descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 10 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 1 บทที่ 1

10.4 การนำไปใช้

โจทย์ในหน้า 10.2 บอกมาเลยว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และด้านไหนยาวเท่าไร โจทย์จริงไม่บอกแบบนั้น มีแต่บันได ผนัง สนาม หรือจอโทรศัพท์ งานส่วนใหญ่จึงอยู่ที่การมองให้เห็นว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากซ่อนอยู่ตรงไหน คำนวณเป็นขั้นสุดท้าย

ขั้นตอนทำโจทย์

  1. วาดรูปคร่าวๆ ใส่ความยาวที่รู้ และใส่ตัวแปรแทนความยาวที่ถาม
  2. หามุมฉาก มักมาจากผนังตั้งฉากกับพื้น มุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือทิศที่ตั้งฉากกัน
  3. บอกว่าด้านไหนเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้วเลือกบวกหรือลบ
  4. คำนวณ ตอบพร้อมหน่วย และตรวจว่าด้านตรงข้ามมุมฉากยาวที่สุด

บันไดพาดผนัง

6.5 ม.2.5 ม.h
ผนัง พื้น และบันได เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอย่าง 1

ช่างทาสีพาดบันไดยาว 6.56.5 เมตรกับผนังตึก เท้าบันไดห่างจากผนัง 2.52.5 เมตร ยอดบันไดแตะผนังที่ความสูงกี่เมตร

  1. ผนังตั้งฉากกับพื้น บันไดอยู่ตรงข้ามมุมฉาก จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว 6.56.5 เมตร
  2. ความสูง hh ที่ถามเป็นด้านประกอบมุมฉาก จึงต้องลบ h2=6.52−2.52=42.25−6.25=36h^2 = 6.5^2 - 2.5^2 = 42.25 - 6.25 = 36
  3. 62=366^2 = 36 ยอดบันไดแตะผนังที่ความสูง 66 เมตร
  4. ตรวจ 6.56.5 ยาวกว่า 66 และ 2.52.5 ถูกต้อง

ลองคิดก่อน

บันไดยาว 55 เมตร พาดผนังแล้วยอดบันไดสูง 44 เมตร เพื่อนคิดว่าเท้าบันไดห่างผนัง 41\sqrt{41} เมตร เพราะ 52+42=415^2 + 4^2 = 41 เพื่อนคิดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก 41\sqrt{41} มากกว่า 66 ยาวกว่าตัวบันไดเอง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ บันไดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ระยะที่หาเป็นด้านประกอบมุมฉาก ต้องลบ 52−42=95^2 - 4^2 = 9 ได้ 33 เมตร

เดินตัดสนาม

ตัวอย่าง 2

สนามหญ้าหน้าโรงเรียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 3030 เมตร ยาว 4040 เมตร นักเรียนเดินจากมุมหนึ่งไปมุมตรงข้าม ถ้าเดินตัดสนามตามแนวเส้นทแยงมุม จะเดินน้อยกว่าเดินตามขอบสนามกี่เมตร

  1. มุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นมุมฉาก เส้นทแยงมุมแบ่งสนามเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉาก 3030 และ 4040 เมตร
  2. เส้นทแยงมุมเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก 30,4030, 40 คือ 3,43, 4 คูณ 1010 จึงยาว 5050 เมตร ตรวจ 900+1,600=2,500=502900 + 1{,}600 = 2{,}500 = 50^2
  3. เดินตามขอบ 30+40=7030 + 40 = 70 เมตร
  4. เดินตัดสนามน้อยกว่า 70−50=2070 - 50 = 20 เมตร

คำถามนี้ไม่ได้ถามความยาวเส้นทแยงมุม ถ้าตอบ 50 เมตรก็ยังไม่ตรงคำถาม หาด้านได้แล้วให้กลับไปอ่านว่าโจทย์ถามอะไร

ขนาดจอ

โฆษณาโทรศัพท์ที่บอกว่าจอ 6.7 นิ้ว หมายถึงความยาวเส้นทแยงมุมของจอ ไม่ใช่ความกว้างหรือความสูง

ตัวอย่าง 3

จอโทรศัพท์เครื่องหนึ่งกว้าง 6.56.5 เซนติเมตร สูง 15.615.6 เซนติเมตร เส้นทแยงมุมยาวกี่เซนติเมตร และประมาณกี่นิ้ว เมื่อ 11 นิ้วยาว 2.542.54 เซนติเมตร

  1. มุมของจอเป็นมุมฉาก เส้นทแยงมุมเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
  2. c2=6.52+15.62=42.25+243.36=285.61c^2 = 6.5^2 + 15.6^2 = 42.25 + 243.36 = 285.61
  3. ใช้เครื่องคิดเลขหารากที่สองของ 285.61285.61 ได้ 16.916.9 พอดี ตรวจ 16.92=285.6116.9^2 = 285.61 เส้นทแยงมุมยาว 16.916.9 เซนติเมตร
  4. แปลงเป็นนิ้ว 16.9÷2.54≈6.6516.9 \div 2.54 \approx 6.65 นิ้ว ปัดเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่งได้ประมาณ 6.76.7 นิ้ว ตรงกับที่โฆษณา

ตัวเลขชุดนี้ลงตัวเพราะ 6.5,15.6,16.96.5, 15.6, 16.9 คือชุด 5,12,135, 12, 13 คูณ 1.31.3 โจทย์ส่วนใหญ่ไม่ลงตัวแบบนี้ ให้หาค่าประมาณแบบตัวอย่างที่ 5 ของหน้า 10.2

ระยะระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัด

ABD68yx
ลากเส้นแนวนอนจาก A และเส้นแนวตั้งจาก B มาพบกันที่ D

ตัวอย่าง 4

จงหาระยะระหว่างจุด A(−2,1)A(-2, 1) กับจุด B(4,9)B(4, 9)

  1. ลากเส้นแนวนอนผ่าน AA กับเส้นแนวตั้งผ่าน BB มาพบกันที่ D(4,1)D(4, 1) เส้นแนวนอนตั้งฉากกับเส้นแนวตั้ง มุม DD จึงเป็นมุมฉาก
  2. ADAD ยาวเท่ากับผลต่างของพิกัด xx คือ 4−(−2)=64 - (-2) = 6 หน่วย
  3. DBDB ยาวเท่ากับผลต่างของพิกัด yy คือ 9−1=89 - 1 = 8 หน่วย
  4. ABAB เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก AB2=62+82=36+64=100AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 จึงได้ AB=10AB = 10 หน่วย

ระวังขั้นที่ 2 ผลต่างระหว่าง 44 กับ −2-2 คือ 66 ไม่ใช่ 22 นับช่องบนรูปดูก็ได้ ระยะเป็นความยาว จึงเป็นบวกเสมอ

รูปที่ต้องแบ่งก่อน

บางรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเอง แต่แบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้

ตัวอย่าง 5

ซุ้มประตูงานกีฬาสีทำเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ฐานกว้าง 1010 เมตร ด้านเอียงทั้งสองข้างยาวข้างละ 1313 เมตร ยอดซุ้มสูงจากพื้นกี่เมตร

  1. ลากเส้นจากยอดตั้งฉากลงมาที่ฐาน รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วถูกแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เหมือนกัน และเส้นนี้แบ่งฐานเป็นสองส่วนเท่ากัน ส่วนละ 55 เมตร
  2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูป ด้านเอียง 1313 เมตรเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ฐาน 55 เมตรกับความสูง hh เป็นด้านประกอบมุมฉาก
  3. h2=132−52=169−25=144h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 ได้ h=12h = 12 เมตร

จุดที่พลาดบ่อยคือใช้ฐานทั้งหมด 1010 เมตรแทนครึ่งหนึ่ง จะได้ 132−102=6913^2 - 10^2 = 69 ซึ่งไม่ใช่ความสูง เพราะด้าน 1010 เมตรไม่ได้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปเดียวกับความสูง

สรุป

  • วาดรูปก่อนเสมอ หามุมฉากจากผนังกับพื้น มุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือเส้นแนวนอนกับแนวตั้ง
  • บอกให้ได้ว่าด้านที่หาเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากหรือไม่ แล้วเลือกบวกหรือลบ
  • ระยะระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัด ใช้ผลต่างของพิกัด xx และผลต่างของพิกัด yy เป็นด้านประกอบมุมฉาก
  • รูปที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองลากเส้นตั้งฉากแบ่งให้ได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน
  • ตอบให้ตรงคำถามพร้อมหน่วย