42.6 แบบฝึกหัด

กำลังของ $i$ วนทุกสี่ขั้น $i^1 = i$ แล้ว $i^2 = -1$ แล้ว $i^3 = -i$ แล้ว $i^4 = 1$ จึงหารเลขชี้กำลังด้วยสี่แล้วดูเศษ

$18=4(4)+2$ เขียนได้ $i^{18} = (i^4)^4 \cdot i^2 = 1 \cdot i^2$

จึงได้ $i^{18}=i^2=-1$

จำนวน $a + bi$ มีส่วนจริง $a$ และส่วนจินตภาพ $b$ ซึ่งเป็นจำนวนจริงทั้งคู่

$5 - 7i = 5 + (-7)i$ ส่วนจินตภาพคือสัมประสิทธิ์ของ $i$ จึงเท่ากับ $-7$ ส่วน $-7i$ คือพจน์จินตภาพ ไม่ใช่ส่วนจินตภาพ และ $5$ คือส่วนจริง

$|a + bi|$ คือระยะจากจุดกำเนิดถึงจุด $(a, b)$ ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

ที่นี่ $a = 5$ และ $b = -12$ จึงได้ $|5 - 12i| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$

ตัวส่วน $1 + i$ มีสังยุค $1 - i$ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $1 - i$ ค่าไม่เปลี่ยนเพราะคูณด้วยหนึ่ง

ตัวส่วน $(1 + i)(1 - i) = 1 + 1 = 2$

ตัวเศษ $(2 + 4i)(1 - i) = 2 - 2i + 4i - 4i^2 = 6 + 2i$

จึงได้ $\dfrac{6 + 2i}{2} = 3 + i$ ส่วนจริงจึงเป็น $3$

วิธีที่หนึ่ง แทนค่าตรงๆ $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$ จึงได้ $(1+i)^2 - 2(1+i) + 2 = 2i - 2 - 2i + 2 = 0$ ทำแบบเดียวกันกับ $1 - i$ ได้ $(1 - i)^2 = -2i$ และ $-2i - 2 + 2i + 2 = 0$

วิธีที่สอง คูณตัวประกอบที่เกิดจากรากทั้งสองกลับ $(x-1-i)(x-1+i)=(x-1)^2 - i^2 = (x-1)^2+1=x^2-2x+2$ พหุนามเดิมจึงมีทั้งสองค่าเป็นราก

ระยะตรงระหว่างสองจุดบนระนาบเชิงซ้อนคือขนาดของผลต่าง

ผลต่าง $(8 + 9i) - (2 + i) = 6+8i$

ขนาด $|6 + 8i| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ จึงห่าง $10$ กิโลเมตร

การคูณด้วย $i$ หมุนจุดทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ รอบจุดกำเนิด คำนวณได้โดยกระจาย

$i(3+4i) = 3i + 4i^2 = 3i - 4 = -4+3i$

ส่วนจริงของจุดใหม่เป็น $-4$ ตรวจขนาด $|-4 + 3i| = 5 = |3 + 4i|$ การหมุนไม่เปลี่ยนระยะจากจุดกำเนิดจริง

ย้ายข้างได้ $x^2 = -4$ ไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองแล้วติดลบ แต่ในจำนวนเชิงซ้อน $x = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$

รากคือ $2i = 0 + 2i$ และ $-2i = 0 - 2i$ ส่วนจินตภาพคือสัมประสิทธิ์ของ $i$ จึงเป็น $2$ และ $-2$

ตรวจ $(2i)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$ และ $(-2i)^2 + 4 = 0$

ขนาด $r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพลบทั้งคู่ จุด $(-1, -\sqrt{3})$ จึงอยู่จตุภาคที่สาม

มุมอ้างอิงจาก $\tan\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ ได้ $\alpha = 60^\circ$ มุมในจตุภาคที่สามคือ $\theta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$

ตรวจ $2\cos 240^\circ = 2\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -1$ และ $2\sin 240^\circ = 2\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$ ถูกต้อง

เปลี่ยนเป็นรูปเชิงขั้วก่อน ขนาด $\sqrt{1 + 3} = 2$ จุดอยู่จตุภาคที่หนึ่ง และ $\cos\theta = \tfrac{1}{2}$ จึงได้มุม $60^\circ$ เขียน $1 + \sqrt{3}i = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)$

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์ให้ขนาด $2^9 = 512$ และมุม $9 \times 60^\circ = 540^\circ$ ซึ่งชี้ทางเดียวกับ $540^\circ - 360^\circ = 180^\circ$

ได้ $(1 + \sqrt{3}i)^9 = 512(\cos 180^\circ + i\sin 180^\circ) = 512(-1 + 0i) = -512$ ส่วนจริงจึงเป็น $-512$

ตรวจด้วย $(1 + \sqrt{3}i)^3 = 8(\cos 180^\circ + i\sin 180^\circ) = -8$ แล้ว $(-8)^3 = -512$ ตรงกัน