27.3 แก้ระบบสมการโดยการแทนค่า

ร้านน้ำปั่นขายน้ำส้มปั่นแพงกว่าน้ำแตงโมปั่นแก้วละ 5 บาท ซื้ออย่างละแก้วจ่าย 75 บาท แต่ละอย่างราคาเท่าไร

ให้น้ำส้มแก้วละ $x$ บาท น้ำแตงโมแก้วละ $y$ บาท จะได้ $x = y + 5$ และ $x + y = 75$ สมการแรกบอกว่า $x$ กับ $y + 5$ เป็นจำนวนเดียวกัน จึงเอา $y + 5$ ไปใส่แทน $x$ ในสมการที่สองได้

เหลือตัวแปรตัวเดียว แก้ได้ $2y = 70$ จึงได้ $y = 35$ และ $x = 35 + 5 = 40$ น้ำส้มแก้วละ 40 บาท น้ำแตงโมแก้วละ 35 บาท

ความคิดนี้คือการแทนค่า เปลี่ยนระบบสองตัวแปรให้เหลือสมการตัวแปรเดียว ซึ่งแก้ได้ตั้งแต่บทที่ 6 และได้ค่าที่แม่นยำเสมอ ไม่ต้องอ่านจากกราฟ

ขั้นตอนการแทนค่า

1. เลือกสมการหนึ่ง เขียนตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของอีกตัว เช่น $x = \ldots$ หรือ $y = \ldots$ เลือกตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็น $1$ หรือ $-1$ จะไม่เกิดเศษส่วน
2. นำไปแทนในอีกสมการหนึ่ง ใส่วงเล็บเสมอ จะได้สมการตัวแปรเดียว
3. แก้สมการตัวแปรเดียว
4. นำค่าที่ได้ไปแทนกลับเพื่อหาตัวแปรอีกตัว
5. ตรวจคำตอบกับสมการเดิมทั้งสองสมการ

คำตอบที่เป็นเศษส่วน

การแทนค่าใช้ได้แม้คำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเป็นแบบที่อ่านจากกราฟไม่ได้

เมื่อไม่มีตัวแปรที่สัมประสิทธิ์เป็น 1

ถ้าทุกพจน์มีสัมประสิทธิ์ไม่ใช่ $1$ หรือ $-1$ ยังแทนค่าได้ แต่จะมีเศษส่วนตั้งแต่ขั้นแรก เช่นระบบ $3x + 2y = 7$ กับ $2x - 3y = -4$ ถ้าย้ายข้างได้ $y = \tfrac{7 - 3x}{2}$ ต้องแทนเศษส่วนนี้ลงในอีกสมการ ทำได้แต่คิดเลขยาก ระบบแบบนี้ใช้วิธีกำจัดตัวแปรในหน้าถัดไปจะสะดวกกว่า

สรุป

• การแทนค่าคือเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัว แล้วแทนลงในอีกสมการ จนเหลือตัวแปรเดียว
• เลือกตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์ $1$ หรือ $-1$ จะไม่เกิดเศษส่วน
• ใส่วงเล็บทุกครั้งที่แทน แล้วกระจายให้ครบทุกพจน์
• หาตัวแปรตัวแรกได้แล้ว แทนกลับหาอีกตัว แล้วตรวจกับสมการที่ยังไม่ได้ใช้