46.4 ค่าสูงสุดต่ำสุดและการประยุกต์

ร้านทำกล่องได้แผ่นสังกะสีสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $30$ เซนติเมตร จะตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กออกจากมุมทั้งสี่แล้วพับขอบขึ้นเป็นกล่องไม่มีฝา ตัดมุมเล็กไป กล่องก็เตี้ย ตัดมุมใหญ่ไป ก้นกล่องก็เล็ก ต้องตัดยาวเท่าไรกล่องจึงจุได้มากที่สุด คำถามแบบนี้เจอทุกที่ ทั้งการตั้งราคาสินค้าให้ได้รายได้มากที่สุด และการออกแบบกระป๋องให้ใช้วัสดุน้อยที่สุด

หน้า 46.2 เห็นแล้วว่าที่จุดต่ำสุดของพาราโบลา เส้นสัมผัสขนานแกนนอน หน้านี้จะขยายความคิดนั้นเป็นวิธีหาค่าสูงสุดต่ำสุดที่ใช้ได้ทั่วไป และใช้อนุพันธ์หาเส้นสัมผัสกับความเร็วไปพร้อมกัน

สมการเส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสกราฟ $y = f(x)$ ที่ $x = a$ ผ่านจุด $(a, f(a))$ และมีความชัน $f'(a)$ ใช้สมการเส้นตรงแบบจุดกับความชันจากบทที่ 38 ได้

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

ต้องหาสองค่าเสมอ คือพิกัด $y$ ของจุดสัมผัสจาก $f$ และความชันจาก $f'$ ข้อผิดที่เจอบ่อยคือใช้ $f'(a)$ เป็นพิกัด $y$ ด้วย

ตัวอย่าง 1

(1) หาเส้นสัมผัส $y=x^2$ ที่ $x=2$

(2) หาเส้นสัมผัส $y = x^3 - 3x$ ที่ $x = 2$

ข้อ (1) จุดสัมผัสคือ $(2, 2^2) = (2,4)$ อนุพันธ์ $2x$ ให้ความชัน $4$
แทนในสมการ $y-4=4(x-2)$ จึงได้ $y=4x-4$ ตรวจ แทน $x = 2$ ได้ $y = 4$ ตรงกับจุดสัมผัส
ข้อ (2) จุดสัมผัสคือ $(2, 8 - 6) = (2, 2)$ อนุพันธ์ $3x^2 - 3$ ที่ $x = 2$ ได้ $12 - 3 = 9$
$y - 2 = 9(x - 2)$ จึงได้ $y = 9x - 16$ สังเกตว่าความชัน $9$ ต่างจากพิกัด $y$ ซึ่งเป็น $2$ มาก

ความเร็วและความเร่ง

ถ้า $s(t)$ เป็นตำแหน่งของวัตถุ ความเร็วคือ $v(t) = s'(t)$ และความเร่งคือ $a(t) = v'(t) = s''(t)$ เครื่องหมายของความเร็วบอกทิศ บวกคือเคลื่อนไปทางที่ $s$ เพิ่ม ลบคือเคลื่อนกลับ ส่วนวัตถุที่ขึ้นไปถึงจุดสูงสุดจะมีความเร็วเป็นศูนย์ชั่วขณะ เพราะเป็นจังหวะที่เปลี่ยนจากขึ้นเป็นลง

ตัวอย่าง 2

โยนลูกบอลขึ้นตรงๆ จากพื้น ความสูงเป็น $s(t) = 20t - 5t^2$ เมตร เมื่อ $t$ เป็นวินาที หาความสูงมากที่สุด และความเร็วตอนลูกบอลตกถึงพื้น

ความเร็ว $v(t) = 20 - 10t$ และความเร่ง $a(t) = -10$ เมตรต่อวินาทีกำลังสอง คงตัวตลอด เป็นผลของแรงโน้มถ่วง
ลูกบอลสูงสุดเมื่อ $v(t) = 0$ คือ $t = 2$ วินาที ความสูงคือ $s(2) = 40 - 20 = 20$ เมตร
ตกถึงพื้นเมื่อ $s(t) = 0$ คือ $5t(4 - t) = 0$ ได้ $t = 0$ ซึ่งเป็นตอนโยน หรือ $t = 4$ ซึ่งเป็นตอนตก
$v(4) = 20 - 40 = -20$ เมตรต่อวินาที เครื่องหมายลบบอกว่ากำลังเคลื่อนลง อัตราเร็วเท่ากับตอนโยนขึ้นพอดี

ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีดสัมพัทธ์

ถ้า $f'(x)$ มากกว่าศูนย์ทุกจุดบนช่วงหนึ่ง เส้นสัมผัสชี้ขึ้นทุกจุด ฟังก์ชันจึงเพิ่มบนช่วงนั้น ถ้า $f'(x)$ น้อยกว่าศูนย์ ฟังก์ชันลด จุดภายในโดเมนที่ $f'(x) = 0$ หรือ $f'(x)$ ไม่นิยาม เรียกว่าจุดวิกฤต เป็นจุดเดียวที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มเป็นลดหรือกลับกันได้

ถ้าเครื่องหมายของ $f'$ เปลี่ยนจากบวกเป็นลบที่จุดวิกฤต จุดนั้นให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือสูงกว่าทุกจุดที่อยู่ใกล้ๆ ถ้าเปลี่ยนจากลบเป็นบวก ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้าไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย จุดนั้นไม่ใช่ทั้งสองแบบ อีกวิธีที่เร็วกว่าคือดู $f''$ ที่จุดวิกฤต ถ้า $f''$ น้อยกว่าศูนย์ กราฟโค้งคว่ำ จุดนั้นเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้า $f''$ มากกว่าศูนย์ กราฟโค้งหงาย เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ตัวอย่าง 3

หาช่วงที่ $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ เพิ่มและลด แล้วหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$ จุดวิกฤตคือ $x = -1$ และ $x = 3$
ทดสอบเครื่องหมายด้วยค่าหนึ่งค่าในแต่ละช่วง $f'(-2) = 15$ บวก $f'(0) = -9$ ลบ $f'(4) = 15$ บวก ฟังก์ชันจึงเพิ่มเมื่อ $x$ น้อยกว่า $-1$ ลดบนช่วง $(-1, 3)$ และเพิ่มเมื่อ $x$ มากกว่า $3$
ที่ $x = -1$ เครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ จึงเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
ที่ $x = 3$ เปลี่ยนจากลบเป็นบวก จึงเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$ ตรวจด้วย $f''(x) = 6x - 6$ ได้ $f''(-1) = -12$ และ $f''(3) = 12$ สอดคล้องกัน

ลองคิดก่อน

$f(x)=x^3$ มี $f'(0)=0$ จึงสรุปว่ามีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ศูนย์ได้หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ได้ $f'(x) = 3x^2$ เป็นบวกทั้งซ้ายและขวาของศูนย์ ฟังก์ชันยังเพิ่มผ่านศูนย์โดยไม่กลับทิศ เส้นสัมผัสแนวนอนที่ศูนย์เป็นแค่จังหวะที่กราฟแบนชั่วครู่ การแก้สมการ $f'(x) = 0$ เป็นเพียงขั้นหาผู้สมัคร ต้องตรวจเครื่องหมายต่อเสมอ

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ต้องตรวจปลายช่วง

ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ตอบว่าสูงที่สุดในละแวกใกล้ๆ แต่โจทย์ส่วนใหญ่ถามว่าสูงที่สุดตลอดโดเมน เรียกว่าค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a, b]$ ค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมบูรณ์มีแน่นอน และเกิดได้แค่ที่จุดวิกฤตภายในช่วง หรือที่ปลายช่วง จึงหาได้สามขั้น คือหาจุดวิกฤตที่อยู่ในช่วง คำนวณ $f$ ที่จุดเหล่านั้นและที่ปลายทั้งสอง แล้วเลือกค่ามากที่สุดกับน้อยที่สุด

ปลายช่วงสำคัญเพราะจุดวิกฤตอาจอยู่นอกช่วง เช่น $f(x) = x^2$ บน $[1, 3]$ มีจุดวิกฤตที่ $x = 0$ ซึ่งอยู่นอกช่วง ค่าน้อยที่สุดและมากที่สุดจึงเกิดที่ปลายทั้งคู่ คือ $f(1) = 1$ และ $f(3) = 9$

ตัวอย่าง 4

(1) หาค่าสูงสุดของรายได้ $R(x)=60x-2x^2$ บาท เมื่อ $0\le x\le30$

(2) หาค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมบูรณ์ของ $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ บนช่วง $[-2, 6]$

ข้อ (1) $R'(x)=60-4x=0$ ให้ $x=15$ ซึ่งอยู่ในช่วง
เปรียบเทียบ $R(0)=0$ $R(15)=450$ $R(30)=0$ จึงสูงสุด $450$ บาท ที่ $x = 15$
ข้อ (2) จากตัวอย่างที่ 3 จุดวิกฤตคือ $-1$ และ $3$ อยู่ในช่วงทั้งคู่ ได้ $f(-1) = 10$ และ $f(3) = -22$
ปลายช่วง $f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$ และ $f(6) = 216 - 108 - 54 + 5 = 59$
เทียบทั้งสี่ค่า สูงสุดสัมบูรณ์คือ $59$ ที่ปลาย $x = 6$ ไม่ใช่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ $10$ ส่วนต่ำสุดสัมบูรณ์คือ $-22$ ที่ $x = 3$ ถ้าลืมตรวจปลายช่วงจะตอบผิดทันที

โจทย์หาค่าเหมาะที่สุด

โจทย์ปัญหาไม่ได้ให้ฟังก์ชันมา ต้องสร้างเอง ขั้นตอนที่ใช้ได้เกือบทุกข้อคือ วาดรูปแล้วตั้งตัวแปร เขียนปริมาณที่ต้องการให้มากหรือน้อยที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ใช้เงื่อนไขในโจทย์ตัดตัวแปรที่เกิน หาโดเมนที่เป็นไปได้จริง แล้วหาอนุพันธ์และเทียบค่าที่จุดวิกฤตกับปลายช่วง

ตัวอย่าง 5

กลับไปที่กล่องตอนต้นหน้า ตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $x$ เซนติเมตร ออกจากมุมแผ่นขนาด $30 \times 30$ เซนติเมตร ต้องตัดยาวเท่าไรกล่องจึงจุมากที่สุด และจุได้เท่าไร

พับขอบขึ้นแล้ว ก้นกล่องยาวด้านละ $30 - 2x$ และกล่องสูง $x$ ปริมาตรคือ $V(x) = x(30 - 2x)^2$
โดเมน ความยาวต้องเป็นบวก จึงต้องมี $x$ มากกว่า $0$ และ $30 - 2x$ มากกว่า $0$ คือ $0 < x < 15$ ที่ปลายทั้งสองปริมาตรเป็นศูนย์
ใช้กฎผลคูณกับกฎลูกโซ่ $V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30 - 2x)(30 - 6x)$
$V'(x) = 0$ ได้ $x = 15$ ซึ่งเป็นปลายช่วง ไม่ใช่จุดภายใน หรือ $x = 5$ ซึ่งอยู่ในช่วง $V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
ปลายช่วงให้ปริมาตรศูนย์ จึงตัดมุมยาว $5$ เซนติเมตร ได้กล่องจุมากที่สุด $2000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร หรือ $2$ ลิตร

ตัวอย่าง 6

โรงงานจะทำกระป๋องทรงกระบอกมีฝาปิดหัวท้าย จุ $1000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร รัศมีและความสูงควรเป็นเท่าไรจึงใช้แผ่นโลหะน้อยที่สุด

ให้รัศมี $r$ ความสูง $h$ เซนติเมตร พื้นที่ผิวคือ $A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ มีสองตัวแปร ต้องตัดตัวหนึ่งออก
ปริมาตร $\pi r^2 h = 1000$ ได้ $h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$ แทนแล้วได้ $A(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}$ เมื่อ $r$ มากกว่า $0$
$A'(r) = 4\pi r - \dfrac{2000}{r^2} = 0$ ได้ $r^3 = \dfrac{500}{\pi}$ จึง $r$ ประมาณ $5.42$ เซนติเมตร
โดเมนไม่มีปลายปิด จึงตรวจเครื่องหมายแทน เมื่อ $r$ เล็กกว่าค่านี้ $A'$ เป็นลบ เมื่อใหญ่กว่า $A'$ เป็นบวก จุดนี้จึงให้ค่าน้อยที่สุดสัมบูรณ์
$h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{2 \cdot 500}{\pi r^3} \cdot r = 2r$ ประมาณ $10.84$ เซนติเมตร กระป๋องที่ประหยัดที่สุดสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง ใช้แผ่นโลหะประมาณ $554$ ตารางเซนติเมตร

ลองคิดก่อน

ในตัวอย่างที่ 5 สมการ $V'(x) = 0$ ให้คำตอบสองค่าคือ $5$ กับ $15$ เพื่อนเลือก $x = 15$ เพราะเป็นค่าที่มากกว่า ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ที่ $x = 15$ ก้นกล่องยาว $30 - 30 = 0$ ไม่มีกล่องเหลือ ปริมาตรเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นค่าน้อยที่สุดด้วยซ้ำ คำตอบของ $V'(x) = 0$ เป็นแค่ผู้สมัคร ต้องตรวจว่าอยู่ในโดเมนที่เป็นไปได้จริง แล้วเทียบค่า $V$ ไม่ใช่เทียบค่า $x$

สรุป

เส้นสัมผัสที่ $x = a$ คือ $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ พิกัด $y$ มาจาก $f$ ความชันมาจาก $f'$
ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่ง ความเร่งคืออนุพันธ์ของความเร็ว จุดสูงสุดของการโยนคือจุดที่ความเร็วเป็นศูนย์
$f'$ บวกฟังก์ชันเพิ่ม ลบฟังก์ชันลด จุดวิกฤตต้องตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายหรือดู $f''$
ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนช่วงปิดต้องเทียบจุดวิกฤตกับปลายช่วงเสมอ โจทย์ปัญหาต้องหาโดเมนจากสถานการณ์ก่อน

อนุพันธ์ตอบว่าปริมาณเปลี่ยนเร็วแค่ไหน หน้าถัดไปจะถามกลับด้าน ถ้ารู้ว่าเปลี่ยนเร็วแค่ไหนทุกขณะ จะหาปริมาณเดิมได้อย่างไร