43.3 การจัดหมู่

คณะทำงานสามคนไม่มีตำแหน่ง การเรียกชื่อสมาชิกคนละลำดับไม่ได้เปลี่ยนคณะเดียวกัน เราจึงต้องหารจำนวนครั้งที่เรียงซ้ำออก

ครูประจำชั้นต้องส่งนักเรียน $3$ คนจาก $8$ คนไปช่วยงานกีฬาสี ถ้านับแบบหน้า 43.2 จะได้ $8\times7\times6=336$ แบบ แต่ทีมที่มีแก้ว กล้า และกิ่ง เป็นทีมเดียวกันไม่ว่าครูจะเรียกชื่อใครก่อน ตัวเลข $336$ จึงนับทีมเดียวกันซ้ำหลายครั้ง คำถามของหน้านี้คือซ้ำกี่ครั้ง และเมื่อมีเงื่อนไขอย่าง ต้องมีคนนี้ ห้ามมีคนนั้น หรือมีอย่างน้อยหนึ่งคน จะนับอย่างไรไม่ให้ขาดและไม่ให้เกิน

ทำไมต้องหารด้วย r!

เริ่มจากกรณีเล็กที่เขียนได้ครบ เลือก $3$ คนจาก $4$ คนคือ A B C D ถ้าสนลำดับจะได้ $P_{4,3}=24$ แบบ จัดแบบทั้ง $24$ แบบเป็นแถวตามว่าใช้คนกลุ่มไหน

ทุกแถวมีการเรียงเท่ากันคือ $6$ แบบ เพราะคนสามคนในกลุ่มเดียวกันสลับลำดับได้ $3!=6$ แบบ กลุ่มหนึ่งกลุ่มจึงถูกนับซ้ำ $3!$ ครั้งพอดี ไม่มากไม่น้อยกว่านี้ จำนวนกลุ่มจึงเป็น $24\div 6=4$ เหตุผลเดียวกันใช้ได้กับทุก $n$ และ $r$ การเรียง $P_{n,r}$ แบบแตกออกได้เป็นกลุ่มละ $r!$ แบบที่ใช้สมาชิกชุดเดียวกัน

อ่าน $\binom{n}{r}$ ว่า การจัดหมู่ $n$ สิ่ง เลือกครั้งละ $r$ สิ่ง บางเล่มเขียน $C_{n,r}$ หมายถึงค่าเดียวกัน ในบทนี้ใช้ $\binom{n}{r}$ ตลอด เวลาคำนวณให้เขียนแบบ $\dfrac{P_{n,r}}{r!}$ คือผลคูณ $r$ ตัวที่ลดทีละหนึ่งหารด้วย $r!$ จะตัดทอนง่ายกว่าคูณแฟกทอเรียลเต็ม

สมบัติ $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ มาจากการเลือกสิ่งที่จะเอากับสิ่งที่จะเหลือซึ่งกำหนดกันได้พอดี เช่นเลือก $8$ คนจาก $10$ คนไปทัศนศึกษา ก็คือเลือก $2$ คนที่ไม่ได้ไป จึงได้ $\binom{10}{8}=\binom{10}{2}=45$ ซึ่งคำนวณง่ายกว่ามาก ถ้าโจทย์ถามอย่างน้อยหนึ่ง การนับทั้งหมดลบกรณีไม่มีเลยมักสั้นกว่าแยกหลายกรณี

อย่าหารซ้ำ

เมื่อใช้สูตรจัดหมู่แล้วไม่ต้องหารแฟกทอเรียลอีก การแบ่งเลือกจากคนละประเภทใช้ผลคูณของการจัดหมู่แต่ละประเภท

เงื่อนไขต้องมีหรือห้ามมีบางคน

เงื่อนไขที่ระบุตัวคนจัดการได้ด้วยการตัดสินเรื่องคนนั้นก่อน ถ้าคนนั้นต้องอยู่ในทีม ก็ใส่เขาเข้าทีมไปเลย แล้วเลือกที่นั่งที่เหลือจากคนที่เหลือ ถ้าคนนั้นห้ามอยู่ ก็ตัดเขาออกจากรายชื่อแล้วเลือกจากคนที่เหลือ ทั้งสองแบบขนาดทีมกับจำนวนคนที่ให้เลือกลดลงพร้อมกัน

อย่างน้อยหนึ่งใช้ส่วนเติมเต็ม

คำว่าอย่างน้อยหนึ่งคนรวมหลายกรณี เช่นมีหนึ่งคน สองคน สามคน การนับทีละกรณีแล้วบวกทำได้แต่ยาว ส่วนตรงข้ามของอย่างน้อยหนึ่งคือไม่มีเลย ซึ่งมีกรณีเดียว จึงนับทั้งหมดแล้วลบกรณีไม่มีเลย

แยกอย่างน้อยกับพอดี

คำว่าพอดีสองคนกับอย่างน้อยสองคนกำหนดเหตุการณ์ต่างกัน อย่างน้อยต้องรวมสอง สาม และมากกว่านั้นจนถึงขนาดกลุ่ม ถ้าเลือกจากประเภทต่างกันให้เลือกจำนวนจากแต่ละประเภทที่รวมกันได้ตามขนาดทีม แล้วบวกกรณีซึ่งไม่มีทางซ้ำกัน

ใช้การจัดหมู่กับการเรียงในข้อเดียวกัน

โจทย์บางข้อมีทั้งส่วนที่ไม่สนลำดับและส่วนที่สนลำดับ ให้แบ่งงานเป็นขั้นตามความหมาย ขั้นที่เป็นการเลือกกลุ่มใช้การจัดหมู่ ขั้นที่เป็นการแจกตำแหน่งใช้การเรียง แล้วคูณกันตามหลักการคูณ

สรุป

• การจัดหมู่ไม่สนลำดับ
• สูตรเกิดจากการหารลำดับที่ซ้ำ กลุ่มละ $r!$ ครั้ง จึงได้ $\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
• $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ เพราะเลือกคนที่เอาก็คือเลือกคนที่เหลือ
• ต้องมีบางคนให้ใส่เข้าไปก่อน ห้ามมีให้ตัดออกจากรายชื่อ
• อย่างน้อยหนึ่งอาจใช้ทั้งหมดลบไม่มีเลย อย่าเลือกคนหนึ่งก่อนแล้วเลือกที่เหลือ เพราะจะนับซ้ำ
• ถ้ามีตำแหน่งปนอยู่ในกลุ่ม ให้แยกขั้นเลือกกลุ่มกับขั้นแจกตำแหน่ง

หน้านี้และหน้าก่อนนับของที่ต่างกันทุกชิ้นและวางเป็นแถวตรง หน้า 43.4 ในสายเพิ่มเติมจะดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อของบางชิ้นเหมือนกัน หรือเมื่อนั่งเป็นวงกลม ซึ่งเหตุผลเรื่องหารการนับซ้ำในหน้านี้จะกลับมาใช้อีก