5.4 รูปสามมิติจากลูกบาศก์

จะบอกเพื่อนทางโทรศัพท์ว่าซ้อนลูกเต๋าไว้ยังไง ส่งรูปถ่ายก็อาจเห็นไม่ครบ เพราะลูกที่อยู่ข้างหลังถูกบัง วิธีที่ไม่ตกหล่นเลยคือวาดภาพด้านบน แล้วเขียนตัวเลขในแต่ละช่องว่าซ้อนกันกี่ลูก หน้านี้จะใช้ภาพแบบนี้นับลูกบาศก์ วาดภาพด้านอื่น และทำย้อนกลับ คือดูภาพสามด้านแล้วหาว่ารูปเป็นแบบไหนได้บ้าง

ภาพด้านบนที่มีตัวเลข

ในภาพด้านบน ตัวเลขในช่องบอกว่าตรงตำแหน่งนั้นมีลูกบาศก์ซ้อนกันกี่ลูก ภาพเดียวนี้บอกรูปได้ครบทุกลูก เพราะลูกบาศก์ทุกลูกต้องวางซ้อนจากพื้นขึ้นไป ไม่มีลูกไหนลอยอยู่กลางอากาศ

• จำนวนลูกบาศก์ทั้งหมด คือผลบวกของตัวเลขทุกช่อง
• ภาพด้านหน้า ความสูงของแต่ละหลัก คือตัวเลขที่มากที่สุดในหลักนั้น
• ภาพด้านข้าง ความสูงของแต่ละแถว คือตัวเลขที่มากที่สุดในแถวนั้น วาดแถวหน้าไว้ทางซ้าย

จากภาพสามด้านกลับไปเป็นรูป

ถ้าได้ภาพด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบนมา แต่ไม่มีตัวเลข ให้เติมตัวเลขลงในภาพด้านบนทีละช่องด้วยเหตุผลสองข้อ

• ช่องที่อยู่ในหลักซึ่งภาพด้านหน้าสูง $p$ และอยู่ในแถวซึ่งภาพด้านข้างสูง $q$ ซ้อนได้ไม่เกินค่าที่น้อยกว่าระหว่าง $p$ กับ $q$ ถ้าสูงกว่านั้น ภาพด้านใดด้านหนึ่งจะสูงเกินที่โจทย์ให้มา
• ทุกหลักและทุกแถวต้องมีอย่างน้อยหนึ่งช่องที่สูงเท่ากับภาพพอดี ไม่อย่างนั้นภาพจะเตี้ยกว่าที่โจทย์ให้มา

มากที่สุดและน้อยที่สุด

ตัวอย่าง 2 เติมได้แบบเดียว แต่ภาพสามด้านหลายชุดเติมได้หลายแบบ จำนวนลูกบาศก์จึงไม่แน่นอน โจทย์แบบนี้จะถามว่ามีได้มากที่สุดหรือน้อยที่สุดกี่ลูก

กราฟข้างล่างเริ่มที่แบบน้อยที่สุดของตัวอย่าง 3 คือ 7 ลูก ลองเพิ่มความสูงของช่องหลังขวาหรือหน้าซ้ายทีละชั้น แล้วดูภาพด้านหน้ากับภาพด้านข้างทางขวาของกราฟ จะเพิ่มได้ถึง 9 ลูกโดยที่ภาพไม่เปลี่ยน แต่ถ้าเพิ่มต่อจนเกิน ภาพจะสูงขึ้นทันที

สรุป

• ภาพด้านบนที่มีตัวเลขบอกรูปได้ครบ จำนวนลูกบาศก์คือผลบวกของตัวเลขทุกช่อง
• ภาพด้านหน้าใช้ตัวเลขที่มากที่สุดของแต่ละหลัก ภาพด้านข้างใช้ตัวเลขที่มากที่สุดของแต่ละแถว
• จากภาพสามด้าน แต่ละช่องสูงได้ไม่เกินค่าที่น้อยกว่าระหว่างความสูงของหลักกับของแถว
• มากที่สุด เติมทุกช่องให้สูงเต็มที่ น้อยที่สุด ให้กองสูงหนึ่งกองทำหน้าที่ทั้งหลักและแถวพร้อมกันเมื่อทำได้ แล้วช่องที่เหลือใส่ช่องละ 1 ลูก