ซึ่งตอบว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อจำนวนงวดหรือจำนวนพจน์เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด