3.3 เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นสิบ

หนึ่งล้านมีศูนย์กี่ตัว หนึ่งพันล้านล่ะ ตัวเลขยาวๆ แบบนี้นับศูนย์ผิดง่าย แต่ถ้าเขียนเป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นสิบ จะรู้จำนวนศูนย์ได้จากเลขชี้กำลังทันที หน้านี้เตรียมเครื่องมือสำหรับสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ในหน้าถัดไป

สิบยกกำลัง n

เลขยกกำลัง	$10^1$	$10^2$	$10^3$	$10^4$	$10^5$	$10^6$
จำนวน	10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000
อ่านว่า	สิบ	ร้อย	พัน	หมื่น	แสน	ล้าน

ทุกครั้งที่คูณด้วย $10$ ตัวเลขจะมีศูนย์ต่อท้ายเพิ่มหนึ่งตัว คูณ $n$ ครั้งจึงมีศูนย์ $n$ ตัว

สมบัติ

$10^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก เขียนเป็นจำนวนปกติได้เป็น $1$ ตามด้วย $0$ จำนวน $n$ ตัว

ตัวอย่าง 1

เขียน $10^9$ เป็นจำนวนปกติ และเขียนหนึ่งร้อยล้านในรูป $10^n$

$10^9$ คือ $1$ ตามด้วยศูนย์เก้าตัว ได้ $1{,}000{,}000{,}000$ อ่านว่าหนึ่งพันล้าน
หนึ่งร้อยล้านเขียนเป็น $100{,}000{,}000$ นับศูนย์ได้แปดตัว จึงได้ $10^8$

ถ้าเลขชี้กำลังเป็น $3$ $6$ $9$ $12$ จะตรงกับหลักที่คั่นด้วยจุลภาคพอดี $10^6$ คือหนึ่งล้าน และ $10^{12}$ คือหนึ่งล้านล้าน

คูณด้วย 10 ยกกำลัง n

คูณจำนวนเต็มด้วย $10^n$ คือเติมศูนย์ต่อท้าย $n$ ตัว เช่น $38 \times 10^4 = 380{,}000$ แต่ถ้าเป็นทศนิยม การเติมศูนย์ต่อท้ายไม่ได้ทำให้ค่าเปลี่ยน ต้องคิดอีกแบบ

ทุกครั้งที่คูณด้วย $10$ จุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง เช่น $3.7 \times 10 = 37$ และ $3.7 \times 100 = 370$ คูณด้วย $10^n$ จึงเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา $n$ ตำแหน่ง ถ้าตัวเลขหลังจุดไม่พอให้เติมศูนย์

ตัวอย่าง 2

หาค่าของ $4.5 \times 10^3$ $2.06 \times 10^5$ และ $38 \times 10^4$

$4.5 \times 10^3$ เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาสามตำแหน่ง หลังจุดมีเลขแค่ตัวเดียว ต้องเติมศูนย์อีกสองตัว ได้ $4{,}500$
$2.06 \times 10^5$ เลื่อนจุดไปทางขวาห้าตำแหน่ง หลังจุดมีสองตัว เติมศูนย์อีกสามตัว ได้ $206{,}000$
$38 \times 10^4$ เป็นจำนวนเต็ม เติมศูนย์ต่อท้ายสี่ตัว ได้ $380{,}000$

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาค่า $2.06 \times 10^5$ โดยเติมศูนย์ห้าตัวต่อท้าย ได้ $2.0600000$ ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เติมศูนย์ต่อท้ายทศนิยมไม่ได้ทำให้ค่าเปลี่ยน $2.0600000$ ยังเท่ากับ $2.06$ ซึ่งเท่ากับยังไม่ได้คูณอะไรเลย สิ่งที่ต้องทำคือเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาห้าตำแหน่ง ได้ $206{,}000$ ตรวจคร่าวๆ ได้ว่า $2.06 \times 10^5$ ต้องอยู่ราวสองแสน

การกระจายด้วยเลขยกกำลังของสิบ

ตัวเลขแต่ละหลักมีค่าประจำหลัก หลักพันมีค่า $1{,}000 = 10^3$ หลักร้อยมีค่า $100 = 10^2$ จำนวนใดก็เขียนเป็นผลบวกของ ตัวเลขในหลัก คูณ ค่าประจำหลัก ได้ เรียกว่าการกระจาย

ตัวอย่าง 3

เขียน $58{,}307$ ในรูปการกระจายโดยใช้เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นสิบ

แยกหลัก $5$ อยู่หลักหมื่น $8$ อยู่หลักพัน $3$ อยู่หลักร้อย $0$ อยู่หลักสิบ $7$ อยู่หลักหน่วย
หลักหมื่นคือ $10^4$ หลักพันคือ $10^3$ หลักร้อยคือ $10^2$ หลักสิบคือ $10$
ได้ $58{,}307 = (5 \times 10^4) + (8 \times 10^3) + (3 \times 10^2) + 7$ หลักที่เป็น $0$ ไม่ต้องเขียน

ตัวอย่าง 4

$(2 \times 10^5) + (9 \times 10^3) + (4 \times 10)$ เป็นจำนวนใด

$2 \times 10^5$ อยู่หลักแสน $9 \times 10^3$ อยู่หลักพัน $4 \times 10$ อยู่หลักสิบ
หลักหมื่น หลักร้อย และหลักหน่วยไม่มีพจน์ จึงเป็น $0$
เขียนเรียงหลักจากแสนลงมาถึงหน่วยได้ $2\;0\;9\;0\;4\;0$ คือ $209{,}040$

ตัวอย่างนี้พลาดกันบ่อยตรงหลักที่หายไป ถ้าเขียนแค่ $2$ $9$ $4$ ติดกันแล้วเติมศูนย์ท้าย จะได้ตัวเลขผิด ให้ไล่ทีละหลักจากหลักใหญ่สุดลงมา หลักไหนไม่มีพจน์ให้ใส่ $0$

คูณสิบยกกำลังด้วยกัน

$10^3 \times 10^2$ คือ $10$ คูณกันสามตัว แล้วคูณกับ $10$ อีกสองตัว รวมเป็น $10$ คูณกันห้าตัว จึงได้ $10^5$ นับจากความหมายของเลขยกกำลังได้เลย ส่วนกฎทั่วไปของการคูณและหารเลขยกกำลังจะเรียนในบทที่ 14

สรุป

$10^n$ คือ $1$ ตามด้วยศูนย์ $n$ ตัว
คูณด้วย $10^n$ คือเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา $n$ ตำแหน่ง ไม่ใช่เติมศูนย์หลังทศนิยม
จำนวนทุกจำนวนเขียนในรูปการกระจายได้ หลักไหนเป็นศูนย์ไม่ต้องเขียนพจน์ แต่ตอนรวมกลับต้องใส่ศูนย์ในหลักนั้น