descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 49 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.6 บทที่ 3 และเพิ่มเติม ม.6 เล่ม 2 บทที่ 3พื้นฐานเพิ่มเติม

49.3 การวัดการกระจาย

คะแนนสองห้องอาจเฉลี่ยเท่ากันแต่ห้องหนึ่งเกาะกลุ่ม อีกห้องต่างกันมาก การวัดการกระจายบอกความต่างที่ค่าเฉลี่ยมองไม่เห็น

ลองดูคะแนนสอบย่อยเต็ม 1515 คะแนนของนักเรียนห้าคนจากสองห้อง ห้อง ก ได้ 6,7,8,9,106,7,8,9,10 ห้อง ข ได้ 2,5,8,11,142,5,8,11,14 ทั้งสองห้องมีค่าเฉลี่ย 88 และมัธยฐาน 88 เท่ากัน ถ้ารายงานแค่ค่ากลาง ครูจะคิดว่าสองห้องเหมือนกัน แต่ห้อง ก ทุกคนได้ใกล้ๆ กัน ส่วนห้อง ข มีทั้งคนที่ได้เกือบเต็มและคนที่ได้น้อยมาก ครูห้อง ข ควรสอนเสริมต่างจากครูห้อง ก หน้านี้หาตัวเลขที่บอกความต่างนี้

ระยะห่างจากค่ากลาง

พิสัยเท่ากับค่าสูงสุดลบต่ำสุด ส่วนพิสัยระหว่างควอร์ไทล์คือ Q3−Q1Q_3-Q_1 ความแปรปรวนใช้ค่าเฉลี่ยของกำลังสองระยะจากค่าเฉลี่ย ป้องกันเครื่องหมายบวกกับลบหักล้างกัน

พิสัยของห้อง ก คือ 10−6=410-6=4 ห้อง ข คือ 14−2=1214-2=12 บอกได้ทันทีว่าห้อง ข กระจายกว่า แต่พิสัยใช้แค่สองค่าที่ปลาย ถ้าห้อง ก มีคนเดียวที่ขาดสอบแล้วได้ 00 พิสัยจะกระโดดเป็น 1010 ทั้งที่อีกสี่คนยังเกาะกลุ่มเหมือนเดิม เราจึงต้องการตัววัดที่ใช้ข้อมูลทุกตัว

ทำไมต้องยกกำลังสอง

ความคิดแรกคือวัดว่าข้อมูลแต่ละตัวห่างจากค่าเฉลี่ยเท่าไร แล้วเฉลี่ยระยะเหล่านั้น ห้อง ข มีระยะ xi−xˉx_i-\bar x เป็น −6,−3,0,3,6-6,-3,0,3,6 แต่รวมกันได้ 00 ตามสมบัติในหน้า 49.2 ทุกชุดข้อมูลจะได้ศูนย์แบบนี้เสมอ เพราะค่าบวกกับค่าลบหักล้างกัน ต้องกำจัดเครื่องหมายลบก่อน ทำได้สองทาง

  • ใช้ค่าสัมบูรณ์ ได้ 6,3,0,3,66,3,0,3,6 เฉลี่ยได้ 3.63.6 เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ความหมายตรงไปตรงมา แต่ค่าสัมบูรณ์จัดรูปทางพีชคณิตยาก ต้องแยกกรณีบวกลบทุกครั้ง
  • ยกกำลังสอง ได้ 36,9,0,9,3636,9,0,9,36 เฉลี่ยได้ 1818 เรียกว่าความแปรปรวน

สถิติเลือกทางที่สองด้วยเหตุผลสามข้อ ข้อแรก กำลังสองกระจายวงเล็บได้ จึงมีสูตรลัดและคำนวณจากตารางความถี่ได้สะดวก ข้อสอง ถ้าลองหาค่า cc ที่ทำให้ ∑(xi−c)2\sum(x_i-c)^2 น้อยที่สุด จะได้ว่าผลรวมนี้เป็นฟังก์ชันกำลังสองของ cc ที่มีจุดยอดที่ c=xˉc=\bar x พอดี ตามวิธีหาจุดยอดในบทที่ 25 ความแปรปรวนจึงคู่กับค่าเฉลี่ยอย่างเป็นธรรมชาติ ข้อสาม กำลังสองให้น้ำหนักกับระยะไกลมากกว่าระยะใกล้ ระยะ 66 มีผลเป็น 3636 ส่วนระยะ 33 มีผลแค่ 99 ค่าที่หลุดจากกลุ่มมากจึงถูกนับว่าทำให้ข้อมูลกระจายมาก

ราคาที่ต้องจ่ายคือหน่วยเปลี่ยน คะแนนยกกำลังสองไม่มีความหมายในชีวิตจริง จึงถอดรากที่สองกลับ ได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มีหน่วยเดียวกับข้อมูล

ตัวอย่าง 1

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนห้อง ก และห้อง ข โดยมองห้าคนนี้เป็นกลุ่มที่สนใจทั้งหมด แล้วเทียบกัน

  1. ทั้งสองห้องมีค่าเฉลี่ย 88 เริ่มจากหาระยะจากค่าเฉลี่ย ห้อง ก ได้ −2,−1,0,1,2-2,-1,0,1,2
  2. ยกกำลังสองให้เครื่องหมายหายไป ได้ 4,1,0,1,44,1,0,1,4 รวม 1010 หารห้าได้ความแปรปรวน 22
  3. ถอดรากกลับเป็นหน่วยคะแนน ได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2≈1.41\sqrt 2\approx 1.41 คะแนน
  4. ห้อง ข ได้กำลังสองรวม 36+9+0+9+36=9036+9+0+9+36=90 หารห้าได้ 1818 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 18≈4.24\sqrt{18}\approx 4.24 คะแนน
  5. ห้อง ข กระจายมากกว่าห้อง ก สามเท่าพอดี สังเกตว่าระยะจากค่าเฉลี่ยของห้อง ข เป็นสามเท่าของห้อง ก ทุกตัว ผลนี้ตรงกับสมบัติการคูณข้อมูลด้วยค่าคงที่ข้างล่าง

ประชากรกับตัวอย่างหารต่างกัน

สมบัติ

ประชากรใช้ σ2=∑(xi−μ)2/N\sigma^2=\sum(x_i-\mu)^2/N ส่วนตัวอย่างใช้ s2=∑(xi−xˉ)2/(n−1)s^2=\sum(x_i-\bar x)^2/(n-1) เมื่อ n>1n>1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากบวกของความแปรปรวน

ทำไมตัวอย่างหาร n−1n-1 ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง xˉ\bar x คำนวณจากข้อมูลชุดนั้นเอง จึงอยู่ใกล้ข้อมูลชุดนั้นมากที่สุดตามเหตุผลข้อสองข้างบน ใกล้กว่าค่าเฉลี่ยจริงของประชากรที่เราไม่รู้ ผลรวมกำลังสองจึงมักเล็กกว่าที่ควร การหารด้วยจำนวนที่น้อยลงหนึ่งช่วยชดเชยส่วนนี้ ถ้าโจทย์ให้ข้อมูลของทุกหน่วยที่สนใจ ให้ใช้ NN ถ้าเป็นข้อมูลที่สุ่มมาเพื่ออ้างถึงกลุ่มใหญ่ ให้ใช้ n−1n-1

ความแปรปรวนมีหน่วยยกกำลังสอง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหน่วยเดิม การบวกค่าคงที่ทุกข้อมูลไม่เปลี่ยนการกระจาย การคูณทุกค่าด้วย kk ทำให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคูณ ∣k∣|k| และความแปรปรวนคูณ k2k^2

ตัวอย่าง 2

ข้อมูลประชากร 2,4,62,4,6 มีความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่าไร

  1. ค่าเฉลี่ย 44 ผลรวมกำลังสองระยะคือ 4+0+4=84+0+4=8
  2. หาร N=3N=3 ได้ σ2=8/3\sigma^2=8/3 และ σ=8/3\sigma=\sqrt{8/3}

ตัวอย่าง 3

ถ้าข้อมูลเดียวกันเป็นตัวอย่าง ความแปรปรวนตัวอย่างเท่าไร

  1. ผลรวมกำลังสองยังเป็น 88
  2. แต่หาร n−1=2n-1=2 ได้ s2=4s^2=4 และ s=2s=2

ลองคิดก่อน

นำข้อมูลทุกค่าบวกสิบแล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต้องเพิ่มสิบด้วยหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่เพิ่ม เพราะค่าเฉลี่ยเพิ่มสิบเช่นกัน ระยะจากค่าเฉลี่ยทุกตัวคงเดิม จึงมีการกระจายเท่าเดิม

เปลี่ยนหน่วยแล้วการกระจายเปลี่ยนอย่างไร

ถ้าเปลี่ยนหน่วยจากเมตรเป็นเซนติเมตร ข้อมูลทุกตัวคูณร้อย ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงคูณร้อย แต่ความแปรปรวนคูณหมื่น ความต่างเกิดจากกำลังสองในสูตร การเปรียบเทียบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานดิบข้ามหน่วยจึงไม่มีความหมายจนกว่าจะทำหน่วยให้ตรง

ตัวอย่าง 4

ข้อมูลประชากรมีค่าเฉลี่ย 22 เมตร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.30.3 เมตร เปลี่ยนเป็นเซนติเมตรได้ค่าใด

  1. ค่าเฉลี่ยเป็น 200200 เซนติเมตร และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 3030 เซนติเมตร
  2. ความแปรปรวนเดิม 0.090.09 เมตรยกกำลังสอง กลายเป็น 900900 เซนติเมตรยกกำลังสอง
  3. ถ้าเพิ่มความยาวทุกชิ้นอีกหนึ่งเมตร ค่าเฉลี่ยเพิ่มแต่การกระจายคงเดิม

ตรวจวิธีคิด

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ติดลบ แม้คูณข้อมูลด้วยค่าคงที่ลบก็ต้องคูณขนาดของตัวคูณ ไม่ให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานติดลบตามทิศของการแปลง

ลองคิดก่อน

ห้อง ข มีความแปรปรวน 1818 เพื่อนจึงสรุปว่า นักเรียนห้อง ข ได้คะแนนห่างจากค่าเฉลี่ยราว 1818 คะแนน ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก 1818 มีหน่วยเป็นคะแนนยกกำลังสอง เอามาเทียบกับคะแนนตรงๆ ไม่ได้ และในห้อง ข ไม่มีใครห่างจากค่าเฉลี่ยเกิน 66 คะแนนด้วยซ้ำ เพราะคะแนนเต็มแค่ 1515 ต้องถอดรากก่อนได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานราว 4.244.24 คะแนน ค่านี้จึงอ่านเป็นระยะทั่วไปจากค่าเฉลี่ยได้ ความแปรปรวนเหมาะกับการคำนวณ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเหมาะกับการแปลผล

ตัวอย่างในหน้านี้ข้อมูลน้อยและค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเต็ม แต่ข้อมูลจริงอย่างเวลาเดินทางของนักเรียน 4040 คนในหน้า 49.1 มีแค่ตารางแจกแจงความถี่และค่าเฉลี่ยเป็นทศนิยม หน้า 49.4 จะหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากตารางแบบนั้น แล้วเทียบการกระจายของข้อมูลที่ต่างหน่วยกัน

สรุป

  • พิสัยใช้แค่สองค่าที่ปลาย ความแปรปรวนใช้ข้อมูลทุกตัว
  • ยกกำลังสองเพราะระยะจากค่าเฉลี่ยรวมกันเป็นศูนย์ กำลังสองคำนวณสะดวกและคู่กับค่าเฉลี่ย แล้วถอดรากให้หน่วยกลับมาเหมือนเดิม
  • เลือกตัวหารตามประชากรหรือตัวอย่าง
  • ความแปรปรวนกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหน่วยต่างกัน
  • บวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย คูณด้วย kk ทำให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคูณ ∣k∣|k|
  • แปลค่าการกระจายคู่กับค่ากลางและรูปร่าง