36.2 ฟังก์ชันที่พบในชีวิตประจำวัน

แอปเรียกรถคิดค่าโดยสารเพิ่มขึ้นทีละนิดตามระยะทาง ไปไกลขึ้นหนึ่งกิโลเมตรก็จ่ายเพิ่มเท่าเดิม แต่ลานจอดรถในห้างคิดเงินเป็นชั่วโมงเต็ม จอดเกินมาแค่นาทีเดียวก็ต้องจ่ายเพิ่มอีกหนึ่งชั่วโมง ทั้งสองเรื่องเป็นฟังก์ชันของสิ่งที่วัดได้ แต่หน้าตาของกราฟต่างกันมาก ถ้าใช้สูตรผิดชนิด คำตอบจะผิดทั้งที่คำนวณถูกทุกขั้น

หน้านี้รวมฟังก์ชันสี่ชนิดที่เจอบ่อยที่สุด เครื่องมือหลักที่ใช้แยกชนิดมีสองอย่าง คือเพิ่มข้อมูลเข้าทีละเท่ากันแล้วดูผลต่างของผลลัพธ์ หรือดูอัตราส่วนของผลลัพธ์

ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นเขียนในรูป $f(x) = mx + b$ กราฟเป็นเส้นตรงแบบที่วาดในบทที่ 8 ค่า $b$ คือผลลัพธ์เมื่อ $x = 0$ หรือค่าตั้งต้น ส่วน $m$ คือความชัน บอกว่า $x$ เพิ่มหนึ่งหน่วยแล้ว $f(x)$ เปลี่ยนไปเท่าไร

ทำไมผลต่างจึงคงที่ ลองเทียบ $f(x + 1)$ กับ $f(x)$ ได้ $m(x + 1) + b - (mx + b) = m$ ไม่ว่าเริ่มที่ $x$ เท่าไร ผลต่างก็เท่ากับ $m$ ทุกครั้ง ข้อนี้กลับกันก็จริง ข้อมูลที่ $x$ เพิ่มทีละเท่ากันแล้วผลต่างคงที่ จะเข้ากับแบบจำลองเชิงเส้น

ตัวอย่าง 1

ร้านอาหารคิดค่าจัดส่งเริ่มต้น $25$ บาท บวกกิโลเมตรละ $6$ บาท ส่งไกล $8$ กิโลเมตรเสียค่าส่งเท่าไร

ให้ $d$ เป็นระยะทางเป็นกิโลเมตร ค่าส่งแยกเป็นสองส่วน ส่วนที่จ่ายแน่ๆ $25$ บาท กับส่วนที่ขึ้นกับระยะ $6d$ บาท
รวมได้ $C(d) = 25 + 6d$ ค่า $25$ คือ $b$ และ $6$ คือความชัน $m$ ระยะทางติดลบไม่มีความหมาย จึงใช้ $d \ge 0$
แทน $d = 8$ ได้ $C(8) = 25 + 6(8) = 25 + 48 = 73$ บาท
ตรวจความสมเหตุสมผล ถ้าคิดแค่ $6 \times 8 = 48$ บาทจะลืมค่าเริ่มต้น ส่วน $73$ บาทมากกว่า $48$ อยู่ $25$ พอดี

ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง $f(x) = ax^2 + bx + c$ เมื่อ $a \ne 0$ มีกราฟเป็นพาราโบลาตามบทที่ 25 มักเกิดเมื่อผลลัพธ์เป็นผลคูณของสองปริมาณที่แลกกัน ปริมาณหนึ่งเพิ่ม อีกปริมาณหนึ่งลด เช่นด้านกว้างกับด้านยาวเมื่อเชือกมีความยาวจำกัด ผลคูณจึงขึ้นไปถึงจุดสูงสุดแล้วลดลง

ตัวอย่าง 2

มีรั้วยาว $20$ เมตร ใช้ล้อมแปลงผักสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถ้าด้านกว้างยาว $x$ เมตร เขียนพื้นที่เป็นฟังก์ชันของ $x$ และหาพื้นที่มากที่สุด

รั้วทั้งหมดคือเส้นรอบรูป ซึ่งเท่ากับสองเท่าของผลบวกด้านกว้างกับด้านยาว ผลบวกของสองด้านจึงเป็น $20 \div 2 = 10$ เมตร ด้านยาวจึงเป็น $10 - x$ ตรงนี้คือการแลกกัน กว้างเพิ่มเท่าไร ยาวลดเท่านั้น
พื้นที่ $A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$ เป็นฟังก์ชันกำลังสองที่ $a = -1$ ติดลบ กราฟคว่ำ จึงมีค่าสูงสุด
ด้านต้องยาวกว่าศูนย์ทั้งคู่ จึงได้ $0 \lt x \lt 10$
จุดยอดอยู่ที่ $x = -\tfrac{b}{2a} = -\tfrac{10}{2(-1)} = 5$ และ $A(5) = 5 \times 5 = 25$ แปลงที่ใหญ่ที่สุดคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $5$ เมตร พื้นที่ $25$ ตารางเมตร

ลองดูตารางของ $A(x)$ เมื่อ $x = 1, 2, 3, 4$ จะได้ $9, 16, 21, 24$ ผลต่างคือ $7, 5, 3$ ไม่คงที่ จึงไม่ใช่เชิงเส้น แต่ผลต่างลดลงทีละ $2$ เท่ากันทุกครั้ง ผลต่างของผลต่างที่คงที่เป็นลายมือของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชันขั้นบันไดมีค่าคงที่ตลอดช่วงหนึ่ง แล้วกระโดดไปค่าใหม่ทันทีเมื่อข้ามขอบช่วง ไม่มีค่าระหว่างกลาง ค่าจอดรถ ค่าส่งพัสดุตามน้ำหนัก และค่าโทรศัพท์ที่คิดเป็นนาทีเต็มเป็นแบบนี้ทั้งหมด

เรื่องที่ต้องตอบให้ได้คือที่ขอบช่วงพอดีจ่ายเท่าไร ถ้าจอดครบหนึ่งชั่วโมงพอดี ยังจ่ายเท่าชั่วโมงแรก ช่วงแรกจึงเป็น $0 \lt t \le 1$ รวมเลขหนึ่งแต่ไม่รวมศูนย์ บนกราฟใช้จุดทึบแทนปลายที่รวม และจุดโปร่งแทนปลายที่ไม่รวม เส้นตั้งแต่ละเส้นจึงตัดกราฟแค่จุดเดียว ตรงกับเงื่อนไขของฟังก์ชันในหน้า 36.1

ค่าจอดรถชั่วโมงละ

20

บาท เศษชั่วโมงปัดขึ้น ที่

t = 1

จุดทึบอยู่ระดับ

20

จุดโปร่งอยู่ระดับ

40

จึงจ่าย

20

บาท

ตัวอย่าง 3

ค่าจอดรถชั่วโมงละ $20$ บาท เศษชั่วโมงปัดขึ้น จอด $1.2$ ชั่วโมงจ่ายเท่าไร

เขียนค่าจอดเป็นช่วง $0 \lt t \le 1$ จ่าย $20$ บาท และ $1 \lt t \le 2$ จ่าย $40$ บาท แบ่งช่วงก่อนเสมอ เพราะคำตอบขึ้นกับว่าเวลาตกช่วงไหน
$1.2$ มากกว่า $1$ แต่ไม่เกิน $2$ จึงอยู่ช่วงที่สอง จ่าย $40$ บาท
คำตอบ $24$ บาทที่ได้จาก $1.2 \times 20$ เป็นการคิดตามสัดส่วนแบบเชิงเส้น ซึ่งไม่ใช่กติกาของลานจอดนี้

ลองคิดก่อน

จอดรถในลานเดียวกัน $2$ ชั่วโมงพอดี กับ $2$ ชั่วโมง $1$ นาที ต่างกันกี่บาท

ดูคำตอบ

ต่างกัน $20$ บาท สองชั่วโมงพอดีอยู่ในช่วง $1 \lt t \le 2$ จ่าย $40$ บาท เพราะปลายขวารวม ส่วนสองชั่วโมงหนึ่งนาทีเกินสองไปแล้ว อยู่ช่วง $2 \lt t \le 3$ จ่าย $60$ บาท นาทีเดียวที่ขอบช่วงทำให้ราคากระโดด นี่คือเหตุที่ต้องดูจุดทึบจุดโปร่งให้ดี

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเขียนได้ในรูป $f(x) = a^x$ เมื่อ $a \gt 0$ และ $a \ne 1$ หรือมีตัวคูณข้างหน้า เช่น $N(t) = 200 \cdot 2^t$ ชนิดนี้เกิดเมื่อปริมาณถูกคูณด้วยค่าเดิมทุกรอบ ไม่ใช่บวกค่าเดิม เมื่อ $x$ เพิ่มหนึ่ง ผลลัพธ์คูณด้วย $a$ ทุกครั้ง อัตราส่วนจึงคงที่ ถ้า $a \gt 1$ กราฟเพิ่มขึ้นเร็วขึ้นเรื่อยๆ ถ้า $0 \lt a \lt 1$ กราฟลดลงและเข้าใกล้ศูนย์

ทำไมต้องห้าม $a = 1$ เพราะ $1^x = 1$ ทุกค่า ได้เส้นตรงแนวนอนธรรมดา ส่วนฐานติดลบห้ามเพราะค่าอย่าง $(-2)^{1/2}$ ไม่เป็นจำนวนจริง สมบัติของเลขยกกำลังที่ใช้คำนวณอยู่ในบทที่ 35 และบทที่ 37 จะศึกษาฟังก์ชันชนิดนี้ละเอียดขึ้น

ตัวอย่าง 4

แบคทีเรียในจานเพาะเชื้อมี $200$ ตัว จำนวนเพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง เขียนจำนวนเป็นฟังก์ชันของเวลา และหาจำนวนเมื่อผ่านไป $5$ ชั่วโมง

ผ่านไปหนึ่งชั่วโมงได้ $200 \times 2$ สองชั่วโมงได้ $200 \times 2 \times 2 = 200 \cdot 2^2$ ทุกชั่วโมงคูณ $2$ เพิ่มอีกหนึ่งตัว
จำนวนตัวคูณเท่ากับจำนวนชั่วโมง จึงได้ $N(t) = 200 \cdot 2^t$ เมื่อ $t \ge 0$
แทน $t = 5$ ได้ $N(5) = 200 \cdot 32 = 6{,}400$ ตัว
ถ้าคิดแบบเชิงเส้นว่าเพิ่มชั่วโมงละ $200$ ตัว จะได้เพียง $1{,}200$ ตัว ห่างจากความจริงมาก เพราะการเพิ่มแต่ละรอบคิดจากจำนวนล่าสุดที่โตขึ้นแล้ว

ลองคิดก่อน

ข้อมูล $3, 6, 12, 24$ เมื่อเวลาเพิ่มครั้งละหนึ่ง เป็นเชิงเส้นไหม

ดูคำตอบ

ไม่เป็นเชิงเส้น ผลต่างคือ $3, 6, 12$ ไม่คงที่ แต่อัตราส่วน $6 \div 3 = 12 \div 6 = 24 \div 12 = 2$ คงที่ จึงเข้ากับเอกซ์โพเนนเชียลที่คูณสองทุกรอบ

เลื่อนแถบด้านล่างเพื่อสลับดูกราฟทั้งสี่ชนิดในกรอบเดียวกัน

สังเกตว่ากราฟชนิดใดมีผลต่างคงที่ ชนิดใดมีอัตราส่วนคงที่ และชนิดใดกระโดดที่ขอบช่วง

แยกชนิดจากตาราง

เมื่อโจทย์ให้ตารางที่ $x$ เพิ่มทีละเท่ากัน ลองทำตามลำดับนี้ คำนวณผลต่างก่อน ถ้าคงที่คือเชิงเส้น ถ้าไม่คงที่ให้ดูผลต่างของผลต่าง ถ้าคงที่คือกำลังสอง ถ้ายังไม่ใช่ให้ลองอัตราส่วน ถ้าคงที่คือเอกซ์โพเนนเชียล

ตัวอย่าง 5

ตารางสามชุดมีค่าเมื่อ $x = 0, 1, 2, 3$ ดังนี้ ชุด ก $4, 7, 10, 13$ ชุด ข $2, 6, 18, 54$ ชุด ค $1, 4, 9, 16$ แต่ละชุดเข้ากับแบบจำลองชนิดใด

ชุด ก ผลต่างคือ $3, 3, 3$ คงที่ เป็นเชิงเส้น เขียนได้ $f(x) = 4 + 3x$ เพราะค่าเริ่มต้นคือ $4$ และเพิ่มทีละ $3$
ชุด ข ผลต่างคือ $4, 12, 36$ ไม่คงที่ ผลต่างของผลต่างคือ $8, 24$ ก็ไม่คงที่ แต่อัตราส่วนคือ $3$ ทุกคู่ จึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียล $f(x) = 2 \cdot 3^x$
ชุด ค ผลต่างคือ $3, 5, 7$ ไม่คงที่ แต่ผลต่างของผลต่างคือ $2, 2$ คงที่ จึงเป็นกำลังสอง ซึ่งก็คือ $f(x) = (x + 1)^2$
ทั้งสามชุดเพิ่มขึ้นเหมือนกัน ถ้าดูแค่นั้นจะแยกชนิดไม่ออก

อ่านหน่วยและขอบเขต

สูตรอาจคำนวณได้กับจำนวนจริงทุกตัว แต่สถานการณ์จริงจำกัดโดเมนเสมอ จำนวนเสื้อต้องเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ กราฟจึงเป็นจุดแยกกันไม่ใช่เส้นต่อเนื่อง เวลาต้องไม่ติดลบ ความยาวต้องมากกว่าศูนย์ ก่อนตีความกราฟให้อ่านแกนและหน่วยก่อน คำตอบที่อยู่นอกโดเมนของสถานการณ์ เช่นด้านกว้าง $12$ เมตรในตัวอย่าง 2 ต้องตัดทิ้งแม้สูตรจะคำนวณได้

ตรวจแบบจำลองก่อนคาดการณ์

ข้อมูลไม่กี่จุดอาจเข้าได้กับหลายสูตร เช่นจุด $(0, 1)$ และ $(1, 2)$ ผ่านทั้ง $y = x + 1$ และ $y = 2^x$ แต่ที่ $x = 5$ สองสูตรให้ $6$ กับ $32$ ต่างกันมาก ถ้าโจทย์บอกชนิดแบบจำลองจึงค่อยใช้พฤติกรรมชนิดนั้นขยายออกไป ถ้าไม่บอก ต้องระบุสมมติฐานให้ชัด

ตัวอย่าง 6

ยอดขายขนมของสหกรณ์ในสัปดาห์ที่ $t = 0, 1, 2$ เป็น $12, 18, 24$ กล่อง ถ้าสมมติว่าเป็นเชิงเส้น เขียนสูตรและคาดยอดขายในสัปดาห์ที่ $t = 5$

ผลต่างคือ $6, 6$ คงที่ จึงใช้เชิงเส้นได้ และความชันคือ $6$ กล่องต่อสัปดาห์
ค่าเมื่อ $t = 0$ คือ $12$ จึงเป็นค่า $b$ ได้ $S(t) = 12 + 6t$ ตรวจกับข้อมูลเดิม $S(2) = 24$ ตรง
$S(5) = 12 + 30 = 42$ กล่อง โดยมีเงื่อนไขว่ายอดยังเพิ่มสัปดาห์ละเท่าเดิม

สูตรที่ผ่านข้อมูลทุกจุดยังไม่รับรองอนาคต ถ้าโจทย์ให้แค่ตารางโดยไม่บอกชนิดฟังก์ชัน ให้ตอบว่าคาดการณ์ตามแบบจำลองที่เลือก ไม่ใช่อ้างว่าตารางพิสูจน์สูตรนี้แล้ว

หน้าถัดไปสำหรับสายเพิ่มเติม จะมองฟังก์ชันอย่างละเอียดขึ้นในฐานะเซตของคู่อันดับ และหาว่าข้อมูลเข้าใดใช้ได้บ้าง

สรุป

เชิงเส้นมีผลต่างคงที่ กำลังสองมีผลต่างของผลต่างคงที่ เอกซ์โพเนนเชียลมีอัตราส่วนคงที่
ขั้นบันไดคงที่ในแต่ละช่วงแล้วกระโดด ต้องตรวจว่าขอบช่วงรวมหรือไม่รวม
เขียนสูตรจากความหมาย ค่าตั้งต้นคือค่าเมื่อข้อมูลเข้าเป็นศูนย์
เลือกโดเมนให้เข้ากับหน่วยและสถานการณ์ และบอกสมมติฐานเมื่อคาดการณ์