50.4 การแจกแจงปกติและคะแนนมาตรฐาน

ค่าที่วัดต่อเนื่องบางสถานการณ์มีข้อมูลเกาะกลางและลดลงสมมาตรสองข้าง ถ้ามีเหตุผลรองรับแบบจำลองปกติ เราแปลงหน่วยต่างกันเข้าสู่โค้งมาตรฐานเดียวกันได้

ถ้าวัดส่วนสูงนักเรียนชาย ม.6 ทั้งจังหวัดแล้วทำฮิสโทแกรม จะเห็นแท่งสูงที่สุดอยู่ตรงกลาง คนที่เตี้ยมากและสูงมากมีน้อย และสองข้างลดลงพอๆ กัน เมื่อแบ่งช่วงชั้นละเอียดขึ้นเรื่อยๆ ขอบบนของแท่งจะเรียบเป็นโค้งรูประฆัง แบบเดียวกับแท่งทวินามที่ $n$ มากในหน้า 50.3 คำถามที่หน้านี้ตอบได้คือ นักเรียนที่สูง $174$ เซนติเมตรอยู่ในกลุ่มสูงสุดกี่เปอร์เซ็นต์ หรือต้องได้คะแนนสอบเท่าไรจึงติดกลุ่มร้อยละ $10$ บนสุด

โค้งความหนาแน่น

เขียน $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ โดย $\sigma>0$ โค้งสมมาตรรอบ $\mu$ พื้นที่รวมหนึ่ง ความน่าจะเป็นของช่วงเท่ากับพื้นที่ใต้โค้ง ไม่ใช่ความสูงของโค้ง ณ จุดนั้น

สมบัติที่อ่านได้จากรูปมีดังนี้ ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมอยู่ที่ $\mu$ เดียวกัน เพราะโค้งสมมาตรและสูงสุดตรงกลาง ค่า $\mu$ บอกตำแหน่งของโค้ง ส่วน $\sigma$ บอกความกว้าง ยิ่ง $\sigma$ มาก โค้งยิ่งเตี้ยและแผ่กว้าง เพราะพื้นที่ต้องยังรวมเป็นหนึ่ง ปลายทั้งสองข้างเข้าใกล้แกนนอนแต่ไม่แตะ จึงมีโอกาสน้อยมากแต่ไม่เป็นศูนย์ที่จะได้ค่าห่างจากค่าเฉลี่ยมากๆ

โค้งปกติ พื้นที่สีเขียวคือช่วงห่างจากค่าเฉลี่ยไม่เกินหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ราว 68% ของทั้งหมด เมื่อรวมแถบสีม่วงสองข้างจะได้ช่วงสองส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ราว 95%

กฎ 68 95 99.7

ถ้า $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ความน่าจะเป็นที่ $X$ อยู่ห่างจาก $\mu$ ไม่เกิน $\sigma$ $2\sigma$ และ $3\sigma$ ประมาณ $68\%$ $95\%$ และ $99.7\%$ ตามลำดับ

ค่าละเอียดกว่าคือ $68.27\%,95.45\%,99.73\%$ ใช้เมื่อแบบจำลองปกติเหมาะสม ไม่ใช่กฎของทุกข้อมูล เพราะโค้งสมมาตร พื้นที่ที่เหลือแบ่งสองหางเท่ากัน เช่น นอกช่วง $\mu\pm\sigma$ มีราว $32\%$ จึงอยู่สูงกว่า $\mu+\sigma$ ราว $16\%$

ตัวอย่าง 1

ส่วนสูงนักเรียนชาย ม.6 ตามแบบจำลอง $N(165,6^2)$ เซนติเมตร ใช้กฎ 68 95 99.7 หาช่วงที่มีนักเรียนราว $95\%$ และร้อยละของนักเรียนที่สูงเกิน $171$ เซนติเมตร

ราว $95\%$ อยู่ในช่วง $\mu\pm2\sigma$ คือ $165-12=153$ ถึง $165+12=177$ เซนติเมตร
$171=165+6$ คือ $\mu+\sigma$ พอดี ช่วง $159$ ถึง $171$ มีราว $68\%$
ส่วนที่เหลือ $32\%$ แบ่งสองหางเท่ากัน หางขวาที่สูงเกิน $171$ จึงมีราว $16\%$

คะแนนมาตรฐานพาทุกโค้งมาที่โค้งเดียว

โค้งปกติมีได้ไม่จำกัดแบบตามค่า $\mu$ และ $\sigma$ เราไม่อาจทำตารางให้ทุกแบบ แต่คะแนนมาตรฐานจากบทที่ 49 แปลงทุกแบบมาเป็นแบบเดียว คือค่าเฉลี่ย $0$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $1$ การลบ $\mu$ เลื่อนจุดกึ่งกลางมาที่ศูนย์ และการหารด้วย $\sigma$ ย่อหรือขยายความกว้างให้เป็นหนึ่งหน่วย

สมบัติ

$Z=(X-\mu)/\sigma$ มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน $N(0,1)$ ให้ $\Phi(z)=P(Z\le z)$ จะได้ $P(a<X<b)=\Phi((b-\mu)/\sigma)-\Phi((a-\mu)/\sigma)$

เพราะเป็นตัวแปรต่อเนื่อง การรวมจุดปลายหรือไม่รวมไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็น ตารางปกติแต่ละแบบอาจให้พื้นที่คนละด้าน ต้องอ่านหัวตารางก่อนใช้

ตัวอย่าง 2

คะแนนตามแบบจำลอง $N(60,10^2)$ หาโอกาสเกินค่าเฉลี่ย

แปลง $60$ เป็น $z=(60-60)/10=0$
สมมาตรแบ่งพื้นที่ครึ่งหนึ่ง จึงได้ $P(X>60)=0.5$

อ่านตารางพื้นที่ใต้โค้ง

ตารางนี้ให้ $\Phi(z)$ คือพื้นที่ด้านซ้ายของ $z$ ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ปัดเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง สำหรับ $z$ ที่ไม่ติดลบ ค่าที่ติดลบใช้สมมาตร $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$

$z$	$\Phi(z)$	$z$	$\Phi(z)$	$z$	$\Phi(z)$
0.0	0.5000	1.0	0.8413	2.0	0.9772
0.1	0.5398	1.1	0.8643	2.1	0.9821
0.2	0.5793	1.2	0.8849	2.2	0.9861
0.3	0.6179	1.3	0.9032	2.3	0.9893
0.4	0.6554	1.4	0.9192	2.4	0.9918
0.5	0.6915	1.5	0.9332	2.5	0.9938
0.6	0.7257	1.6	0.9452	2.6	0.9953
0.7	0.7580	1.7	0.9554	2.7	0.9965
0.8	0.7881	1.8	0.9641	2.8	0.9974
0.9	0.8159	1.9	0.9713	2.9	0.9981

ค่าอื่นที่ใช้บ่อย $\Phi(1.28)$ ประมาณ $0.8997$ $\Phi(1.645)$ ประมาณ $0.9500$ $\Phi(1.96)$ ประมาณ $0.9750$ และ $\Phi(3)$ ประมาณ $0.9987$ ตรวจกฎ 68 95 99.7 จากตารางได้ เช่น $P(-1<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=0.8413-0.1587=0.6826$ และ $P(-2<Z<2)=2(0.9772)-1=0.9544$

ตารางที่ปัดเศษจึงเป็นค่าประมาณ อย่ารายงานจำนวนหลักมากกว่าข้อมูลตาราง และถ้าตารางในหนังสือให้พื้นที่ระหว่างศูนย์กับ $z$ แทนพื้นที่ซ้าย ค่าในตารางนั้นจะน้อยกว่าตารางนี้อยู่ $0.5$ เสมอ

ตัวอย่าง 3

น้ำหนักตามแบบจำลอง $N(50,4^2)$ หา $P(46<X<54)$ โดยให้ $\Phi(1)=0.8413$ และ $\Phi(-1)=0.1587$

ขอบล่างเป็น $z=-1$ ขอบบนเป็น $z=1$
พื้นที่คือ $0.8413-0.1587=0.6826$ เป็นค่าประมาณจากตารางที่ปัดสี่ตำแหน่ง

พื้นที่ด้านซ้าย ด้านขวา และตรงกลาง

ตารางมาตรฐานที่ให้พื้นที่ซ้ายสะสมใช้กับคำถามหางขวาด้วยการลบออกจากหนึ่ง และใช้กับช่วงกลางด้วยการลบพื้นที่ซ้ายของขอบล่างจากขอบบน การทำสเก็ตช์ระบายบริเวณก่อนเปิดตารางช่วยป้องกันสลับหาง และสมมาตรให้ความสัมพันธ์ $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$

ตัวอย่าง 4

ให้ $Z$ ปกติมาตรฐานและ $\Phi(1.5)=0.9332$ หา $P(Z<-1.5)$ และ $P(-1.5<Z<1.5)$

สมมาตรให้หางซ้ายที่ $-1.5$ เท่ากับ $1-0.9332=0.0668$
พื้นที่กลางคือ $0.9332-0.0668=0.8664$
ตรวจหางสองข้างรวมกับกลาง $0.0668+0.8664+0.0668=1$

ตัวอย่าง 5

ส่วนสูงนักเรียนตามแบบจำลอง $N(165,6^2)$ เซนติเมตร (1) นักเรียนที่สูง $174$ เซนติเมตรอยู่ในกลุ่มสูงสุดกี่เปอร์เซ็นต์ (2) หา $P(156<X<177)$ ใช้ตารางข้างบน

ข้อ (1) แปลงเป็นคะแนนมาตรฐาน $z=(174-165)/6=1.5$ คือสูงกว่าค่าเฉลี่ยหนึ่งจุดห้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คนที่สูงกว่าคือหางขวา $P(Z>1.5)=1-0.9332=0.0668$ นักเรียนคนนี้จึงอยู่ในกลุ่มสูงสุดราว $6.7\%$ ถ้ามีนักเรียน $400$ คน จะมีคนสูงกว่าราว $27$ คน
ข้อ (2) ขอบล่าง $z=(156-165)/6=-1.5$ ขอบบน $z=(177-165)/6=2$
$P(156<X<177)=\Phi(2)-\Phi(-1.5)=0.9772-(1-0.9332)=0.9772-0.0668=0.9104$

ลองคิดก่อน

เพื่อนแปลงส่วนสูง $174$ เซนติเมตรจาก $N(165,6^2)$ เป็น $z=(174-165)/36=0.25$ แล้วสรุปว่านักเรียนคนนี้สูงกว่าค่าเฉลี่ยนิดเดียว ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

หารด้วยความแปรปรวน $36$ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $6$ ในสัญกรณ์ $N(\mu,\sigma^2)$ ตัวที่สองคือความแปรปรวน ต้องถอดรากก่อน คะแนนมาตรฐานที่ถูกคือ $9/6=1.5$ ตรวจด้วยหน่วยก็ได้ $174-165$ มีหน่วยเซนติเมตร ต้องหารด้วยปริมาณที่มีหน่วยเซนติเมตรด้วยจึงได้จำนวนที่ไม่มีหน่วย

หาเปอร์เซ็นไทล์จากคะแนนมาตรฐาน

ในบทที่ 49 เราหาเปอร์เซ็นไทล์จากข้อมูลที่เรียงแล้ว ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงปกติ ค่า $\Phi(z)$ บอกสัดส่วนของข้อมูลที่ไม่เกินค่านั้นทันที คะแนนที่มี $\Phi(z)=0.88$ จึงอยู่ราวเปอร์เซ็นไทล์ที่ $88$ ส่วนคำถามย้อนกลับ เช่นต้องได้เท่าไรจึงติดกลุ่มบนสุด ให้หาพื้นที่ในตารางก่อน แล้วอ่านค่า $z$ ย้อนออกมา

ตัวอย่าง 6

คะแนนสอบวิชาหนึ่งตามแบบจำลอง $N(60,10^2)$ (1) คนที่ได้ $72$ คะแนนอยู่ประมาณเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไร (2) ต้องได้อย่างน้อยกี่คะแนนจึงอยู่ในกลุ่มร้อยละ $10$ บนสุด

ข้อ (1) $z=(72-60)/10=1.2$ ตารางให้ $\Phi(1.2)=0.8849$ จึงมีคนได้ไม่เกิน $72$ ราว $88.5\%$ อยู่ประมาณเปอร์เซ็นไทล์ที่ $88$
ข้อ (2) กลุ่มร้อยละ $10$ บนสุดคือหางขวาพื้นที่ $0.10$ จึงต้องการ $z$ ที่พื้นที่ซ้ายเป็น $0.90$
ในตาราง $\Phi(1.2)=0.8849$ ยังไม่ถึง และ $\Phi(1.3)=0.9032$ เกินแล้ว ค่า $z$ อยู่ระหว่างสองค่านี้ ใช้ค่าที่ใช้บ่อย $\Phi(1.28)$ ประมาณ $0.8997$ ได้ $z$ ประมาณ $1.28$
แปลงกลับด้วย $x=\mu+z\sigma=60+1.28(10)=72.8$ จึงต้องได้ราว $73$ คะแนนขึ้นไป

ลองคิดก่อน

ข้อมูลมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้วใช้ตารางปกติได้ทันทีหรือไม่ เช่น ค่าเดินทางมาโรงเรียนต่อวันของนักเรียนห้องหนึ่งมีค่าเฉลี่ย $40$ บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $30$ บาท ส่วนใหญ่จ่าย $20$ ถึง $40$ บาท แต่มีบางคนนั่งแท็กซี่วันละ $150$ บาท

ดูคำตอบ

ไม่ได้ ทุกชุดข้อมูลมีค่ากลางกับการกระจายได้ แต่รูปร่างอาจเบ้หรือมีหลายยอด ต้องตรวจความสมเหตุสมผลของแบบจำลองปกติก่อนใช้พื้นที่จากตาราง ข้อมูลชุดนี้เบ้ขวามาก ถ้าฝืนใช้โค้งปกติ ค่า $0$ บาทมี $z=(0-40)/30$ ประมาณ $-1.33$ และพื้นที่ทางซ้ายของ $z$ นี้อยู่ระหว่าง $1-0.9192=0.0808$ กับ $1-0.9032=0.0968$ แบบจำลองจึงทำนายว่าราว $9\%$ ของนักเรียนจ่ายค่าเดินทางติดลบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ผลแปลกแบบนี้เป็นสัญญาณว่าเลือกแบบจำลองผิด

ตรวจวิธีคิด

ค่าจากตารางปัดเศษจึงเป็นค่าประมาณ อย่ารายงานจำนวนหลักมากกว่าข้อมูลตาราง และถ้าตารางให้พื้นที่ระหว่างศูนย์กับ z ต้องปรับวิธีบวกหรือลบให้ตรงหัวตารางนั้น

สรุป

พื้นที่ใต้โค้งคือความน่าจะเป็น
ราว $68\%$ $95\%$ $99.7\%$ อยู่ภายใน $1$ $2$ $3$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย
หารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ไม่ใช่ความแปรปรวน
ตารางให้พื้นที่ซ้าย หางขวาใช้หนึ่งลบ ค่าติดลบใช้ $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
$\Phi(z)$ บอกเปอร์เซ็นไทล์ และย้อนจากพื้นที่หา $z$ แล้วแปลงกลับด้วย $x=\mu+z\sigma$
ใช้โค้งปกติต่อเมื่อสมมติฐานเหมาะกับข้อมูล
บทนี้จบที่การแจกแจงปกติ ทำแบบฝึกหัดท้ายบทเพื่อตรวจว่าแยกได้ว่าเมื่อใดใช้เอกรูป ทวินาม หรือปกติ