46.6 ปริพันธ์จำกัดเขตและพื้นที่

รถในหน้า 46.5 มีความเร็ว $v(t) = 2t + 1$ เมตรต่อวินาที วาดกราฟความเร็วเทียบเวลาตั้งแต่ $t = 0$ ถึง $t = 3$ จะได้เส้นตรงจากความสูง $1$ ไปถึงความสูง $7$ พื้นที่ใต้เส้นนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีพื้นที่ $\tfrac{1}{2}(1 + 7)(3) = 12$ ตรงกับระยะที่รถวิ่งได้ $s(3) - s(0) = 16 - 4 = 12$ เมตรพอดี

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ความเร็วคูณเวลาคือระยะทาง ถ้าความเร็วคงที่ พื้นที่ใต้กราฟเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กว้างเท่าเวลาและสูงเท่าความเร็วพอดี เมื่อความเร็วเปลี่ยน เราหั่นเวลาเป็นช่วงสั้นๆ ที่ความเร็วแทบคงที่แล้วรวมพื้นที่ของทุกช่วง หน้านี้จะทำความคิดนี้ให้เป็นระบบ แล้วพบว่าพื้นที่ใต้กราฟหาได้จากปฏิยานุพันธ์

ผลบวกรีมันน์ ประมาณพื้นที่ด้วยสี่เหลี่ยม

พื้นที่ใต้กราฟ $y = x^2$ บนช่วง $[0, 1]$ ไม่ใช่รูปที่มีสูตรในเรขาคณิต วิธีประมาณคือแบ่งช่วงเป็น $n$ ช่วงย่อยกว้างเท่ากัน ช่วงละ $\tfrac{1}{n}$ ตั้งสี่เหลี่ยมบนแต่ละช่วงย่อยให้สูงเท่าค่าฟังก์ชันที่ปลายขวาของช่วงนั้น แล้วรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด ผลรวมแบบนี้เรียกว่าผลบวกรีมันน์

เพิ่มจำนวนช่วงแล้วดูผลรวมเข้าใกล้หนึ่งในสาม

เนื่องจากกราฟเพิ่มทุกช่วง สี่เหลี่ยมที่ใช้ปลายขวาจึงสูงกว่ากราฟเกือบทั้งแท่ง ผลรวมจึงมากกว่าพื้นที่จริงเสมอ เมื่อเพิ่มจำนวนช่วง ส่วนเกินของแต่ละแท่งเล็กลงจนผลรวมเข้าใกล้พื้นที่จริง ลิมิตของผลบวกรีมันน์เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุดเรียกว่าปริพันธ์จำกัดเขต เขียน $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ สัญลักษณ์ $\int$ มาจากตัว S ที่ยืดยาว หมายถึงผลรวม ส่วน $f(x)\,dx$ คือความสูงคูณความกว้างของแท่งเล็กๆ

ตัวอย่าง 1

ประมาณ $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ ด้วยสี่เหลี่ยมปลายขวา $4$ แท่ง แล้วดูว่าเมื่อจำนวนแท่งเพิ่มขึ้นผลรวมเข้าใกล้ค่าใด

แต่ละแท่งกว้าง $\tfrac{1}{4}$ ปลายขวาอยู่ที่ $\tfrac{1}{4}$ $\tfrac{2}{4}$ $\tfrac{3}{4}$ $1$ ความสูงคือ $\tfrac{1}{16}$ $\tfrac{4}{16}$ $\tfrac{9}{16}$ $\tfrac{16}{16}$
ผลรวม $\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1 + 4 + 9 + 16}{16} = \tfrac{30}{64} = \tfrac{15}{32}$ ประมาณ $0.469$
ทำแบบเดียวกันกับ $n$ แท่ง ใช้สูตรผลบวกกำลังสองจากบทที่ 45 ได้ผลรวม $\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$ เมื่อ $n = 10$ ได้ $0.385$
ให้ $n$ เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด ลิมิตคือ $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ พื้นที่จริงจึงเท่ากับ $\tfrac{1}{3}$ ตารางหน่วย ตรงกับค่าที่กราฟลากได้แสดง

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

การหาลิมิตของผลบวกรีมันน์ทุกครั้งยาวมาก ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทำให้ไม่ต้องทำอีกเลย

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

ถ้า $f$ ต่อเนื่องบน $[a,b]$ และ $F'=f$ แล้ว $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ นิยมเขียนขั้นกลางเป็น $\big[F(x)\big]_a^b$

เหตุผลโดยย่อมาจากตัวอย่างรถตอนต้นหน้า ถ้า $f$ เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ $F$ ผลรวมของการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ ทุกช่วงตั้งแต่ $a$ ถึง $b$ ก็คือการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของ $F$ คือ $F(b) - F(a)$ ปริพันธ์จำกัดเขตเป็นจำนวน ไม่ต้องเติม $C$ เพราะถ้าใช้ $F(x) + C$ แทน จะได้ $(F(b) + C) - (F(a) + C)$ ซึ่ง $C$ หักล้างกันหมด

สมบัติที่ใช้บ่อยตามมาจากทฤษฎีบทนี้ทันที คือ $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ และ $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ และถ้า $c$ อยู่ระหว่าง $a$ กับ $b$ แล้ว $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ ข้อสุดท้ายคือเครื่องมือหลักเวลาต้องแบ่งช่วง

ตัวอย่าง 2

(1) หา $\int_0^2(3x^2+1)\,dx$

(2) หา $\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$

ข้อ (1) ปฏิยานุพันธ์คือ $x^3+x$ ไม่ต้องใส่ $C$
แทนปลายบนลบปลายล่าง $(8+2)-(0+0)=10$
ข้อ (2) เขียน $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ปฏิยานุพันธ์คือ $\tfrac{2}{3}x^{3/2}$
$\left[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4 = \tfrac{2}{3}(8) - \tfrac{2}{3}(1) = \tfrac{14}{3}$ เพราะ $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 8$ ค่านี้อยู่ระหว่าง $3 \times 1$ กับ $3 \times 2$ ซึ่งเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สูงเท่าค่าต่ำสุดและสูงสุดของ $\sqrt{x}$ บนช่วงนี้ จึงสมเหตุสมผล

เมื่อกราฟอยู่ใต้แกน ปริพันธ์ติดลบ

ในผลบวกรีมันน์ ความสูงของแท่งคือ $f(x)$ ถ้ากราฟอยู่ใต้แกน $x$ ความสูงเป็นลบ ผลคูณกับความกว้างก็เป็นลบ ปริพันธ์จำกัดเขตจึงเป็นพื้นที่มีเครื่องหมาย ส่วนเหนือแกนนับเป็นบวก ส่วนใต้แกนนับเป็นลบ ถ้ากราฟข้ามแกนในช่วงที่สนใจ สองส่วนจะหักล้างกัน

ถ้าโจทย์ถามพื้นที่จริง ต้องหารากของ $f$ ในช่วงก่อน แบ่งช่วงตรงราก หาปริพันธ์ของแต่ละช่วง แล้วรวมค่าสัมบูรณ์ของแต่ละช่วง

ตัวอย่าง 3

หาพื้นที่ระหว่าง $y=x$ กับแกน $x$ บนช่วง $[-1,1]$

กราฟข้ามแกนที่ $x = 0$ ถ้าหาปริพันธ์ทั้งช่วงจะได้ $\left[\tfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = 0$ เพราะสองส่วนหักล้างกัน
แบ่งช่วง ส่วนซ้าย $\int_{-1}^0 x\,dx = -\tfrac{1}{2}$ ส่วนขวา $\int_0^1 x\,dx = \tfrac{1}{2}$
พื้นที่คือ $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1$ ตารางหน่วย ตรงกับพื้นที่สามเหลี่ยมสองรูปที่ฐาน $1$ สูง $1$

ตัวอย่าง 4

หาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย $y = x^2 - 4$ แกน $x$ และเส้น $x = 0$ กับ $x = 3$

หารากในช่วง $x^2 - 4 = 0$ ได้ $x = 2$ (อีกรากคือ $-2$ อยู่นอกช่วง) ที่ $x = 1$ ได้ $-3$ กราฟบนช่วง $[0, 2]$ จึงอยู่ใต้แกน ที่ $x = 3$ ได้ $5$ บนช่วง $[2, 3]$ จึงอยู่เหนือแกน
ปฏิยานุพันธ์คือ $\tfrac{x^3}{3} - 4x$ ช่วงแรก $\left(\tfrac{8}{3} - 8\right) - 0 = -\tfrac{16}{3}$
ช่วงหลัง $(9 - 12) - \left(\tfrac{8}{3} - 8\right) = -3 + \tfrac{16}{3} = \tfrac{7}{3}$
พื้นที่คือ $\tfrac{16}{3} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{23}{3}$ ตารางหน่วย ถ้าหาปริพันธ์ทั้งช่วงทีเดียวจะได้ $-\tfrac{16}{3} + \tfrac{7}{3} = -3$ ซึ่งไม่ใช่พื้นที่

ลองคิดก่อน

$\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx = -\tfrac{16}{3}$ จึงแปลว่าพื้นที่ระหว่างกราฟกับแกนบนช่วงนี้เป็น $-\tfrac{16}{3}$ ตารางหน่วย ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก พื้นที่ของรูปไม่ติดลบ ค่าลบบอกเพียงว่ากราฟอยู่ใต้แกนตลอดช่วงนี้ พื้นที่จึงเป็น $\tfrac{16}{3}$ ตารางหน่วย ปริพันธ์จำกัดเขตกับพื้นที่เป็นปริมาณคนละอย่าง ตรงกันเฉพาะเมื่อกราฟอยู่เหนือแกนทั้งช่วง

ลองคิดก่อน

ปริพันธ์เป็นศูนย์แปลว่าพื้นที่เป็นศูนย์เสมอไหม

ดูคำตอบ

ไม่เสมอ ในตัวอย่างที่ 3 ปริพันธ์ของ $x$ บน $[-1, 1]$ เป็นศูนย์ แต่พื้นที่เป็น $1$ เพราะส่วนใต้แกนหักล้างส่วนเหนือแกนพอดี ถ้าโจทย์ถามพื้นที่ต้องแยกช่วงและรวมขนาด ไม่ปล่อยให้หักล้าง

พื้นที่ระหว่างสองกราฟ

พื้นที่ระหว่างกราฟบนกับกราฟล่างหาได้จาก $\int_a^b(\text{กราฟบน}-\text{กราฟล่าง})\,dx$ เพราะแท่งเล็กๆ แต่ละแท่งสูงเท่ากับระยะห่างแนวตั้งของสองกราฟ ซึ่งเป็นบวกเสมอเมื่อลบถูกลำดับ วิธีนี้ใช้ได้แม้ทั้งสองกราฟอยู่ใต้แกน $x$ เพราะผลต่างไม่ขึ้นกับตำแหน่งของแกน

ก่อนอินทิเกรตต้องหาจุดตัดเพื่อกำหนดขอบเขต และตรวจว่ากราฟใดอยู่บนภายในช่วง เลือกค่าทดสอบสักจุดระหว่างจุดตัดช่วยตัดสินได้ ถ้าสองกราฟสลับบนล่างภายในช่วง ต้องแบ่งช่วงตรงจุดตัดแบบเดียวกับกราฟที่ข้ามแกน

ตัวอย่าง 5

หาพื้นที่ปิดล้อมระหว่าง $y=2x$ กับ $y=x^2$

หาจุดตัด $x^2=2x$ ได้ $x(x - 2) = 0$ คือ $x=0$ และ $x = 2$ เป็นขอบเขต
ทดสอบที่ $x=1$ เส้นตรงมีค่า $2$ พาราโบลามีค่า $1$ เส้นตรงจึงอยู่บน ใช้บนลบล่าง $2x-x^2$
พื้นที่ $\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}$ ตารางหน่วย

ได้ค่าลบให้ย้อนตรวจลำดับกราฟ

ถ้าลบกราฟบนด้วยกราฟล่างผิดลำดับ จะได้ $-\tfrac{4}{3}$ ค่าลบนี้เป็นสัญญาณให้ย้อนตรวจลำดับกราฟ ไม่ใช่เหตุผลว่าพื้นที่เป็นลบ การใส่ค่าสัมบูรณ์ครั้งเดียวหลังรวมทุกช่วงอาจผิด ถ้ามีหลายช่วงที่หักล้างกัน

สรุป

ผลบวกรีมันน์ประมาณพื้นที่ด้วยสี่เหลี่ยม ปริพันธ์จำกัดเขตคือลิมิตของผลบวกนี้
ทฤษฎีบทหลักมูล $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ แทนปลายบนลบปลายล่าง ไม่ต้องเติม $C$
ปริพันธ์มีเครื่องหมาย ส่วนใต้แกนเป็นลบ พื้นที่จริงต้องแบ่งช่วงที่รากแล้วรวมขนาด
พื้นที่ระหว่างกราฟใช้บนลบล่าง หาจุดตัดก่อน และแบ่งช่วงเมื่อสองกราฟสลับกัน

บทนี้เริ่มจากความเร็วของรถที่จุดเดียว แล้วจบที่ระยะทางทั้งหมดจากความเร็วทุกขณะ อนุพันธ์กับปริพันธ์จึงเป็นการดำเนินการย้อนกลับกันตามทฤษฎีบทหลักมูล ลองทำแบบฝึกหัดท้ายบทเพื่อตรวจว่าใช้ทั้งสองทางได้คล่อง