47.1 สถิติศาสตร์ ประชากร และตัวอย่าง

สำรวจเพื่อนสิบคนว่าซื้ออาหารเช้าหรือไม่ แล้วบอกว่านักเรียนทั้งโรงเรียนคิดเหมือนกัน เป็นการก้าวจากข้อมูลเล็กไปข้อสรุปใหญ่ ต้องดูว่าเลือกสิบคนนั้นอย่างไร

บทที่ 9 แบ่งงานสถิติเป็นสี่ขั้น ตั้งคำถาม เก็บข้อมูล วิเคราะห์ และแปลความหมาย บทที่ 16 และ 26 ฝึกขั้นวิเคราะห์ด้วยค่ากลาง ควอร์ไทล์ และแผนภาพกล่อง บทนี้ย้อนกลับไปที่สองขั้นแรก เพราะถ้าเก็บข้อมูลมาจากคนผิดกลุ่ม คำนวณละเอียดแค่ไหนคำตอบก็ผิด

โพลประธานนักเรียนที่ทายผิด

ก่อนเลือกตั้งประธานนักเรียนของโรงเรียนแห่งหนึ่งซึ่งมีนักเรียน $1200$ คน ชมรมคอมพิวเตอร์ทำโพลออนไลน์ แล้วแชร์ลิงก์ในกลุ่มแชตของชมรมและเพจของชมรม ได้คำตอบ $320$ คน เลือกผู้สมัครหมายเลข 1 ถึง $224$ คน ชมรมจึงประกาศว่าหมายเลข 1 จะชนะขาด

วันเลือกตั้งจริงมีผู้มาใช้สิทธิ์ $1000$ คน หมายเลข 1 ได้ $430$ คะแนน แพ้หมายเลข 2 ที่ได้ $570$ คะแนน ภายหลังจึงรู้ว่าผู้สมัครหมายเลข 1 เป็นรองประธานชมรมคอมพิวเตอร์ คนที่เห็นลิงก์ส่วนใหญ่จึงเป็นเพื่อนของเขา

คำถามมาก่อนตัวเลข

สถิติเชิงพรรณนาสรุปข้อมูลที่มี ส่วนสถิติเชิงอนุมานใช้ตัวอย่างอธิบายประชากรโดยมีความไม่แน่นอน การเปลี่ยนกลุ่มเป้าหมายทำให้คำว่าใครเป็นประชากรเปลี่ยนได้ จึงต้องระบุเวลา สถานที่ และหน่วยให้ชัด

ในโพลประธานนักเรียน ประชากรคือผู้มีสิทธิ์เลือกตั้งทั้ง $1200$ คน ตัวอย่างคือผู้ตอบโพล $320$ คน ค่า $70\%$ เป็นค่าสถิติ ส่วนร้อยละที่นักเรียนทั้งโรงเรียนสนับสนุนหมายเลข 1 จริงเป็นพารามิเตอร์ที่ไม่มีใครรู้ก่อนวันเลือกตั้ง

บทที่ 49 จะใช้สัญลักษณ์แยกสองอย่างนี้ ค่าเฉลี่ยของประชากรเขียน $\mu$ (อ่านว่า มิว) ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างเขียน $\bar{x}$ (อ่านว่า เอกซ์บาร์) จำง่ายๆ ว่าอักษรกรีกใช้กับประชากร อักษรอังกฤษใช้กับตัวอย่าง

ทำไมไม่เก็บข้อมูลจากทุกคน

การเก็บข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรเรียกว่าสำมะโน ได้พารามิเตอร์ตรงๆ ไม่ต้องอนุมาน แต่ใช้ได้ไม่ทุกครั้ง เหตุผลที่พบบ่อยมีสามข้อ

• ประชากรใหญ่ เก็บครบต้องใช้เวลาและเงินมาก กว่าจะเสร็จคำตอบอาจไม่ทันใช้
• การวัดบางอย่างทำลายของ เช่นทดสอบว่าถ่านไฟฉายใช้ได้กี่ชั่วโมง ถ้าทดสอบทุกก้อนก็ไม่เหลือถ่านขาย
• ตัวอย่างที่เลือกดีและเก็บอย่างระวัง อาจได้ข้อมูลแม่นกว่าสำมะโนที่ทำอย่างรีบเร่ง

ระบุหน่วยวิเคราะห์

ถ้าศึกษานักเรียน หนึ่งแถวควรแทนหนึ่งคน ถ้าศึกษาการเดินทาง หนึ่งคนอาจเดินทางหลายครั้ง ห้ามสับสนจำนวนแถวกับจำนวนคน และอย่านับคำตอบซ้ำเป็นคนใหม่

ค่าสถิติเปลี่ยนไปตามตัวอย่าง

พารามิเตอร์มีค่าเดียว แต่ค่าสถิติขึ้นกับว่าบังเอิญสุ่มได้ใคร ถ้าสุ่มใหม่ก็ได้คนใหม่ ค่าสถิติจึงขยับได้ แม้ทุกครั้งจะสุ่มอย่างถูกวิธี ความต่างที่เกิดจากโชคของการสุ่มเรียกว่าความคลาดเคลื่อนจากการสุ่ม ลดลงได้ด้วยการเพิ่มขนาดตัวอย่าง

อีกแบบหนึ่งคืออคติ เกิดเมื่อวิธีเลือกหรือวิธีถามทำให้ค่าสถิติเอียงไปทางเดียวทุกครั้ง เพิ่มขนาดตัวอย่างแล้วไม่หาย โพลของชมรมคอมพิวเตอร์เป็นอคติ ถ้าแชร์ลิงก์ให้เพื่อนในชมรมตอบเพิ่มอีกพันคน ผลก็ยังเอียงไปทางหมายเลข 1

หน่วยซ้ำทำให้ตัวหารเปลี่ยน

ข้อมูลที่มีหลายรายการต่อคนต้องระบุว่าต้องการสรุปต่อคนหรือต่อครั้ง เช่นบันทึกการเดินทางไปโรงเรียนห้าวันของนักเรียนคนเดิม ไม่ใช่ตัวอย่างนักเรียนใหม่ห้าคน การสรุปต่อครั้งอาจให้น้ำหนักนักเรียนที่มีข้อมูลมากกว่าคนอื่น และการไม่ระบุช่วงเวลาทำให้ข้อสรุปตรวจซ้ำไม่ได้

สรุป

• ประชากรถูกกำหนดด้วยคำถาม
• ค่าสถิติมาจากตัวอย่าง พารามิเตอร์มาจากประชากร
• จำนวนข้อมูลมากไม่ได้รับรองความเป็นตัวแทน
• ค่าสถิติขยับได้ตามตัวอย่างที่สุ่มได้ แต่อคติทำให้เอียงไปทางเดียวทุกครั้ง

หน้าถัดไปดูวิธีเลือกตัวอย่างที่ให้ทุกคนมีโอกาสถูกเลือกตามที่กำหนด ซึ่งเป็นทางแก้ปัญหาแบบโพลของชมรมคอมพิวเตอร์