20.1 การแยกตัวประกอบโดยดึงตัวร่วม

ฝนซื้อสมุดเล่มละ $x$ บาท 3 เล่ม กับปากกาด้ามละ 5 บาท 3 ด้าม จ่ายทั้งหมด $3x + 15$ บาท ส่วนแป้งคิดอีกแบบ ซื้อสมุดหนึ่งเล่มกับปากกาหนึ่งด้ามเป็นหนึ่งชุด ราคา $x + 5$ บาท ฝนซื้อไป 3 ชุด จึงจ่าย $3(x + 5)$ บาท

ทั้งสองคนคิดเงินก้อนเดียวกัน จึงได้ $3x + 15 = 3(x + 5)$ ฝั่งซ้ายเป็นผลบวกของสองพจน์ ฝั่งขวาเป็นผลคูณของ $3$ กับ $x + 5$ การเปลี่ยนจากฝั่งซ้ายไปเป็นฝั่งขวาคือเรื่องของบทนี้ทั้งบท

การแยกตัวประกอบคืออะไร

นิยาม

การแยกตัวประกอบของพหุนามคือการเขียนพหุนามนั้นให้อยู่ในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า พหุนามแต่ละตัวที่คูณกันเรียกว่าตัวประกอบ

เทียบกับจำนวน การแยกตัวประกอบของ $12$ คือเขียน $12 = 2 \times 2 \times 3$ ส่วนการแยกตัวประกอบของ $x^2 + 7x + 10$ คือเขียน $x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$ ซึ่งเป็นการคูณพหุนามในบทที่ 15 แบบย้อนกลับ

การคูณ (บทที่ 15)	การแยกตัวประกอบ (บทนี้)
$3(x + 5) = 3x + 15$	$3x + 15 = 3(x + 5)$
$(x + 2)(x + 5) = x^2 + 7x + 10$	$x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$

ข้อดีอย่างหนึ่งคือตรวจคำตอบได้เสมอ แยกตัวประกอบเสร็จแล้วคูณกลับ ถ้าได้พหุนามตัวเดิมก็ถูก

ดึงตัวร่วมออกมา

เครื่องมือแรกคือสมบัติการแจกแจงที่ใช้มาตั้งแต่ ม.1 เขียนกลับด้าน

สมบัติการแจกแจง

ab + ac = a(b + c) \qquad ab - ac = a(b - c)

ตัว $a$ ที่ทุกพจน์มีเหมือนกันเรียกว่าตัวร่วม การดึงตัวร่วมให้ได้ครบในครั้งเดียว ทำทีละส่วน

สัมประสิทธิ์ ใช้ ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ทุกพจน์
ตัวแปร ตัวแปรที่มีในทุกพจน์ ใช้เลขชี้กำลังที่น้อยที่สุด
หารแต่ละพจน์ด้วยตัวร่วม ผลที่ได้ใส่ไว้ในวงเล็บ

ตัวอย่าง 1

แยกตัวประกอบของ $6x + 9$ และ $x^2 - 5x$

$6x + 9$ ห.ร.ม. ของ $6$ กับ $9$ คือ $3$ ส่วน $x$ ไม่ได้อยู่ในทุกพจน์ ตัวร่วมจึงเป็น $3$
$6x \div 3 = 2x$ และ $9 \div 3 = 3$ ได้ $6x + 9 = 3(2x + 3)$
$x^2 - 5x$ สัมประสิทธิ์ $1$ กับ $-5$ ไม่มีตัวร่วมที่มากกว่า $1$ แต่ทั้งสองพจน์มี $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวร่วมจึงเป็น $x$
$x^2 \div x = x$ และ $-5x \div x = -5$ ได้ $x^2 - 5x = x(x - 5)$

ตัวอย่าง 2

แยกตัวประกอบของ $8x^2 + 12x$

ห.ร.ม. ของ $8$ กับ $12$ คือ $4$
$x^2$ กับ $x$ มี $x$ ร่วมกันหนึ่งตัว เลขชี้กำลังที่น้อยที่สุดคือ $1$
ตัวร่วมคือ $4x$ หารแต่ละพจน์ได้ $8x^2 \div 4x = 2x$ และ $12x \div 4x = 3$
ได้ $8x^2 + 12x = 4x(2x + 3)$ คูณกลับตรวจ $4x \cdot 2x + 4x \cdot 3 = 8x^2 + 12x$ ถูกต้อง

ลองคิดก่อน

ภูมิแยกตัวประกอบของ $8x^2 + 12x$ ได้ $2x(4x + 6)$ ส่วนมายด์ได้ $4(2x^2 + 3x)$ คูณกลับแล้วถูกทั้งคู่ คำตอบของใครใช้ได้

ดูคำตอบ

ยังไม่ครบทั้งคู่ ในวงเล็บของภูมิ $4x + 6$ ยังดึง $2$ ออกได้อีก ในวงเล็บของมายด์ $2x^2 + 3x$ ยังดึง $x$ ออกได้อีก ถ้าทำต่อจะได้ $4x(2x + 3)$ เหมือนกัน การแยกตัวประกอบต้องทำจนในวงเล็บไม่มีตัวร่วมเหลือ วิธีกันพลาดคือใช้ ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดกับเลขชี้กำลังที่น้อยที่สุดตั้งแต่แรก

ตัวอย่าง 3

แยกตัวประกอบของ $x^2 + x$ และ $6x^2y - 9xy^2$

$x^2 + x$ ตัวร่วมคือ $x$ หารได้ $x^2 \div x = x$ และ $x \div x = 1$ จึงได้ $x(x + 1)$
$6x^2y - 9xy^2$ ห.ร.ม. ของ $6$ กับ $9$ คือ $3$ ทั้งสองพจน์มี $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัวและ $y$ อย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวร่วมจึงเป็น $3xy$
$6x^2y \div 3xy = 2x$ และ $-9xy^2 \div 3xy = -3y$ ได้ $3xy(2x - 3y)$

ดึงพจน์ออกหมดแล้วเหลือ 1

พจน์ที่เท่ากับตัวร่วมพอดี เมื่อหารแล้วเหลือ $1$ ไม่ใช่ $0$ คำตอบ $x^2 + x = x(x)$ ผิด เพราะ $x \cdot x = x^2$ พจน์ $x$ หายไปหนึ่งพจน์ จำนวนพจน์ในวงเล็บต้องเท่ากับจำนวนพจน์ของโจทย์เสมอ

ดึงเครื่องหมายลบออก

ถ้าพจน์แรกติดลบ นิยมดึงตัวร่วมที่ติดลบออกมา ให้พจน์แรกในวงเล็บเป็นบวก เช่น $-x^2 + 4x = -x(x - 4)$ ระวังว่าทุกพจน์ในวงเล็บต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย เพราะ $4x \div (-x) = -4$

ตัวร่วมที่เป็นพหุนาม

ตัวร่วมไม่จำเป็นต้องเป็นเอกนาม ใน $x(x - 2) + 3(x - 2)$ ทั้งสองพจน์มี $(x - 2)$ เป็นตัวประกอบ จึงดึง $(x - 2)$ ออกมาทั้งก้อนได้ เหมือนดึง $A$ ออกจาก $xA + 3A$

x(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 3)

จัดกลุ่มก่อนแล้วค่อยดึง

บางพหุนามไม่มีตัวร่วมที่ทุกพจน์มี แต่ถ้าจับคู่พจน์ให้ดี แต่ละคู่จะมีตัวร่วม แล้วได้ตัวร่วมก้อนเดียวกัน วิธีนี้เรียกว่าการจัดกลุ่ม และจะใช้อีกครั้งในหน้า 20.2

ตัวอย่าง 4

แยกตัวประกอบของ $x^2 + 3x + 2x + 6$

ทั้งสี่พจน์ไม่มีตัวร่วม จับคู่สองพจน์แรกกับสองพจน์หลัง $(x^2 + 3x) + (2x + 6)$
คู่แรกดึง $x$ ได้ $x(x + 3)$ คู่หลังดึง $2$ ได้ $2(x + 3)$
ทั้งสองก้อนมี $(x + 3)$ ร่วมกัน ดึงออกได้ $(x + 3)(x + 2)$
ตรวจ $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$ ซึ่งเท่ากับ $x^2 + 3x + 2x + 6$ ถูกต้อง

ตัวอย่าง 5

แยกตัวประกอบของ $2x^2 - 6x + 5x - 15$

คู่แรก $2x^2 - 6x = 2x(x - 3)$
คู่หลัง $5x - 15 = 5(x - 3)$
ได้ $2x(x - 3) + 5(x - 3) = (x - 3)(2x + 5)$

ลองคิดก่อน

ถ้าเปลี่ยนตัวอย่าง 5 เป็น $2x^2 - 6x - 5x + 15$ คู่หลัง $-5x + 15$ ควรดึงอะไรออก

ดูคำตอบ

ดึง $-5$ ออก ได้ $-5x + 15 = -5(x - 3)$ จะได้วงเล็บ $(x - 3)$ ตรงกับคู่แรก แล้วแยกต่อได้ $2x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 3)(2x - 5)$ ถ้าดึง $5$ ออกจะได้ $5(-x + 3)$ ซึ่งวงเล็บไม่ตรงกับคู่แรก ทำต่อไม่ได้ เมื่อจัดกลุ่มแล้ววงเล็บไม่ตรงกัน ให้ลองดึงตัวร่วมที่ติดลบ

สรุป

การแยกตัวประกอบคือการเขียนพหุนามเป็นผลคูณ ตรวจคำตอบได้ด้วยการคูณกลับ
ตัวร่วมที่ครบ ใช้ ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ กับตัวแปรที่ทุกพจน์มีโดยใช้เลขชี้กำลังที่น้อยที่สุด
ดึงตัวร่วมแล้วในวงเล็บต้องไม่มีตัวร่วมเหลือ และจำนวนพจน์ในวงเล็บเท่ากับของเดิม
พหุนามสี่พจน์ที่ไม่มีตัวร่วม ลองจัดกลุ่มทีละสองพจน์ แล้วดึงวงเล็บที่เหมือนกันออก