descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 21 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 1 บทที่ 1

21.4 แก้อสมการที่ซับซ้อนขึ้น

ริมหาดมีร้านเช่าจักรยานสองร้าน ร้านแรกคิดค่าแรกเข้า 20 บาท แล้วชั่วโมงละ 15 บาท ร้านที่สองไม่มีค่าแรกเข้า แต่คิดชั่วโมงละ 25 บาท เช่ากี่ชั่วโมงร้านแรกจึงถูกกว่า

ถ้าเช่า xx ชั่วโมง ร้านแรกคิด 20+15x20 + 15x บาท ร้านที่สองคิด 25x25x บาท ร้านแรกถูกกว่าเมื่อ

20+15x<25x20 + 15x < 25x

อสมการนี้มีตัวแปรอยู่ทั้งสองข้าง หน้านี้รวมอสมการแบบที่ยากขึ้นทั้งหมด หลักการยังเหมือนหน้า 21.3 ทุกอย่าง

ตัวแปรอยู่ทั้งสองข้าง

ทำแบบเดียวกับสมการในบทที่ 6 คือรวมพจน์ที่มีตัวแปรไว้ข้างหนึ่ง และรวมค่าคงตัวไว้อีกข้าง

ตัวอย่าง 1

แก้อสมการ 20+15x<25x20 + 15x < 25x แล้วตอบคำถามเรื่องร้านเช่าจักรยาน

  1. บวก −15x-15x ทั้งสองข้าง ได้ 20<10x20 < 10x
  2. หารด้วย 1010 ซึ่งเป็นจำนวนบวก ได้ 2<x2 < x หรือ x>2x > 2
  3. เช่านานกว่า 2 ชั่วโมง ร้านแรกถูกกว่า
  4. ตรวจจุดปลาย เช่า 2 ชั่วโมงพอดี ร้านแรกคิด 20+30=5020 + 30 = 50 บาท ร้านที่สองคิด 5050 บาท เท่ากันพอดี

ตัวอย่าง 2

แก้อสมการ 7x−3≥9x+57x - 3 \ge 9x + 5

  1. บวก −9x-9x ทั้งสองข้าง ได้ −2x−3≥5-2x - 3 \ge 5
  2. บวก 33 ทั้งสองข้าง ได้ −2x≥8-2x \ge 8
  3. หารด้วย −2-2 ซึ่งเป็นจำนวนลบ กลับเครื่องหมาย ได้ x≤−4x \le -4
  4. ตรวจทิศ แทน x=−5x = -5 ข้างซ้ายได้ −38-38 ข้างขวาได้ −40-40 และ −38≥−40-38 \ge -40 เป็นจริง

ถ้าไม่อยากหารด้วยจำนวนลบ ให้ย้ายพจน์ 7x7x ไปข้างขวาแทน บวก −7x-7x และ −5-5 ทั้งสองข้าง ได้ −8≥2x-8 \ge 2x หารด้วย 22 ได้ −4≥x-4 \ge x ซึ่งก็คือ x≤−4x \le -4 เหมือนกัน

อสมการที่มีวงเล็บ

กระจายวงเล็บก่อน แล้วทำต่อแบบเดิม

ตัวอย่าง 3

แก้อสมการ 3(x−2)−4>5(x+1)−13(x - 2) - 4 > 5(x + 1) - 1

  1. กระจายวงเล็บ ได้ 3x−6−4>5x+5−13x - 6 - 4 > 5x + 5 - 1
  2. รวมค่าคงตัวแต่ละข้าง ได้ 3x−10>5x+43x - 10 > 5x + 4
  3. บวก −5x-5x และ 1010 ทั้งสองข้าง ได้ −2x>14-2x > 14
  4. หารด้วย −2-2 กลับเครื่องหมาย ได้ x<−7x < -7
  5. ตรวจทิศ แทน x=−8x = -8 ข้างซ้ายได้ 3(−10)−4=−343(-10) - 4 = -34 ข้างขวาได้ 5(−7)−1=−365(-7) - 1 = -36 และ −34>−36-34 > -36 เป็นจริง

ลองคิดก่อน

แก้อสมการ 4−2(x−3)≤04 - 2(x - 3) \le 0 เพื่อนเขียนขั้นแรกว่า 4−2x−6≤04 - 2x - 6 \le 0 ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

−2-2 ต้องคูณเข้าไปทั้ง xx และ −3-3 จึงได้ −2(x−3)=−2x+6-2(x - 3) = -2x + 6 ไม่ใช่ −2x−6-2x - 6 ขั้นแรกที่ถูกคือ 4−2x+6≤04 - 2x + 6 \le 0 หรือ 10−2x≤010 - 2x \le 0 บวก −10-10 ได้ −2x≤−10-2x \le -10 หารด้วย −2-2 กลับเครื่องหมาย ได้ x≥5x \ge 5 ถ้าทำต่อจากขั้นที่ผิดจะได้ x≥−1x \ge -1 ซึ่งต่างกันมาก

อสมการที่มีเศษส่วนหรือทศนิยม

คูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วน ค.ร.น. เป็นจำนวนบวกเสมอ เครื่องหมายจึงเหมือนเดิม ถ้าเป็นทศนิยม ให้คูณด้วย 1010 หรือ 100100 ให้กลายเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง 4

แก้อสมการ 2x−13<x+24\dfrac{2x - 1}{3} < \dfrac{x + 2}{4}

  1. ค.ร.น. ของ 33 กับ 44 คือ 1212 คูณทั้งสองข้างด้วย 1212 ได้ 4(2x−1)<3(x+2)4(2x - 1) < 3(x + 2)
  2. กระจาย ได้ 8x−4<3x+68x - 4 < 3x + 6
  3. บวก −3x-3x และ 44 ทั้งสองข้าง ได้ 5x<105x < 10
  4. หารด้วย 55 ได้ x<2x < 2
  5. ตรวจทิศ แทน x=0x = 0 ได้ −13<12-\tfrac{1}{3} < \tfrac{1}{2} เป็นจริง

ตัวอย่าง 5

แก้อสมการ 0.4x+1.2≥0.1x−0.60.4x + 1.2 \ge 0.1x - 0.6

  1. คูณทั้งสองข้างด้วย 1010 ได้ 4x+12≥x−64x + 12 \ge x - 6
  2. บวก −x-x และ −12-12 ทั้งสองข้าง ได้ 3x≥−183x \ge -18
  3. หารด้วย 33 ได้ x≥−6x \ge -6

ไม่มีคำตอบ หรือทุกจำนวนเป็นคำตอบ

บางครั้งพจน์ที่มีตัวแปรหักล้างกันหมด เหมือนสมการบางข้อในบทที่ 6

ตัวอย่าง 6

แก้อสมการ (1) 2(x+3)>2x+12(x + 3) > 2x + 1 และ (2) 2(x+3)<2x+12(x + 3) < 2x + 1

  1. ข้างซ้ายของทั้งสองข้อกระจายได้ 2x+62x + 6 บวก −2x-2x ทั้งสองข้าง ตัวแปรหายไปหมด
  2. ข้อ (1) เหลือ 6>16 > 1 ซึ่งเป็นจริงเสมอไม่ว่า xx เป็นจำนวนใด คำตอบคือจำนวนจริงทุกจำนวน กราฟคือเส้นจำนวนทั้งเส้น
  3. ข้อ (2) เหลือ 6<16 < 1 ซึ่งเป็นเท็จเสมอ อสมการนี้ไม่มีคำตอบ ไม่มีจุดใดบนเส้นจำนวนให้ระบาย

%%NL lo=-5 hi=5 shape=all aria="เส้นจำนวนที่ระบายทั้งเส้น มีหัวลูกศรทั้งสองข้าง" cap="คำตอบของ 2(x+3)>2x+12(x + 3) > 2x + 1 คือจำนวนจริงทุกจำนวน"%%

ลองคิดก่อน

เพื่อนแก้ 3x>x3x > x โดยหารทั้งสองข้างด้วย xx ได้ 3>13 > 1 แล้วสรุปว่าทุกจำนวนเป็นคำตอบ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ลองแทน x=−1x = -1 ได้ −3>−1-3 > -1 เป็นเท็จ ปัญหาคือไม่รู้ว่า xx เป็นบวกหรือลบ จึงไม่รู้ว่าต้องกลับเครื่องหมายหรือไม่ และ xx อาจเป็นศูนย์ก็ได้ ห้ามคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยตัวแปร ที่ถูกคือบวก −x-x ทั้งสองข้าง ได้ 2x>02x > 0 แล้วหารด้วย 22 ได้ x>0x > 0

สรุป

  • ตัวแปรอยู่ทั้งสองข้าง รวมพจน์ที่มีตัวแปรไว้ข้างเดียว ถ้าเลือกข้างที่สัมประสิทธิ์เป็นบวกจะไม่ต้องกลับเครื่องหมาย
  • มีวงเล็บ กระจายก่อน ระวังจำนวนลบหน้าวงเล็บต้องคูณเข้าไปทุกพจน์
  • มีเศษส่วน คูณด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วน มีทศนิยม คูณด้วย 1010 หรือ 100100
  • ถ้าตัวแปรหักล้างกันหมด ประโยคที่เหลือเป็นจริงแปลว่าทุกจำนวนเป็นคำตอบ เป็นเท็จแปลว่าไม่มีคำตอบ
  • ห้ามคูณหรือหารด้วยตัวแปร เพราะไม่รู้ว่าเป็นบวกหรือลบ