15.1 เอกนาม

ร้านเครื่องเขียนหน้าโรงเรียนขายสมุดเล่มละ $x$ บาท ซื้อ $3$ เล่ม จ่าย $3x$ บาท พื้นห้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $y$ เมตร มีพื้นที่ $y^2$ ตารางเมตร กล่องที่กว้าง $a$ ยาว $2a$ สูง $b$ มีปริมาตร $2a^2b$

นิพจน์ $3x$ $y^2$ และ $2a^2b$ มีหน้าตาแบบเดียวกัน คือเป็นตัวเลขคูณกับตัวแปร ไม่มีการบวก ไม่มีการลบ และไม่มีตัวแปรอยู่ในตัวส่วน นิพจน์แบบนี้เป็นก้อนพื้นฐานของทั้งบท

เอกนามคืออะไร

นิยาม

เอกนาม (monomial) คือนิพจน์ที่เขียนได้ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

ค่าคงตัวในเอกนามเรียกว่าสัมประสิทธิ์ (coefficient) ของเอกนามนั้น

ค่าคงตัวอย่างเดียว เช่น $7$ ก็เป็นเอกนาม เพราะเขียนเป็น $7x^0$ ได้ และ $x^0 = 1$ ส่วน $x$ เฉยๆ มีสัมประสิทธิ์เป็น $1$ และ $-y$ มีสัมประสิทธิ์เป็น $-1$

ตัวอย่าง 1

นิพจน์ใดต่อไปนี้เป็นเอกนาม ถ้าเป็น ให้บอกสัมประสิทธิ์

(1) $-4x^2y$ (2) $\tfrac{2}{3}a^3$ (3) $12$ (4) $\tfrac{5}{x}$ (5) $x + 2$ (6) $\sqrt{x}$

$-4x^2y$ เป็น สัมประสิทธิ์คือ $-4$ ต้องเก็บเครื่องหมายลบไว้ด้วย
$\tfrac{2}{3}a^3$ เป็น สัมประสิทธิ์คือ $\tfrac{2}{3}$ สัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วนได้
$12$ เป็น เพราะ $12 = 12x^0$ สัมประสิทธิ์คือ $12$
$\tfrac{5}{x}$ ไม่เป็น เพราะ $\tfrac{5}{x} = 5x^{-1}$ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ
$x + 2$ ไม่เป็น เพราะเป็นผลบวก ไม่ใช่การคูณ
$\sqrt{x}$ ไม่เป็น เพราะ $\sqrt{x} = x^{1/2}$ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนเต็ม

ลองคิดก่อน

$\tfrac{x}{3}$ กับ $\tfrac{3}{x}$ เป็นเอกนามทั้งคู่ไหม ดูแล้วเป็นเศษส่วนที่มี $x$ เหมือนกัน

ดูคำตอบ

ไม่ทั้งคู่ $\tfrac{x}{3} = \tfrac{1}{3}x$ เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ $\tfrac{1}{3}$ เพราะตัวแปรอยู่ที่ตัวเศษ เลขชี้กำลังของ $x$ คือ $1$ แต่ $\tfrac{3}{x} = 3x^{-1}$ ตัวแปรอยู่ที่ตัวส่วน เลขชี้กำลังติดลบ จึงไม่เป็นเอกนาม ตัวที่ต้องดูคือตัวแปร ไม่ใช่ตัวเลข

ดีกรีของเอกนาม

นิยาม

ดีกรีของเอกนาม คือผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามนั้น

ค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์มีดีกรีเป็น $0$ ส่วนเอกนาม $0$ ไม่บอกดีกรี

ดีกรีบอกว่าเอกนามนั้นเป็นตัวแปรคูณกันกี่ตัว เช่น $x^2y^3 = x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$ มีตัวแปรคูณกันห้าตัว จึงมีดีกรี $5$

ตัวอย่าง 2

หาดีกรีของเอกนาม $5x^3$ $-2x^2y^4$ $xy$ และ $-9$

$5x^3$ มีตัวแปรตัวเดียวคือ $x$ เลขชี้กำลัง $3$ ดีกรีคือ $3$
$-2x^2y^4$ เลขชี้กำลังของ $x$ คือ $2$ ของ $y$ คือ $4$ ดีกรีคือ $2 + 4 = 6$ สัมประสิทธิ์ $-2$ ไม่เกี่ยวกับดีกรี
$xy$ คือ $x^1y^1$ ดีกรีคือ $1 + 1 = 2$
$-9$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ ดีกรีคือ $0$

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า $2^3x^2$ มีดีกรี $5$ เพราะ $3 + 2 = 5$ เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $2^3$ เป็นตัวเลข ไม่ใช่ตัวแปร $2^3x^2 = 8x^2$ สัมประสิทธิ์คือ $8$ ดีกรีนับเฉพาะเลขชี้กำลังของตัวแปร จึงได้ดีกรี $2$

เอกนามคล้าย

นิยาม

เอกนามสองเอกนามคล้ายกัน เมื่อมีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเท่ากัน

สัมประสิทธิ์จะต่างกันก็ได้ ดูแค่ส่วนที่เป็นตัวแปร

$3x^2y$ กับ $-5x^2y$ คล้ายกัน ตัวแปรเป็น $x^2y$ เหมือนกัน
$4ab$ กับ $-ba$ คล้ายกัน เพราะ $ba = ab$ การคูณสลับที่ได้
$3x^2y$ กับ $3xy^2$ ไม่คล้ายกัน ตัวแปรชุดเดียวกันก็จริง แต่เลขชี้กำลังของ $x$ ต่างกัน
$6x$ กับ $6x^2$ ไม่คล้ายกัน ถึงสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

บวกและลบเอกนามที่คล้ายกัน

ซื้อสมุดเล่มละ $x$ บาท วันจันทร์ $3$ เล่ม วันอังคารอีก $5$ เล่ม รวมเป็นสมุด $8$ เล่ม จ่ายไป $8x$ บาท เขียนเป็นนิพจน์ได้ว่า $3x + 5x = (3 + 5)x = 8x$ ซึ่งก็คือสมบัติการแจกแจงนั่นเอง

สมบัติ

เอกนามที่คล้ายกันบวกหรือลบกันได้ โดยนำสัมประสิทธิ์มาบวกหรือลบกัน ส่วนที่เป็นตัวแปรคงเดิม

mx^ny^k + px^ny^k = (m + p)x^ny^k

เอกนามที่ไม่คล้ายกันรวมเป็นเอกนามเดียวไม่ได้

ตัวอย่าง 3

หาผลลัพธ์

(1) $7x^2 + 4x^2$ (2) $3ab - 8ab$ (3) $6xy^2 - (-2xy^2)$ (4) $5x^2 + 3x$

คล้ายกัน $7x^2 + 4x^2 = (7 + 4)x^2 = 11x^2$
คล้ายกัน $3ab - 8ab = (3 - 8)ab = -5ab$
คล้ายกัน $6xy^2 - (-2xy^2) = (6 + 2)xy^2 = 8xy^2$ ลบด้วยจำนวนลบคือบวกด้วยจำนวนบวก
$5x^2$ กับ $3x$ ไม่คล้ายกัน รวมกันไม่ได้ คำตอบคือ $5x^2 + 3x$ ตามเดิม

ลองคิดก่อน

เพื่อนคิดว่า $2x^3 + 3x^3 = 5x^6$ เพราะบวกตัวเลขข้างหน้าแล้วก็บวกเลขชี้กำลังด้วย เพื่อนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

ตอนบวก ส่วนที่เป็นตัวแปรต้องคงเดิม ที่ถูกคือ $2x^3 + 3x^3 = 5x^3$ เพราะเป็น $x^3$ สองก้อนรวมกับสามก้อน ได้ห้าก้อน ลองแทน $x = 2$ ตรวจ $2(8) + 3(8) = 40$ ตรงกับ $5(8) = 40$ แต่ $5x^6 = 5(64) = 320$ ไม่ตรง การบวกเลขชี้กำลังเป็นเรื่องของการคูณ ซึ่งจะเจอในหน้า 15.3

สรุป

เอกนามคือค่าคงตัวคูณกับตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก ค่าคงตัวนั้นคือสัมประสิทธิ์
ตัวแปรในตัวส่วน รากที่สองของตัวแปร หรือการบวกลบ ทำให้ไม่เป็นเอกนาม
ดีกรีของเอกนามคือผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปร ไม่นับตัวเลข
เอกนามคล้ายกันเมื่อส่วนที่เป็นตัวแปรเหมือนกันทุกตัว
บวกลบเอกนามที่คล้ายกัน ให้บวกลบแค่สัมประสิทธิ์ ตัวแปรคงเดิม