2.6 แบบฝึกหัด

ลูกศรด้านเดียวหมายถึงรังสี ซึ่งยาวต่อไปไม่สิ้นสุดทางเดียว ตัวอักษรตัวแรกคือจุดเริ่มต้น $\overrightarrow{PQ}$ จึงเป็นรังสีที่เริ่มที่ $P$ แล้วพุ่งผ่าน $Q$ ออกไป

เทียบกับสัญลักษณ์อื่น $\overrightarrow{QP}$ เริ่มที่ $Q$ $\overline{PQ}$ เป็นส่วนของเส้นตรง และ $\overleftrightarrow{PQ}$ เป็นเส้นตรง

1. $PX = 7$ และ $XY = 7$ จึงได้ $PY = 7 + 7 = 14$ เซนติเมตร
2. ถ่าย $CD$ ย้อนกลับเข้าหา $P$ คือหักออก $PQ = PY - QY = 14 - 3 = 11$ เซนติเมตร

สรุปเป็นสูตรได้ $PQ = 2AB - CD$

1. กางวงเวียนให้ยาวมากกว่าครึ่งหนึ่งของ $AB$ ก่อน ถ้าสั้นกว่านี้ส่วนโค้งจะไม่ตัดกัน
2. เขียนส่วนโค้งจาก $A$ ทั้งบนและล่าง
3. ใช้รัศมีเดิมเขียนส่วนโค้งจาก $B$ ได้จุดตัด $P$ และ $Q$
4. ลากเส้นผ่าน $P$ และ $Q$ ตัด $\overline{AB}$ ที่ $M$
5. $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง เพราะ $P$ และ $Q$ ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน

1. $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ ได้ $AM = MB = 12 \div 2 = 6$ เซนติเมตร
2. $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{MB}$ ได้ $MN = NB = 6 \div 2 = 3$ เซนติเมตร
3. $AN = AM + MN = 6 + 3 = 9$ เซนติเมตร

ตรวจอีกทาง $N$ อยู่ห่างจาก $B$ เป็นระยะหนึ่งในสี่ของ $AB$ คือ $3$ เซนติเมตร จึงห่างจาก $A$ เป็นระยะ $12 - 3 = 9$ เซนติเมตร

แบ่งเป็นสองช่วง ช่วงแรกสร้างมุมฉาก ช่วงที่สองแบ่งครึ่งมุมฉาก

1. ส่วนโค้งจาก $P$ ตัด $\ell$ ที่ $A$ และ $B$ ทำให้ $PA = PB$
2. ส่วนโค้งจาก $A$ และ $B$ รัศมีเท่ากัน ตัดกันที่ $Q$
3. $\overrightarrow{PQ}$ ตั้งฉากกับ $\ell$ ได้ $Q\hat{P}B = 90^\circ$
4. ส่วนโค้งจาก $P$ ตัดแขนทั้งสองของมุมฉากที่ $R$ และ $S$
5. ส่วนโค้งจาก $R$ และ $S$ รัศมีเท่ากัน ตัดกันที่ $T$
6. $\overrightarrow{PT}$ แบ่งครึ่งมุมฉาก ได้ $T\hat{P}B = 90^\circ \div 2 = 45^\circ$

1. แบ่งครึ่งครั้งแรก $A\hat{B}D = D\hat{B}C = 84^\circ \div 2 = 42^\circ$
2. แบ่งครึ่ง $D\hat{B}C$ ได้ $D\hat{B}E = E\hat{B}C = 42^\circ \div 2 = 21^\circ$
3. $A\hat{B}E = A\hat{B}D + D\hat{B}E = 42^\circ + 21^\circ = 63^\circ$

ตรวจอีกทาง $A\hat{B}E = A\hat{B}C - E\hat{B}C = 84^\circ - 21^\circ = 63^\circ$

• $75^\circ = 60^\circ + 15^\circ$ โดย $15^\circ$ ได้จากการแบ่งครึ่ง $30^\circ$ สร้างได้
• $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$ หรือ $180^\circ - 45^\circ$ สร้างได้
• $22.5^\circ = 90^\circ \div 4$ แบ่งครึ่งมุมฉากสองครั้ง สร้างได้
• $50^\circ$ เขียนเป็นผลบวกหรือผลต่างของมุมเหล่านี้ไม่ได้ จึงสร้างไม่ได้

นักคณิตศาสตร์พิสูจน์ไว้แล้วว่ามุม $50^\circ$ สร้างด้วยวงเวียนกับสันตรงไม่ได้เลย ไม่ว่าจะใช้วิธีใด

1. ให้ไม้ท่อนที่สามยาว $n$ เซนติเมตร ถ้า $n$ สั้น ด้านที่ยาวที่สุดคือ $9$
2. ต้องได้ $4 + n$ มากกว่า $9$ คือ $n$ มากกว่า $5$
3. $n$ เป็นจำนวนเต็ม จึงสั้นที่สุดคือ $6$ เซนติเมตร ตรวจ $4 + 6 = 10$ มากกว่า $9$ ใช้ได้

ถ้า $n = 5$ จะได้ $4 + 5 = 9$ พอดี ส่วนโค้งแตะกันบนเส้นตรง ได้แค่ไม้วางต่อกันเป็นเส้นเดียว ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยม

ขั้นตอน

1. สร้าง $\overline{PQ}$ ยาว $6$ เซนติเมตร
2. สร้างมุม $60^\circ$ ที่ $P$ ด้วยส่วนโค้งรัศมีเท่ากันจาก $P$ และจากจุดบน $\overline{PQ}$ แล้วแบ่งครึ่งได้มุม $30^\circ$
3. กางวงเวียน $5$ เซนติเมตร ใช้ $P$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดแขนของมุม $30^\circ$ ที่ $R$
4. ลาก $\overline{QR}$

ตรวจงานของตัวเองทีละข้อ ได้ครบสี่ข้อถือว่าผ่าน

• มีร่องรอยการสร้างมุม $60^\circ$ และการแบ่งครึ่งมุม ไม่ได้ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วาด
• $PQ = 6$ เซนติเมตร และ $PR = 5$ เซนติเมตร
• วัด $Q\hat{P}R$ ด้วยไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อตรวจ ได้ $30^\circ$ คลาดไม่เกิน $1^\circ$
• วัด $QR$ ได้ประมาณ $3$ เซนติเมตร ถ้าได้ต่างจากนี้เกิน $2$ มิลลิเมตร ให้ตรวจขั้นแบ่งครึ่งมุมอีกครั้ง

ขั้นตอน

1. ลากเส้นตรงแล้วสร้าง $\overline{AB}$ ยาว $5$ เซนติเมตรบนเส้นนั้น
2. สร้างเส้นตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ ที่จุด $A$ และที่จุด $B$ ด้วยวิธีเส้นตั้งฉากที่จุดบนเส้นตรง
3. กางวงเวียนยาวเท่า $AB$ ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดเส้นตั้งฉากที่ $A$ ได้จุด $D$ แล้วทำแบบเดียวกันที่ $B$ ได้จุด $C$
4. ลาก $\overline{DC}$

ตรวจงานของตัวเองทีละข้อ ได้ครบสี่ข้อถือว่าผ่าน

• มีร่องรอยการสร้างเส้นตั้งฉากที่ $A$ และ $B$ ไม่ได้ใช้มุมของไม้บรรทัดหรือไม้ฉากวาด
• ด้านทั้งสี่วัดได้ $5$ เซนติเมตร โดยเฉพาะ $DC$ ซึ่งไม่ได้สร้างโดยตรง ถ้าได้ $5$ แปลว่าเส้นตั้งฉากทั้งสองเส้นตรงดี
• เส้นทแยงมุม $AC$ กับ $BD$ ยาวเท่ากัน วัดได้ประมาณ $7.1$ เซนติเมตร
• ถ้า $AC$ กับ $BD$ ยาวต่างกันเกิน $2$ มิลลิเมตร แปลว่ามีมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก ให้ตรวจขั้นที่ 2 อีกครั้ง