49.1 การแจกแจงความถี่และการนำเสนอ

เวลารอรถของนักเรียนยี่สิบคนต่างกัน การดูรายการดิบทีละค่าไม่เห็นว่าค่าส่วนใหญ่อยู่ช่วงไหน ฮิสโทแกรมช่วยเห็นรูปแบบ แต่การเลือกช่วงชั้นต้องโปร่งใส

ทั้งบทนี้จะใช้ข้อมูลชุดหนึ่งเป็นแกนกลาง คือการสำรวจนักเรียน ม.6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งจำนวน $40$ คน ว่าใช้เวลาเดินทางจากบ้านมาโรงเรียนกี่นาที ฝ่ายกิจการนักเรียนอยากรู้ว่าควรเลื่อนเวลาเข้าแถวตอนเช้าหรือไม่ คำถามแบบนี้ตอบไม่ได้ด้วยตัวเลขสี่สิบตัวที่เรียงต่อกันยาวๆ ต้องจัดข้อมูลให้เห็นภาพก่อน แล้วในหน้าถัดๆ ไปจึงคำนวณค่ากลาง การกระจาย และตำแหน่งจากข้อมูลชุดเดียวกัน จะได้เห็นว่าตัวเลขแต่ละตัวตอบคำถามคนละส่วน

ช่วงชั้นและขอบเขต

กำหนดช่วงให้ไม่ทับซ้อนและครอบคลุมข้อมูล เช่น $0\le x<5$ แล้ว $5\le x<10$ ค่าที่ตรงขอบต้องเข้าช่วงเดียวเท่านั้น ฮิสโทแกรมใช้แท่งติดกันเพราะแกนนอนเป็นปริมาณต่อเนื่อง ส่วนแผนภาพจุดเก็บค่าจริงไว้เหมาะกับชุดเล็ก

บทที่ 16 หน้า 16.3 เขียนช่วงชั้นของข้อมูลจำนวนเต็มเป็น $0$ ถึง $9$ แล้วใช้ขอบล่าง $-0.5$ กับขอบบน $9.5$ ในบทนี้ข้อมูลส่วนใหญ่เป็นการวัด เช่นเวลา ซึ่งอาจเป็น $9.8$ นาทีก็ได้ จึงเขียนเป็นช่วงครึ่งเปิด $0\le x<10$ ซึ่งบอกขอบเขตได้ตรงกว่า ไม่ว่าจะเขียนแบบไหน หลักคือผู้อ่านต้องรู้ว่าค่าที่ตรงขอบพอดีอยู่ช่วงใด

ความถี่สัมพัทธ์และความถี่สะสม

ความถี่บอกว่ามีกี่คน แต่ถ้าจะเทียบกับโรงเรียนอื่นที่สำรวจ $250$ คน ตัวเลขจำนวนคนเทียบกันตรงๆ ไม่ได้ ต้องเปลี่ยนเป็นสัดส่วนก่อน

ความถี่สัมพัทธ์ทุกช่วงรวมกันได้ $1$ เสมอ และความถี่สะสมของช่วงสุดท้ายต้องเท่ากับ $N$ สองข้อนี้ใช้ตรวจว่าจัดตารางครบหรือไม่ ความถี่สะสมเหมาะกับคำถามที่ขึ้นต้นด้วยคำว่า มีกี่คนที่ไม่ถึง หรือ มีกี่คนที่ใช้เวลาน้อยกว่า ซึ่งเป็นคำถามที่ฝ่ายกิจการนักเรียนอยากรู้พอดี

ตารางนี้จะกลับมาอีกในหน้า 49.2 เพื่อหาค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน และในหน้า 49.4 เพื่อหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความสูงกับพื้นที่

ถ้าความกว้างช่วงเท่ากันใช้ความถี่เป็นความสูงได้ ถ้ากว้างไม่เท่ากันต้องใช้ความหนาแน่น $f/\text{ความกว้าง}$ ให้พื้นที่แท่งแทนความถี่ ไม่อ่านความสูงเป็นจำนวนโดยตรง

เหตุผลคือสายตาคนเราเทียบขนาดของแท่งจากพื้นที่ ถ้าเอาช่วงที่กว้างสองเท่ามาวาดด้วยความถี่ตรงๆ แท่งนั้นจะดูใหญ่เกินจริงเป็นสองเท่า เหมือนเอาสองช่วงมารวมแล้วอวดว่ามีคนมาก

รูปร่าง

ดูจุดศูนย์กลาง ความกว้าง ความเบ้ ยอดหลายกลุ่ม ช่องว่าง และค่าที่ห่างจากส่วนใหญ่ อย่าใช้ข้อมูลจัดช่วงแทนค่าจริงโดยไม่บอกว่าคำนวณประมาณจากจุดกึ่งกลาง

รูปนี้มียอดเดียวอยู่ค่อนไปทางซ้าย แล้วค่อยๆ ลาดลงไปทางขวาเป็นหางยาว เพราะมีนักเรียนไม่กี่คนที่บ้านไกลมาก แต่ไม่มีใครใช้เวลาน้อยกว่าศูนย์นาที ข้อมูลที่มีหางยาวไปทางขวาแบบนี้เรียกว่าเบ้ขวา หรือเบ้ทางบวก ส่วนข้อมูลที่หางยาวไปทางซ้ายเรียกว่าเบ้ซ้าย หรือเบ้ทางลบ เช่นคะแนนสอบที่ง่ายมากจนคนส่วนใหญ่ได้เกือบเต็ม มีแค่ไม่กี่คนที่ได้น้อย ถ้าสองข้างของยอดลาดลงพอๆ กันเรียกว่าสมมาตร

ข้อมูลที่ขึ้นกับเงินหรือเวลามักเบ้ขวา เพราะมีขอบล่างที่ศูนย์แต่ไม่มีขอบบน ชื่อของความเบ้ตั้งตามทิศของหาง ไม่ใช่ทิศของยอด

อ่านค่าประมาณจากข้อมูลจัดกลุ่ม

เมื่อเหลือเพียงตารางช่วง เราไม่รู้ว่าทุกคนอยู่ตรงไหนภายในช่วง การใช้จุดกึ่งกลางคำนวณค่าเฉลี่ยจึงเป็นค่าประมาณที่สมมติให้ข้อมูลในช่วงแทนด้วยค่ากลางเดียว ถ้าช่วงกว้างหรือข้อมูลกองอยู่ริมช่วงมาก ค่าประมาณอาจห่างจากค่าเฉลี่ยจริง ต้องคงคำว่าประมาณไว้ในคำตอบ

ตอนนี้เรามีภาพของข้อมูลแล้ว ขั้นต่อไปคือสรุปภาพทั้งหมดด้วยตัวเลขตัวเดียวที่บอกว่าข้อมูลอยู่ตรงไหน ซึ่งเป็นเรื่องของค่ากลางในหน้า 49.2

สรุป

• ช่วงต้องไม่ทับซ้อนและครอบคลุมข้อมูล
• ความถี่สัมพัทธ์ $f/N$ ใช้เทียบกลุ่มที่ขนาดต่างกัน ความถี่สะสมตอบคำถามว่ามีกี่ตัวที่น้อยกว่าค่าหนึ่ง
• ช่วงกว้างไม่เท่ากันใช้พื้นที่แทนความถี่
• ความเบ้ตั้งชื่อตามทิศของหาง
• การจัดช่วงทำให้สูญเสียค่ารายตัวบางส่วน