descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 25 กราฟของฟังก์ชันกำลังสองตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 1 บทที่ 5

25.4 ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และโจทย์ปัญหา

จุดยอดคือจุดที่กราฟเลี้ยวกลับ จึงเป็นจุดที่ค่า yy มากที่สุดหรือน้อยที่สุดด้วย โจทย์ที่ถามว่า "มากที่สุดเท่าไร" หรือ "น้อยที่สุดเท่าไร" จึงกลายเป็นโจทย์หาจุดยอด ถ้าเขียนสิ่งที่ถามเป็นฟังก์ชันกำลังสองได้

สมบัติ

ฟังก์ชัน y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

  • ถ้า a>0a > 0 มีค่าต่ำสุดเท่ากับ kk เมื่อ x=hx = h และไม่มีค่าสูงสุด
  • ถ้า a<0a < 0 มีค่าสูงสุดเท่ากับ kk เมื่อ x=hx = h และไม่มีค่าต่ำสุด

เหตุผลคือ (x−h)2(x - h)^2 มีค่าน้อยที่สุดเป็น 00 ที่ x=hx = h ค่าอื่นเป็นบวกทั้งหมด ถ้า a>0a > 0 การบวกค่าบวกเข้าไปทำให้ yy โตขึ้นได้เรื่อยๆ จึงไม่มีค่าสูงสุด แต่ต่ำกว่า kk ไม่ได้

ขั้นตอนทำโจทย์

  1. ตั้งตัวแปรแทนสิ่งที่เปลี่ยนได้ เขียนให้ชัดว่าหมายถึงอะไรและหน่วยอะไร
  2. เขียนสิ่งที่โจทย์ถามให้มากที่สุดหรือน้อยที่สุด เป็นฟังก์ชันของตัวแปรนั้น
  3. หาจุดยอด ด้วยกำลังสองสมบูรณ์ หรือทางลัด h=−b2ah = -\tfrac{b}{2a}
  4. ตอบให้ตรงคำถาม พร้อมหน่วย และตรวจว่าค่าที่ได้เป็นไปได้จริง เช่น ความยาวต้องไม่ติดลบ

ลูกบอลขึ้นไปสูงสุดเท่าไร

ตัวอย่าง 1

ลูกบอลจากหน้า 25.1 มีความสูง h=1+20t−5t2h = 1 + 20t - 5t^2 เมตร เมื่อเวลาผ่านไป tt วินาที ลูกบอลขึ้นไปสูงสุดกี่เมตร และถึงจุดสูงสุดเมื่อไร

  1. เรียงใหม่ h=−5t2+20t+1h = -5t^2 + 20t + 1 มี a=−5<0a = -5 < 0 กราฟคว่ำลง จึงมีค่าสูงสุด
  2. ดึง −5-5 ออก h=−5(t2−4t)+1h = -5(t^2 - 4t) + 1 เติมให้ครบกำลังสอง h=−5[(t−2)2−4]+1h = -5\big[(t - 2)^2 - 4\big] + 1
  3. คูณเข้าไป h=−5(t−2)2+20+1=−5(t−2)2+21h = -5(t - 2)^2 + 20 + 1 = -5(t - 2)^2 + 21
  4. จุดยอดคือ (2,21)(2, 21) ลูกบอลขึ้นไปสูงสุด 21 เมตร เมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาที ตรงกับตารางในหน้า 25.1

ล้อมรั้วให้ได้พื้นที่มากที่สุด

มีรั้วยาว 40 เมตร จะล้อมแปลงผักรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าติดกำแพงบ้าน ด้านที่ติดกำแพงไม่ต้องใช้รั้ว ถ้าให้ด้านกว้างที่ตั้งฉากกับกำแพงยาว xx เมตร รั้วสองด้านนี้ใช้ไป 2x2x เมตร เหลือเป็นด้านยาว 40−2x40 - 2x เมตร

ก่อนคำนวณ ลองลากจุดบนกราฟของพื้นที่ข้างล่าง หาด้วยตาก่อนว่ากว้างเท่าไรได้พื้นที่มากที่สุด

แกนนอนคือความกว้าง xx เมตร แกนตั้งคือพื้นที่เป็นตารางเมตร

ตัวอย่าง 2

ด้านกว้างต้องยาวเท่าไรจึงได้พื้นที่มากที่สุด และพื้นที่มากที่สุดเป็นเท่าไร

  1. พื้นที่ A=x(40−2x)=−2x2+40xA = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x ตารางเมตร โดย 0<x<200 < x < 20 เพราะด้านยาวต้องมากกว่าศูนย์
  2. ดึง −2-2 ออก A=−2(x2−20x)=−2[(x−10)2−100]A = -2(x^2 - 20x) = -2\big[(x - 10)^2 - 100\big]
  3. ได้ A=−2(x−10)2+200A = -2(x - 10)^2 + 200 มี a=−2<0a = -2 < 0 จึงมีค่าสูงสุด 200 เมื่อ x=10x = 10
  4. ด้านกว้าง 10 เมตร ด้านยาว 40−20=2040 - 20 = 20 เมตร ได้พื้นที่มากที่สุด 200 ตารางเมตร และ x=10x = 10 อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้

ตั้งราคาให้ได้รายรับมากที่สุด

ตัวอย่าง 3

ร้านชานมขายแก้วละ 40 บาท ขายได้วันละ 100 แก้ว เจ้าของร้านสังเกตว่าขึ้นราคาทุก 1 บาท จะขายได้น้อยลงวันละ 2 แก้ว ควรตั้งราคาแก้วละเท่าไรจึงได้รายรับมากที่สุด

  1. ให้ขึ้นราคา xx บาท ราคาแก้วละ 40+x40 + x บาท ขายได้ 100−2x100 - 2x แก้ว
  2. รายรับ R=(40+x)(100−2x)=4000+20x−2x2R = (40 + x)(100 - 2x) = 4000 + 20x - 2x^2 บาท
  3. จัดรูป R=−2(x2−10x)+4000=−2[(x−5)2−25]+4000=−2(x−5)2+4050R = -2(x^2 - 10x) + 4000 = -2\big[(x - 5)^2 - 25\big] + 4000 = -2(x - 5)^2 + 4050
  4. รายรับมากที่สุด 4050 บาทเมื่อ x=5x = 5 คำถามถามราคา จึงตอบว่าตั้งราคาแก้วละ 40+5=4540 + 5 = 45 บาท

ขั้นสุดท้ายของตัวอย่างนี้คือจุดที่พลาดกันบ่อย หาจุดยอดได้ x=5x = 5 แล้วตอบว่า 5 บาท ทั้งที่ xx คือราคาที่ขึ้น ไม่ใช่ราคาขาย ก่อนตอบให้กลับไปอ่านว่าตั้งตัวแปรไว้ว่าอะไร

ลองคิดก่อน

จำนวนสองจำนวนบวกกันได้ 20 ผลคูณของสองจำนวนนี้มากที่สุดเท่าไร

ดูคำตอบ

ให้จำนวนหนึ่งเป็น xx อีกจำนวนเป็น 20−x20 - x ผลคูณ P=x(20−x)=−(x−10)2+100P = x(20 - x) = -(x - 10)^2 + 100 มากที่สุด 100 เมื่อทั้งสองจำนวนเป็น 10

สรุป

  • ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันกำลังสองคือค่า kk ของจุดยอด
  • a>0a > 0 มีแต่ค่าต่ำสุด a<0a < 0 มีแต่ค่าสูงสุด
  • โจทย์ปัญหา ตั้งตัวแปร เขียนฟังก์ชัน หาจุดยอด แล้วตอบให้ตรงคำถามพร้อมหน่วย