24.3 รูปสามเหลี่ยมคล้ายจากเส้นขนาน

โจทย์ความคล้ายส่วนใหญ่ไม่ได้ให้รูปสามเหลี่ยมสองรูปแยกกันมาตรงๆ แต่ให้รูปที่มีเส้นขนาน แล้วรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันซ่อนอยู่ข้างใน หน้านี้มีสองแบบที่เจอบ่อยที่สุด ทั้งสองแบบใช้มุมที่เกิดจากเส้นขนานในบทที่ 18 ไปหามุมที่เท่ากันสองคู่

แบบที่ 1 เส้นขนานตัดรูปสามเหลี่ยม

ลูกศรบน

DE

และ

BC

บอกว่าสองเส้นนี้ขนานกัน รูปสามเหลี่ยมเล็ก

ADE

ซ้อนอยู่ในรูปสามเหลี่ยมใหญ่

ABC

กำหนดให้ $D$ อยู่บน $\overline{AB}$ และ $E$ อยู่บน $\overline{AC}$ โดย $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$

ต้องการแสดงว่า $\triangle ADE \sim \triangle ABC$

ข้อความ	เหตุผล
(1) $A\hat{D}E = A\hat{B}C$	$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ มี $\overline{AB}$ เป็นเส้นตัด มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
(2) $A\hat{E}D = A\hat{C}B$	เหตุผลเดียวกับ (1) โดยมี $\overline{AC}$ เป็นเส้นตัด
(3) $\triangle ADE \sim \triangle ABC$	มุมที่สมนัยกันเท่ากันสองคู่ จาก (1) และ (2)

จะใช้ $\hat{A}$ ซึ่งเป็นมุมร่วมของทั้งสองรูปแทนข้อ (2) ก็ได้ เพราะต้องการแค่สองคู่

ตัวอย่าง 1

จากรูปข้างบน $AD = 3$ $DB = 6$ และ $DE = 4$ เซนติเมตร จงหา $BC$

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ จับคู่ $A$ กับ $A$ $D$ กับ $B$ $E$ กับ $C$ จึงได้ $AD$ คู่กับ $AB$ และ $DE$ คู่กับ $BC$
ด้านของรูปใหญ่คือ $AB$ ทั้งเส้น $AB = AD + DB = 3 + 6 = 9$ เซนติเมตร
ตั้งสัดส่วน $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{AD}$ ได้ $\dfrac{BC}{4} = \dfrac{9}{3} = 3$
$BC = 4 \times 3 = 12$ เซนติเมตร

ลองคิดก่อน

เพื่อนตั้งสัดส่วนว่า $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{DB}{AD} = \dfrac{6}{3}$ ได้ $BC = 8$ เซนติเมตร ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

$DB$ ไม่ใช่ด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปไหนเลย มันเป็นแค่ส่วนที่เหลือของ $\overline{AB}$ ด้านของรูปใหญ่ที่คู่กับ $AD$ คือ $AB = 9$ ทั้งเส้น ถ้าไม่แน่ใจ ให้วาดรูปสามเหลี่ยมเล็กกับรูปสามเหลี่ยมใหญ่แยกออกจากกันก่อน แล้วเขียนความยาวของแต่ละด้านลงไป จะเห็นทันทีว่า $DB$ ไม่ได้อยู่ในรูปไหน

ตัวอย่าง 2

รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มี $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ แบบเดียวกับรูปข้างบน ถ้า $DB = 4$ $DE = 6$ และ $BC = 9$ เซนติเมตร จงหา $AD$

ให้ $AD = x$ เซนติเมตร จะได้ $AB = x + 4$
จาก $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ได้ $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$ คือ $\dfrac{x}{x + 4} = \dfrac{6}{9}$
คูณไขว้ $9x = 6(x + 4) = 6x + 24$
ได้ $3x = 24$ จึงได้ $x = 8$ เซนติเมตร
ตรวจ $AB = 12$ และ $\tfrac{8}{12} = \tfrac{6}{9}$ จริง

แบบที่ 2 เส้นตรงไขว้กันระหว่างเส้นขนาน

\overline{AB} \parallel \overline{CD}

และ

\overline{AC}

ตัดกับ

\overline{BD}

ที่

E

รูปแบบนี้รูปสามเหลี่ยมเล็กกลับหัวเมื่อเทียบกับรูปใหญ่ การจับคู่จุดยอดจึงพลาดง่ายกว่าแบบแรก

ตัวอย่าง 3

จากรูป $AE = 4$ $EC = 10$ และ $AB = 6$ เซนติเมตร จงหา $CD$

$A\hat{E}B = C\hat{E}D$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม
$B\hat{A}E = D\hat{C}E$ เพราะเป็นมุมแย้ง โดย $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ และมี $\overline{AC}$ เป็นเส้นตัด
มุมเท่ากันสองคู่ จึงได้ $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ จับคู่ $A$ กับ $C$ $B$ กับ $D$ และ $E$ กับ $E$
$AB$ คู่กับ $CD$ และ $AE$ คู่กับ $CE$ ตั้งสัดส่วน $\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{CE}{AE} = \dfrac{10}{4}$
$CD = 6 \times \dfrac{10}{4} = 15$ เซนติเมตร

จุดที่อยู่ตรงข้ามกันคือจุดที่คู่กัน

ในรูปแบบที่ 2 จุด $A$ อยู่บนเส้นเดียวกับ $C$ ผ่าน $E$ จึงคู่กับ $C$ ไม่ใช่ $D$ ซึ่งอยู่ด้านซ้ายเหมือนกัน ถ้าจับคู่ตามตำแหน่งซ้ายขวาในรูป จะได้ $\triangle ABE \sim \triangle DCE$ ซึ่งผิด ให้หาคู่จากมุมที่เท่ากันเสมอ ไม่ใช่จากหน้าตาของรูป

สรุป

เส้นขนานตัดรูปสามเหลี่ยมได้รูปสามเหลี่ยมเล็กที่คล้ายกับรูปใหญ่ ใช้มุมจากเส้นขนานกับมุมร่วม
เส้นตรงสองเส้นไขว้กันระหว่างเส้นขนานได้รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน ใช้มุมตรงข้ามกับมุมแย้ง
ด้านของรูปใหญ่คือด้านทั้งเส้น เช่น $AB = AD + DB$ อย่าใช้ $DB$ ตั้งสัดส่วน
ถ้าไม่แน่ใจ ให้วาดรูปสามเหลี่ยมสองรูปแยกกันแล้วจับคู่จุดยอดจากมุม