11.2 จำนวนอตรรกยะและจำนวนจริง

ครูให้ตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ $2$ ตารางเซนติเมตรพอดี ด้านต้องยาวเท่าไร ถ้าด้านยาว $s$ เซนติเมตร ต้องได้ $s^2 = 2$ ลองเดาทีละขั้น

$s$	$1.4$	$1.41$	$1.414$	$1.4142$
$s^2$	$1.96$	$1.9881$	$1.999396$	$1.99996164$

เข้าใกล้ $2$ ขึ้นเรื่อยๆ แต่ไม่เคยได้ $2$ พอดี เติมทศนิยมอีกกี่ตำแหน่งก็ไม่พอดี เครื่องคิดเลขแสดง $1.41421356\ldots$ แล้วยังไม่จบ จำนวนนี้คือ $\sqrt{2}$ และมันไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

ทำไม √2 ไม่เป็นเศษส่วน

ทศนิยมที่ลองมาทุกตัวเป็นทศนิยมรู้จบ ยกกำลังสองแล้วตำแหน่งทศนิยมยิ่งยาวขึ้น ไม่มีทางกลายเป็น $2.000\ldots$ ได้ แต่นั่นยังไม่ครอบคลุมเศษส่วนที่หารแล้วซ้ำ เช่น $\tfrac{99}{70}$ เหตุผลที่ครอบคลุมเศษส่วนทุกตัวต้องใช้จำนวนคู่และจำนวนคี่ เปิดดูได้ถ้าอยากรู้

ดูเหตุผลว่าไม่มีเศษส่วนใดยกกำลังสองได้ 2

สมมติว่ามีเศษส่วนอย่างต่ำ $\tfrac{a}{b}$ ที่ $\left(\tfrac{a}{b}\right)^2 = 2$ จะได้ $a^2 = 2b^2$

$a^2$ เท่ากับ $2$ คูณบางจำนวน จึงเป็นจำนวนคู่ ถ้า $a$ เป็นจำนวนคี่ $a^2$ จะเป็นคี่ ดังนั้น $a$ ต้องเป็นจำนวนคู่ เขียนเป็น $a = 2m$
แทนลงไปได้ $4m^2 = 2b^2$ หรือ $b^2 = 2m^2$ เหตุผลเดิมทำให้ $b$ เป็นจำนวนคู่ด้วย
$a$ และ $b$ เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ ทอนด้วย $2$ ได้อีก ขัดกับที่บอกว่า $\tfrac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

ข้อขัดแย้งนี้มาจากการสมมติว่ามีเศษส่วนแบบนั้น จึงสรุปได้ว่าไม่มีเศษส่วนใดยกกำลังสองได้ $2$

จำนวนอตรรกยะ

นิยาม

จำนวนอตรรกยะ (irrational number) คือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ คือเขียนในรูป $\tfrac{a}{b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq 0$ ไม่ได้

เมื่อเขียนเป็นทศนิยม จำนวนอตรรกยะจะเป็นทศนิยมไม่รู้จบที่ไม่ซ้ำ

ตัวอย่างที่เจอบ่อย

$\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ $\sqrt{3} = 1.73205080\ldots$ $\sqrt{5} = 2.23606797\ldots$ รากที่สองของจำนวนนับที่ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์เป็นจำนวนอตรรกยะทุกตัว
$\pi = 3.14159265\ldots$ อัตราส่วนของความยาวเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
ทศนิยมที่สร้างให้ไม่ซ้ำ เช่น $0.101001000100001\ldots$ ซึ่งเลข $0$ ระหว่างเลข $1$ เพิ่มขึ้นทีละตัว

มีเครื่องหมายกรณฑ์ ไม่ได้แปลว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ

$\sqrt{9} = 3$ และ $\sqrt{\tfrac{4}{25}} = \tfrac{2}{5}$ เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะ $9$ กับ $\tfrac{4}{25}$ เป็นกำลังสองของจำนวนตรรกยะ ต้องหาค่าก่อนเสมอ แล้วค่อยตัดสิน

ลองคิดก่อน

ตอนประถมใช้ $\pi = \tfrac{22}{7}$ คิดพื้นที่วงกลม ถ้าอย่างนั้น $\pi$ ก็เขียนเป็นเศษส่วนได้ จึงเป็นจำนวนตรรกยะ ใช่ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ $\tfrac{22}{7}$ เป็นแค่ค่าประมาณของ $\pi$ ลองหารดู $\tfrac{22}{7} = 3.142857142857\ldots$ เป็นทศนิยมซ้ำ แต่ $\pi = 3.14159\ldots$ สองค่านี้เริ่มต่างกันตั้งแต่ทศนิยมตำแหน่งที่สาม ค่า $3.14$ ที่ใช้กันก็เป็นค่าประมาณเหมือนกัน $\pi$ จริงๆ เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่มีเศษส่วนใดเท่ากับ $\pi$ พอดี

จำนวนจริง

นิยาม

จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะรวมกันเรียกว่า จำนวนจริง (real number)

จำนวนจริงแต่ละจำนวนคือจุดหนึ่งจุดบนเส้นจำนวน และทุกจุดบนเส้นจำนวนก็คือจำนวนจริงหนึ่งจำนวน หน้าที่แล้วเราเห็นว่าจำนวนตรรกยะแน่นมาก แต่ยังมีจุดอย่าง $\sqrt{2}$ ที่จำนวนตรรกยะไปไม่ถึง จำนวนอตรรกยะเติมช่องว่างเหล่านั้น จนไม่มีช่องว่างเหลือบนเส้นจำนวน

แผนภาพข้างล่างแสดงว่ากลุ่มของจำนวนที่เรียนมาซ้อนกันอย่างไร จำนวนนับเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนเต็ม จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ส่วนจำนวนอตรรกยะแยกอยู่อีกฝั่ง ไม่มีจำนวนใดเป็นทั้งสองแบบ

กลุ่มของจำนวนจริง จำนวนในกรอบในเป็นสมาชิกของกรอบนอกทุกกรอบ

ตัวอย่าง 1

จำนวนใดเป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนใดเป็นจำนวนอตรรกยะ $-5$ $0.\dot{3}$ $\sqrt{16}$ $\sqrt{7}$ $3.1416$ $0.1010010001\ldots$ $-\tfrac{2}{3}$

$-5$ เป็นจำนวนเต็ม จึงเป็นจำนวนตรรกยะ
$0.\dot{3}$ เป็นทศนิยมซ้ำ เท่ากับ $\tfrac{1}{3}$ เป็นจำนวนตรรกยะ
$\sqrt{16} = 4$ เพราะ $4^2 = 16$ เป็นจำนวนตรรกยะ
$\sqrt{7}$ ไม่มีจำนวนตรรกยะใดยกกำลังสองได้ $7$ เพราะ $7$ ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ
$3.1416$ หน้าตาคล้าย $\pi$ แต่เป็นทศนิยมรู้จบ เท่ากับ $\tfrac{31416}{10000} = \tfrac{3927}{1250}$ จึงเป็นจำนวนตรรกยะ
$0.1010010001\ldots$ ไม่รู้จบและไม่มีชุดเดิมซ้ำ เป็นจำนวนอตรรกยะ
$-\tfrac{2}{3}$ เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม เป็นจำนวนตรรกยะ

ข้อ $3.1416$ คือกับดัก เห็นคล้าย $\pi$ แล้วตอบว่าอตรรกยะ ทั้งที่ตัวเลขที่เขียนให้เห็นจบที่ตำแหน่งที่สี่ ตัดสินจากตัวเลขที่เขียนจริง ไม่ใช่จากว่ามันคล้ายอะไร

ลองคิดก่อน

$\sqrt{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ และ $-\sqrt{2}$ ก็เป็นจำนวนอตรรกยะ ผลบวกของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนต้องเป็นจำนวนอตรรกยะเสมอไหม

ดูคำตอบ

ไม่เสมอ $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ อีกตัวอย่างหนึ่ง $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$ ส่วนอตรรกยะหักล้างกันหมด จะรู้ว่าผลลัพธ์เป็นแบบไหน ต้องคำนวณออกมาดูก่อน

สรุป

จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ เป็นทศนิยมไม่รู้จบที่ไม่ซ้ำ
ตัวอย่างคือ $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\pi$ และทศนิยมที่สร้างให้ไม่ซ้ำ
มีเครื่องหมายกรณฑ์ไม่ได้แปลว่าเป็นอตรรกยะ $\sqrt{16} = 4$ เป็นตรรกยะ
$\tfrac{22}{7}$ และ $3.14$ เป็นค่าประมาณของ $\pi$ ไม่ใช่ $\pi$
จำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะรวมกันเป็นจำนวนจริง ซึ่งเต็มเส้นจำนวนพอดี