26.3 อ่านแผนภาพกล่อง

ฝ่ายแนะแนวของโรงเรียนสำรวจนักเรียน ม.3 ทั้งหมด 120 คน ว่าคืนก่อนสอบใช้โทรศัพท์ก่อนนอนกี่นาที แล้วสรุปผลเป็นแผนภาพกล่องรูปเดียว ไม่มีตารางข้อมูลดิบให้ดูเลย หน้านี้จะอ่านรูปนี้ให้ได้คำตอบมากที่สุด

เวลาที่นักเรียน ม.3 จำนวน 120 คนใช้โทรศัพท์ก่อนนอนในคืนก่อนสอบ (นาที) ตัวเลขเหนือรูปคือค่าห้าค่า

ข้อมูลประมาณกี่ตัวอยู่ในช่วงไหน

จากหน้า 26.2 แต่ละส่วนในสี่ส่วนมีข้อมูลประมาณร้อยละ 25 รวมกันได้ตามนี้

ช่วง	มีข้อมูลประมาณ
ค่าต่ำสุดถึง $Q_1$	ร้อยละ 25
ค่าต่ำสุดถึง $Q_2$	ร้อยละ 50
ค่าต่ำสุดถึง $Q_3$	ร้อยละ 75
$Q_1$ ถึง $Q_3$ หรือตัวกล่อง	ร้อยละ 50
$Q_3$ ถึงค่าสูงสุด	ร้อยละ 25

ตัวอย่าง 1

จากแผนภาพกล่องข้างบน ตอบคำถามต่อไปนี้

(1) นักเรียนประมาณกี่คนใช้โทรศัพท์ตั้งแต่ 60 นาทีขึ้นไป
(2) นักเรียนประมาณร้อยละเท่าใดใช้โทรศัพท์ตั้งแต่ 20 ถึง 60 นาที
(3) นักเรียนประมาณกี่คนใช้โทรศัพท์ไม่เกิน 35 นาที
(4) นักเรียนประมาณกี่คนใช้โทรศัพท์ตั้งแต่ 20 นาทีขึ้นไป

60 นาทีคือ $Q_3$ ตั้งแต่ $Q_3$ ถึงค่าสูงสุดมีประมาณร้อยละ 25 ได้ $\tfrac{25}{100} \times 120 = 30$ คน
20 นาทีคือ $Q_1$ และ 60 นาทีคือ $Q_3$ ช่วงนี้คือตัวกล่อง มีประมาณร้อยละ 50
35 นาทีคือ $Q_2$ ไม่เกิน $Q_2$ มีประมาณครึ่งหนึ่ง ได้ $\tfrac{120}{2} = 60$ คน
ตั้งแต่ $Q_1$ ขึ้นไปมีสามส่วน คือร้อยละ 75 ได้ $\tfrac{75}{100} \times 120 = 90$ คน หรือคิดอีกทางว่าทั้งหมด 120 คน ลบส่วนที่น้อยกว่า $Q_1$ ซึ่งมีประมาณ 30 คน

คำตอบทุกข้อต้องมีคำว่าประมาณ เพราะแผนภาพกล่องไม่ได้บอกจำนวนที่แท้จริง ถ้ามีหลายคนตอบว่า 60 นาทีพอดี จำนวนคนที่ใช้ตั้งแต่ 60 นาทีขึ้นไปอาจมากกว่า 30 อยู่บ้าง

พิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์

ความยาวบนแผนภาพกล่องบอกการกระจายของข้อมูล ความยาวที่ใช้บ่อยมีสองแบบ

นิยาม

พิสัย (range) คือ ค่าสูงสุด $-$ ค่าต่ำสุด เท่ากับความยาวของแผนภาพกล่องทั้งรูป
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (interquartile range) คือ $Q_3 - Q_1$ เท่ากับความยาวของกล่อง บอกว่าข้อมูลครึ่งหนึ่งที่อยู่ตรงกลางกระจายกว้างแค่ไหน

ตัวอย่าง 2

หาพิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของเวลาใช้โทรศัพท์ แล้วสมมุติว่าคนที่ตอบ 150 นาที จริงๆ ตอบ 300 นาที ค่าทั้งสองเปลี่ยนไปอย่างไร

พิสัย $150 - 0 = 150$ นาที
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ $60 - 20 = 40$ นาที แปลว่านักเรียนครึ่งหนึ่งที่อยู่ตรงกลางใช้โทรศัพท์ต่างกันไม่เกิน 40 นาที
ถ้าค่าสูงสุดเปลี่ยนเป็น 300 พิสัยกลายเป็น $300 - 0 = 300$ นาที เพิ่มเป็นสองเท่า
ค่าสูงสุดอยู่ปลายสุดของข้อมูลอยู่แล้ว เปลี่ยนแล้วลำดับของข้อมูลไม่เปลี่ยน $Q_1$ กับ $Q_3$ จึงเท่าเดิม พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ยังเป็น 40 นาที

ตัวอย่างนี้บอกว่าพิสัยขึ้นกับค่าสองค่าที่อยู่ปลายสุด ข้อมูลตัวเดียวที่อยู่ห่างจากกลุ่มก็ทำให้พิสัยเปลี่ยนไปมาก ส่วนพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ไม่สนใจข้อมูลหนึ่งในสี่ที่ปลายแต่ละข้าง จึงบอกการกระจายของข้อมูลส่วนใหญ่ได้ดีกว่า คล้ายกับที่มัธยฐานไม่ถูกค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่มดึงไปเหมือนค่าเฉลี่ยในบทที่ 16

ลองคิดก่อน

เส้นขวาของแผนภาพกล่องเวลาใช้โทรศัพท์ยาวถึง 90 นาที ยาวที่สุดในสี่ส่วน เพื่อนจึงสรุปว่านักเรียนส่วนใหญ่ใช้โทรศัพท์ระหว่าง 60 ถึง 150 นาที เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ทุกส่วนมีนักเรียนประมาณร้อยละ 25 เท่ากัน คือราว 30 คน ส่วนที่ยาวแปลว่านักเรียน 30 คนนั้นใช้เวลาต่างกันมาก ตั้งแต่ 60 จนถึง 150 นาที ส่วนที่สั้นอย่างครึ่งซ้ายของกล่อง ซึ่งยาวแค่ $35 - 20 = 15$ นาที แปลว่านักเรียนราว 30 คนในส่วนนั้นใช้เวลาใกล้ๆ กัน ข้อมูลอัดกันแน่น ความยาวบอกความห่างของข้อมูล ไม่ได้บอกจำนวน

ลักษณะการกระจายของข้อมูล

เทียบความยาวของส่วนซ้ายกับส่วนขวา จะเห็นว่าข้อมูลกระจายไปทางค่าน้อยหรือค่ามากมากกว่ากัน รูปข้างล่างเป็นแผนภาพกล่องสามแบบที่พบบ่อย

สามรูปมีค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดเท่ากัน ต่างกันที่ตำแหน่งของกล่องและมัธยฐาน

แบบที่ 1 มัธยฐานอยู่กลางกล่อง เส้นสองข้างยาวพอๆ กัน ข้อมูลกระจายสองข้างของมัธยฐานพอๆ กัน เรียกว่ากระจายแบบสมมาตร แผนภาพจุดของข้อมูลแบบนี้มักกองสูงตรงกลางแล้วลดลงเท่าๆ กันทั้งสองข้าง
แบบที่ 2 ครึ่งขวาของกล่องกับเส้นขวายาวกว่า ข้อมูลครึ่งที่มีค่าน้อยอัดกันแน่น ส่วนข้อมูลที่มีค่ามากกระจายออกไปไกล เวลาใช้โทรศัพท์เป็นแบบนี้
แบบที่ 3 กลับกันกับแบบที่ 2 ข้อมูลที่มีค่ามากอัดกันแน่น ข้อมูลที่มีค่าน้อยกระจายออกไปไกล

ตัวอย่าง 3

คะแนนสอบวิทยาศาสตร์ เต็ม 100 ของนักเรียน 80 คน มีค่าต่ำสุด 28 $Q_1 = 62$ $Q_2 = 74$ $Q_3 = 80$ และค่าสูงสุด 95 คะแนน อธิบายลักษณะการกระจายของคะแนน และหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์

หาความยาวทีละส่วน เส้นซ้าย $62 - 28 = 34$ ครึ่งซ้ายของกล่อง $74 - 62 = 12$ ครึ่งขวาของกล่อง $80 - 74 = 6$ เส้นขวา $95 - 80 = 15$
ส่วนซ้ายยาวกว่าส่วนขวาทั้งในกล่องและที่เส้น จึงเป็นแบบที่ 3
แปลความหมาย นักเรียนครึ่งบนประมาณ 40 คนได้คะแนนใกล้ๆ กัน ระหว่าง 74 ถึง 95 แต่นักเรียนกลุ่มล่างประมาณ 20 คนได้คะแนนกระจายกว้างมาก ตั้งแต่ 28 ถึง 62
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ $80 - 62 = 18$ คะแนน

ถ้าครูจะจัดสอนเสริม ข้อมูลแบบนี้บอกว่ากลุ่มที่ต้องดูแลคือนักเรียนประมาณ 20 คนที่ได้ไม่เกิน 62 คะแนน ซึ่งแต่ละคนอ่อนในระดับที่ต่างกันมาก

สรุป

แต่ละส่วนมีข้อมูลประมาณร้อยละ 25 ตัวกล่องมีประมาณร้อยละ 50
คำตอบที่อ่านจากแผนภาพกล่องเป็นค่าประมาณเสมอ
พิสัยคือค่าสูงสุดลบค่าต่ำสุด พิสัยระหว่างควอร์ไทล์คือ $Q_3 - Q_1$ หรือความยาวของกล่อง
พิสัยเปลี่ยนมากเมื่อมีค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่ม พิสัยระหว่างควอร์ไทล์แทบไม่เปลี่ยน
ส่วนที่ยาวแปลว่าข้อมูลในส่วนนั้นอยู่ห่างกัน ไม่ได้แปลว่ามีข้อมูลมาก
เทียบความยาวส่วนซ้ายกับส่วนขวา เพื่อบอกว่าข้อมูลกระจายไปทางไหน