50.3 การแจกแจงทวินาม

ตรวจชิ้นงานหลายชิ้นแล้วนับจำนวนชิ้นผ่าน ถ้าแต่ละชิ้นเป็นอิสระและโอกาสผ่านเท่ากัน แบบจำลองทวินามช่วยนับจำนวนวิธีเลือกตำแหน่งที่ผ่านทั้งหมด

คำถามที่นักเรียนหลายคนเคยคิดตอนใกล้สอบคือ ถ้าข้อสอบปรนัยมี $10$ ข้อ ข้อละ $4$ ตัวเลือก แล้วไม่อ่านหนังสือเลย เดาทุกข้อ จะมีโอกาสได้ครึ่งหนึ่งขึ้นไปสักเท่าไร ลองเดาคำตอบในใจไว้ก่อน แล้วเทียบกับผลที่คำนวณได้ในตัวอย่างที่ 3 คำถามนี้มีโครงเดียวกับการตรวจชิ้นงาน การโยนเหรียญ และการส่งแบบสอบถาม คือทำซ้ำหลายครั้งแล้วนับจำนวนครั้งที่ได้ผลที่สนใจ

เงื่อนไขก่อนสูตร

ทดลองจำนวนครั้งคงที่ $n$ แต่ละครั้งมีสำเร็จกับไม่สำเร็จ โอกาสสำเร็จเท่ากันเป็น $p$ และแต่ละครั้งเป็นอิสระ ให้ $X$ นับจำนวนสำเร็จ เขียน $X\sim B(n,p)$

แยกเป็นสี่ข้อเพื่อตรวจทีละข้อ

1. จำนวนครั้ง $n$ กำหนดไว้ก่อนเริ่ม ไม่ใช่ทำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะสำเร็จ
2. แต่ละครั้งมีผลสองแบบ เรียกว่าสำเร็จกับไม่สำเร็จ คำว่าสำเร็จเป็นแค่ชื่อของผลที่เรานับ เช่น ชิ้นงานเสียก็เรียกว่าสำเร็จได้ถ้าเรานับชิ้นเสีย
3. โอกาสสำเร็จ $p$ เท่ากันทุกครั้ง
4. ผลของแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน ตามความหมายในบทที่ 44

ข้อ 1 ตัดกรณีโยนเหรียญจนกว่าจะได้หัวออกไป เพราะจำนวนครั้งไม่คงที่ ข้อ 3 กับข้อ 4 ตัดกรณีหยิบของไม่ใส่คืนจากกล่องเล็ก เพราะโอกาสครั้งถัดไปขึ้นกับครั้งก่อน

ที่มาของสูตรจากการนับ

ลองหาโอกาสสำเร็จพอดี $2$ ครั้งจาก $4$ ครั้ง เขียน S แทนสำเร็จ F แทนไม่สำเร็จ ลำดับหนึ่งที่เป็นไปได้คือ SSFF เพราะแต่ละครั้งเป็นอิสระ โอกาสของลำดับนี้คือผลคูณ $p\cdot p\cdot(1-p)\cdot(1-p)=p^2(1-p)^2$ ลำดับอื่น เช่น SFSF หรือ FFSS ก็มี S สองตัวและ F สองตัว จึงมีโอกาส $p^2(1-p)^2$ เท่ากันทุกลำดับ เหลือแค่นับว่ามีกี่ลำดับ ซึ่งคือการเลือกตำแหน่งของ S สองตำแหน่งจากสี่ตำแหน่ง ได้ $\binom42=6$ ลำดับตามบทที่ 43 โอกาสรวมจึงเป็น $6p^2(1-p)^2$

สัมประสิทธิ์จัดหมู่นับตำแหน่งที่สำเร็จ ส่วนกำลังนับโอกาสของรูปแบบหนึ่ง ถ้าหยิบของจำนวนจำกัดโดยไม่คืน โอกาสครั้งถัดไปเปลี่ยนและไม่เป็นอิสระ จึงไม่ใช่ทวินามตรงๆ

ชื่อทวินามมาจากทฤษฎีบททวินามในบทที่ 43 เมื่อกระจาย $\big(p+(1-p)\big)^n$ พจน์แต่ละพจน์คือ $\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$ พอดี และผลรวมทุกพจน์เท่ากับ $1^n=1$ จึงเป็นเหตุผลว่าตารางการแจกแจงทวินามรวมได้หนึ่งเสมอ

ค่าเฉลี่ย np และความแปรปรวน np(1−p)

สูตรค่าเฉลี่ยเดาได้จากสามัญสำนึก เดาข้อสอบ $10$ ข้อ แต่ละข้อถูกด้วยโอกาสหนึ่งในสี่ ระยะยาวก็ควรถูกราวหนึ่งในสี่ของ $10$ ข้อ คือ $2.5$ ข้อ เหตุผลที่ละเอียดขึ้นใช้หน้า 50.2 มองการทดลองแต่ละครั้งเป็นตัวแปรที่มีค่า $1$ เมื่อสำเร็จและ $0$ เมื่อไม่สำเร็จ ตัวแปรนี้มีค่าคาดหมาย $1\cdot p+0\cdot(1-p)=p$ และความแปรปรวน $p-p^2=p(1-p)$ จำนวนสำเร็จ $X$ คือผลบวกของตัวแปรแบบนี้ $n$ ตัว ค่าคาดหมายจึงเป็น $np$ และเพราะแต่ละครั้งเป็นอิสระ ความแปรปรวนก็บวกกันได้เป็น $np(1-p)$

ตรวจคุณภาพสินค้าแบบสุ่มตัวอย่าง

โรงงานไม่สามารถทดสอบสินค้าทุกชิ้นได้ จึงสุ่มมาตรวจบางส่วนแล้วตัดสินทั้งล็อต แบบจำลองทวินามบอกว่ากฎการตัดสินแบบหนึ่งจะปล่อยล็อตผ่านบ่อยแค่ไหน ล็อตที่ใหญ่มากเมื่อเทียบกับจำนวนที่สุ่มตรวจ การหยิบไม่คืนเปลี่ยนโอกาสน้อยมาก จึงใช้ทวินามประมาณได้

รูปร่างของการแจกแจงเมื่อเปลี่ยน n และ p

ตั้งโอกาสสำเร็จเป็นครึ่งหนึ่งเพื่อดูความสมมาตร แล้วลองใกล้ศูนย์หรือหนึ่ง รูปจะแน่นที่คนละด้าน เมื่อโอกาสเป็นศูนย์หรือหนึ่งพอดี ผลลัพธ์จะคงที่และความแปรปรวนเป็นศูนย์

ลองตั้ง $p=0.25$ แล้วเลื่อน $n$ จาก $4$ ไป $12$ แท่งสูงสุดจะขยับไปทางขวาตาม $np$ และรูปจะสมมาตรขึ้นเรื่อยๆ ลักษณะนี้คือจุดเริ่มของโค้งรูประฆังในหน้า 50.4

อย่างน้อยหนึ่งสำเร็จ

ถ้าเหตุการณ์มีหลายค่าของจำนวนสำเร็จ การรวมทีละ k อาจยาว โดยเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งสำเร็จที่มีส่วนเติมเต็มง่ายคือไม่สำเร็จเลย แบบจำลองทวินามให้โอกาสไม่สำเร็จทุกครั้งเป็นหนึ่งลบ p ยกกำลัง n เพราะทุกครั้งอิสระกัน ถ้าโอกาสเปลี่ยนหรือผลมีความเกี่ยวข้อง ต้องย้อนสร้างแบบจำลองใหม่

สรุป

• ตรวจทั้งสี่เงื่อนไขก่อนใช้สูตร
• อย่าลืมจำนวนวิธีเลือกตำแหน่งสำเร็จ $\binom nk$
• $E(X)=np$ และ $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$
• อย่างน้อยหนึ่งสำเร็จใช้ส่วนเติมเต็ม $1-(1-p)^n$
• ค่าคาดหมายไม่ใช่คำรับรองจำนวนสำเร็จจริง
• เมื่อ $n$ มาก แท่งของทวินามเรียงเป็นรูประฆัง หน้าถัดไปศึกษาโค้งรูประฆังนี้กับข้อมูลที่วัดได้ต่อเนื่อง