19.3 บทกลับ

ก่อนกีฬาสี ครูประกาศว่า "ถ้าเป็นนักเรียนห้อง ม.2/3 แล้วอยู่สีแดง" ข้อความนี้จริง เพราะทั้งห้องจับฉลากได้สีแดง

วันซ้อมเชียร์ ปาล์มเห็นเพื่อนคนหนึ่งใส่เสื้อสีแดง เลยทักว่า "อยู่ห้อง ม.2/3 ใช่ไหม" ปรากฏว่าเพื่อนอยู่ ม.2/5 ซึ่งก็ได้สีแดงเหมือนกัน ปาล์มเอาข้อความของครูมากลับข้าง เป็น "ถ้าอยู่สีแดง แล้วเป็นนักเรียนห้อง ม.2/3" ซึ่งไม่จริง ข้อความเดิมจริง ไม่ได้แปลว่าข้อความที่กลับข้างจะจริงด้วย

บทกลับคืออะไร

บทกลับอาจไม่จริง

จะบอกว่าข้อความหนึ่งไม่จริง ไม่ต้องพิสูจน์ยาว แค่หากรณีเดียวที่สิ่งที่กำหนดให้เป็นจริง แต่ข้อสรุปไม่จริง กรณีนั้นเรียกว่าตัวอย่างค้าน เพื่อน ม.2/5 ที่อยู่สีแดงคือตัวอย่างค้านของข้อความที่ปาล์มพูด

บทกลับที่จริง

บทกลับบางข้อก็จริง แต่ต้องพิสูจน์แยกต่างหาก จะอ้างว่า "ข้อความเดิมจริง บทกลับจึงจริง" ไม่ได้

ช่างก่อสร้างใช้บทกลับข้อนี้ตรวจว่ามุมห้องเป็นมุมฉากจริง โดยวัดตามผนังสองด้านจากมุมห้อง แล้ววัดระยะทแยงระหว่างจุดปลายทั้งสอง ถ้าตัวเลขเข้ากับทฤษฎีบทพีทาโกรัสพอดี มุมนั้นเป็นมุมฉาก

เมื่อข้อความและบทกลับจริงทั้งคู่ เขียนรวมเป็นข้อความเดียวได้ด้วยคำว่าก็ต่อเมื่อ เช่น เส้นตรงสองเส้นที่มีเส้นตัดขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

แถวสุดท้ายของตาราง ข้อความไม่จริงเพราะรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่มีมุมฉากเป็นตัวอย่างค้าน บทกลับไม่จริงเพราะรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านยาวไม่เท่ากันเป็นตัวอย่างค้าน

สรุป

• บทกลับของ "ถ้า $p$ แล้ว $q$" คือ "ถ้า $q$ แล้ว $p$"
• ข้อความจริง บทกลับอาจจริงหรือไม่จริงก็ได้ ต้องตรวจแยก
• จะแสดงว่าไม่จริง ใช้ตัวอย่างค้านเพียงหนึ่งตัวอย่าง ที่สิ่งที่กำหนดให้จริงแต่ข้อสรุปไม่จริง
• จะแสดงว่าจริง ต้องพิสูจน์ ตัวอย่างที่เข้ากันกี่ตัวก็ไม่พอ
• ข้อความกับบทกลับที่จริงทั้งคู่ เขียนรวมกันด้วยคำว่า ก็ต่อเมื่อ