30.1 การทดลองสุ่มและเหตุการณ์

ก่อนเริ่มฟุตบอลนัดชิงกีฬาสี กรรมการโยนเหรียญให้กัปตันสองทีมเลือกแดน ไม่มีใครบอกได้ล่วงหน้าว่าเหรียญจะออกหัวหรือก้อย แต่ทุกคนรู้แน่ว่าผลมีได้แค่สองแบบ คือหัวกับก้อย ความรู้แค่นี้ก็พอให้เริ่มคิดเรื่องโอกาสได้แล้ว

การทดลองสุ่ม

นิยาม

การทดลองสุ่ม คือการกระทำที่รู้ว่าผลที่อาจเกิดขึ้นมีอะไรบ้าง แต่บอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าทำแต่ละครั้งจะได้ผลแบบไหน

ผลแต่ละแบบที่อาจเกิดขึ้นเรียกว่าผลลัพธ์

การโยนเหรียญจึงเป็นการทดลองสุ่ม มีผลลัพธ์สองแบบ ในบทนี้ใช้ H แทนหัว และ T แทนก้อย ตามแบบที่หนังสือเรียนใช้

ตัวอย่าง 1

เขียนผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลองสุ่มต่อไปนี้ และบอกว่ามีกี่ผลลัพธ์

(1) ทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก แล้วดูแต้มที่หงายขึ้น (2) หมุนแป้นวงกลมที่แบ่งเป็นสี่ส่วนเท่ากัน ระบายสีแดง เหลือง เขียว ฟ้า แล้วดูว่าเข็มชี้สีอะไร (3) ครูให้นักเรียนเลขที่ 1 ถึง 40 จับสลากชื่อ แล้วดูว่าได้เลขที่เท่าไร

ลูกเต๋ามีหกหน้า ผลลัพธ์คือ 1 2 3 4 5 6 มี $6$ ผลลัพธ์
เข็มชี้ได้สี่สี ผลลัพธ์คือ แดง เหลือง เขียว ฟ้า มี $4$ ผลลัพธ์
ได้เลขที่ใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 40 ไม่ต้องเขียนทีละตัว เขียนว่า 1 2 3 ไปจนถึง 40 มี $40$ ผลลัพธ์

ลองคิดก่อน

ปล่อยยางลบจากมือที่ความสูงหนึ่งเมตร แล้วดูว่ายางลบตกลงพื้นหรือลอยขึ้น เป็นการทดลองสุ่มไหม

ดูคำตอบ

ไม่เป็น เพราะรู้ล่วงหน้าแน่นอนว่ายางลบตกลงพื้นทุกครั้ง การทดลองสุ่มต้องมีผลลัพธ์ได้มากกว่าหนึ่งแบบ และบอกไม่ได้ว่าครั้งนี้จะได้แบบไหน แต่ถ้าเปลี่ยนคำถามเป็นยางลบตกแล้วด้านไหนหงายขึ้น อันนั้นเป็นการทดลองสุ่ม

แผนภาพต้นไม้

ถ้าการทดลองมีหลายขั้น เช่นโยนเหรียญสองเหรียญ การนึกผลลัพธ์เอาเองมักนับไม่ครบหรือนับซ้ำ ให้ใช้แผนภาพต้นไม้ แตกกิ่งทีละขั้น ขั้นแรกเหรียญที่ 1 ออกได้ H หรือ T แต่ละกิ่งแตกต่ออีกสองกิ่งสำหรับเหรียญที่ 2 อ่านจากโคนไปปลายแต่ละเส้นได้หนึ่งผลลัพธ์

โยนเหรียญสองเหรียญ ได้ผลลัพธ์ 4 แบบ

HT หมายถึงเหรียญที่ 1 ออกหัว เหรียญที่ 2 ออกก้อย ส่วน TH คือกลับกัน สองผลลัพธ์นี้ต่างกัน ถ้าใช้เหรียญบาทกับเหรียญห้าบาทจะเห็นชัดว่าบาทหัวห้าบาทก้อย กับบาทก้อยห้าบาทหัว เป็นคนละแบบ

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่าโยนเหรียญสองเหรียญ ผลมีสามแบบ คือหัวทั้งคู่ ก้อยทั้งคู่ และหัวหนึ่งก้อยหนึ่ง เพื่อนนับถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ถ้านับแค่จำนวนหัวจะได้สามแบบจริง แต่ "หัวหนึ่งก้อยหนึ่ง" เกิดได้สองทาง คือ HT กับ TH ผลลัพธ์จึงมี $4$ แบบ เรื่องนี้สำคัญมากในหน้าถัดไป เพราะสี่ผลลัพธ์นี้มีโอกาสเกิดเท่ากัน แต่สามแบบที่เพื่อนนับมีโอกาสเกิดไม่เท่ากัน

ตัวอย่าง 2

โยนเหรียญหนึ่งเหรียญสามครั้ง เขียนผลลัพธ์ทั้งหมด

ครั้งที่ 1 แตกเป็น H กับ T สองกิ่ง
ครั้งที่ 2 แตกต่อกิ่งละสอง ได้ $2 \times 2 = 4$ กิ่ง คือ HH HT TH TT
ครั้งที่ 3 แตกต่ออีกกิ่งละสอง ได้ $4 \times 2 = 8$ กิ่ง
ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT รวม $8$ ผลลัพธ์

แผนภาพต้นไม้ไม่ได้ใช้แค่กับเหรียญ การเลือกของหลายขั้นก็ใช้ได้

ตัวอย่าง 3

ร้านข้าวหน้าโรงเรียนจัดชุดอาหารกลางวัน ให้เลือกข้าวหนึ่งอย่างจาก ข้าวมันไก่ กับ ข้าวหมูแดง และเลือกเครื่องดื่มหนึ่งอย่างจาก น้ำเปล่า ชาเย็น โอเลี้ยง สั่งได้ทั้งหมดกี่แบบ

ขั้นแรกเลือกข้าว แตกเป็นสองกิ่ง
ข้าวแต่ละอย่างเลือกเครื่องดื่มได้สามแบบ แต่ละกิ่งจึงแตกต่อเป็นสามกิ่ง
ได้ข้าวมันไก่กับน้ำเปล่า ข้าวมันไก่กับชาเย็น ข้าวมันไก่กับโอเลี้ยง และข้าวหมูแดงอีกสามแบบในทำนองเดียวกัน
รวม $2 \times 3 = 6$ แบบ

ตารางสำหรับการทดลองสองขั้น

ถ้าการทดลองมีสองขั้น และแต่ละขั้นมีผลลัพธ์หลายแบบ แผนภาพต้นไม้จะแตกกิ่งเยอะจนวาดลำบาก ใช้ตารางแทนได้ เช่นทอยลูกเต๋าสองลูก ลูกหนึ่งสีแดง อีกลูกสีน้ำเงิน เขียนผลลัพธ์เป็นคู่อันดับ (แต้มลูกแดง, แต้มลูกน้ำเงิน) แถวคือแต้มลูกแดง หลักคือแต้มลูกน้ำเงิน ในช่องเขียนผลบวกของแต้มไว้ใช้ต่อ

แดง ↓ น้ำเงิน →	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

ตารางมี $6$ แถว แถวละ $6$ ช่อง ผลลัพธ์ทั้งหมดจึงมี $6 \times 6 = 36$ แบบ ช่องแถว 2 หลัก 5 คือ $(2, 5)$ ผลบวก $7$ ซึ่งต่างจากช่อง $(5, 2)$ ที่ผลบวกเท่ากัน เหมือน HT กับ TH ของเหรียญ

เหตุการณ์

ส่วนใหญ่เราไม่ได้สนใจผลลัพธ์ทุกแบบ แต่สนใจแค่บางแบบ เช่นทอยลูกเต๋าแล้วอยากได้แต้มคู่ ซึ่งเกิดได้จากแต้ม 2 4 หรือ 6

นิยาม

เหตุการณ์ คือกลุ่มของผลลัพธ์ที่เราสนใจ จากผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่าง 4

ทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก เขียนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้

(1) ได้แต้มคู่ (2) ได้แต้มมากกว่า 4 (3) ได้แต้มน้อยกว่า 7 (4) ได้แต้ม 7

แต้มคู่ คือ 2 4 6 มี $3$ ผลลัพธ์
แต้มมากกว่า 4 คือ 5 6 มี $2$ ผลลัพธ์ ไม่นับ 4 เพราะ 4 ไม่มากกว่า 4
แต้มน้อยกว่า 7 คือ 1 2 3 4 5 6 ครบทุกผลลัพธ์ เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นแน่นอน
ลูกเต๋าไม่มีหน้า 7 เหตุการณ์นี้ไม่มีผลลัพธ์เลย เป็นไปไม่ได้

ตัวอย่าง 5

ทอยลูกเต๋าสองลูก สีแดงกับสีน้ำเงิน เขียนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มเท่ากับ 8

ไล่ดูช่องที่เขียน 8 ในตาราง ได้แถวละไม่เกินหนึ่งช่อง
แถว 1 ไม่มี เพราะ $1 + 6 = 7$ ไม่ถึง 8
แถว 2 ถึง 6 ได้ $(2, 6)$ $(3, 5)$ $(4, 4)$ $(5, 3)$ $(6, 2)$
เหตุการณ์นี้มี $5$ ผลลัพธ์ สังเกตว่า $(4, 4)$ มีแค่ช่องเดียว เพราะสลับลูกแล้วได้ช่องเดิม

สรุป

การทดลองสุ่มรู้ว่าผลลัพธ์มีอะไรบ้าง แต่บอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าครั้งนี้จะได้แบบไหน
การทดลองหลายขั้นใช้แผนภาพต้นไม้ แตกกิ่งทีละขั้น อ่านจากโคนถึงปลายได้หนึ่งผลลัพธ์
การทดลองสองขั้นที่มีผลลัพธ์มากใช้ตาราง ทอยลูกเต๋าสองลูกมี $36$ ผลลัพธ์
HT กับ TH หรือ $(2, 5)$ กับ $(5, 2)$ เป็นคนละผลลัพธ์
เหตุการณ์คือกลุ่มของผลลัพธ์ที่สนใจ บางเหตุการณ์เกิดขึ้นแน่นอน บางเหตุการณ์เป็นไปไม่ได้