12.1 ปริซึม ทรงกระบอก และรูปคลี่

ดื่มนมกล่องหมดแล้ว ลองแกะกล่องตามรอยกาวแล้วกางออกวางบนโต๊ะ จะได้กระดาษแบนแผ่นเดียว แผ่นนี้เรียกว่ารูปคลี่ของกล่อง ถ้ารู้ว่ากระดาษแผ่นนี้มีพื้นที่เท่าไร ก็รู้ว่าโรงงานใช้กระดาษทำกล่องหนึ่งใบเท่าไร และถ้ารู้ว่ากล่องกว้าง ยาว สูงเท่าไร ก็รู้ว่ากล่องจุนมได้เท่าไร

ก่อนจะคำนวณอะไร หน้านี้จะทำความรู้จักรูปทรงสองแบบที่ใช้ทั้งบท คือปริซึมกับทรงกระบอก และดูว่ารูปคลี่ของมันหน้าตาเป็นอย่างไร

ปริซึม

คำที่ต้องใช้ตลอดบท

• ความสูงของปริซึม คือระยะห่างระหว่างฐานทั้งสอง
• ถ้าหน้าข้างทุกหน้าตั้งฉากกับฐาน หน้าข้างจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (สี่เหลี่ยมผืนผ้า) เรียกว่าปริซึมตรง ปริซึมทุกอันในบทนี้เป็นปริซึมตรง ความสูงจึงเท่ากับความยาวของขอบข้าง
• เรียกชื่อปริซึมตามรูปของฐาน ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าปริซึมสามเหลี่ยม ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งก็คือรูปทรงของกล่องทั่วไป ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมเรียกว่าปริซึมหกเหลี่ยม

ทรงกระบอก

ทรงกระบอกในบทนี้เป็นทรงกระบอกตรงทั้งหมด เช่น กระป๋องน้ำอัดลม แก้วน้ำทรงตรง ท่อพีวีซี ขนาดของทรงกระบอกบอกได้ด้วยสองค่า คือรัศมีของฐาน $r$ กับความสูง $h$ ซึ่งเป็นระยะห่างระหว่างฐานทั้งสอง

รูปคลี่

รูปคลี่ คือรูปแบนที่ได้จากการตัดผิวของรูปสามมิติตามขอบบางขอบแล้วกางออก ถ้าพับกลับตามรอยเดิมก็ได้รูปทรงเดิม กราฟข้างล่างเริ่มจากรูปคลี่ของกล่อง ฐานล่างอยู่ตรงกลาง หน้าข้างล้อมรอบฐาน และฐานบนต่ออยู่กับหน้าข้างด้านหน้า

สังเกตสองอย่างจากการพับ

• ตอนพับ แต่ละหน้าแค่หมุน ไม่ยืดและไม่หด พื้นที่ของรูปคลี่จึงเท่ากับพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมเสมอ หน้า 12.2 จะใช้ความคิดนี้หาพื้นที่ผิว
• หน้าข้างทุกหน้าติดอยู่กับขอบของฐานล่าง ขอบที่ติดกันยาวรวมกันเท่ากับความยาวรอบฐานพอดี

รูปคลี่ของทรงกระบอก

ลอกฉลากรอบกระป๋องออกแล้วคลี่ให้แบน จะได้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ด้านหนึ่งยาวเท่ากับความสูงของกระป๋อง อีกด้านหนึ่งเคยพันรอบฐานพอดีหนึ่งรอบ จึงยาวเท่ากับเส้นรอบวงของฐาน ซึ่งเท่ากับ $2\pi r$ รูปคลี่ของทรงกระบอกจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูปกับวงกลมสองวง

ที่เลือกใช้ $\tfrac{22}{7}$ ในตัวอย่างนี้ เพราะรัศมี $3.5 = \tfrac{7}{2}$ ตัดกับ $7$ ได้ลงตัว เรื่องว่าเมื่อไรควรใช้ $\tfrac{22}{7}$ เมื่อไรควรตอบในรูป $\pi$ อยู่ในหน้า 12.3

สรุป

• ปริซึมมีฐานสองฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการและขนานกัน หน้าข้างเชื่อมฐานทั้งสอง เรียกชื่อตามรูปของฐาน
• ฐานไม่จำเป็นต้องเป็นหน้าที่วางติดพื้น ความสูงคือระยะระหว่างฐานทั้งสอง
• ทรงกระบอกมีฐานเป็นวงกลมสองวงที่เท่ากัน บอกขนาดด้วยรัศมี $r$ และความสูง $h$
• พื้นที่ของรูปคลี่เท่ากับพื้นที่ผิวของรูปทรง รูปคลี่ของทรงกระบอกคือสี่เหลี่ยมยาว $2\pi r$ กว้าง $h$ กับวงกลมสองวง