16.1 แผนภาพจุด

ครูประจำชั้น ม.2/4 ถามนักเรียนทั้ง 25 คนว่าคืนวันอาทิตย์ที่ผ่านมานอนหลับกี่ชั่วโมง ได้คำตอบเป็นข้อมูลดิบดังนี้

6 8 7 8 7 8 12 9 8 10 7 6 8
8 9 7 6 7 8 5 8 9 8 7 9

อ่านตัวเลขเรียงกันแบบนี้ ตอบไม่ได้ทันทีว่านักเรียนส่วนใหญ่นอนกี่ชั่วโมง หรือมีใครนอนน้อยผิดปกติไหม ตารางความถี่จากบทที่ 9 ช่วยนับได้ แต่ยังไม่เห็นภาพ หน้านี้จะวางข้อมูลทุกตัวลงบนเส้นจำนวน แล้วให้ตาเห็นรูปร่างของข้อมูลเอง

แผนภาพจุดคืออะไร

นิยาม

แผนภาพจุด (dot plot) คือการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณบนเส้นจำนวน ข้อมูลหนึ่งตัวแทนด้วยจุดหนึ่งจุด วางไว้เหนือค่าของมัน ถ้ามีข้อมูลค่าเดียวกันหลายตัว ให้วางจุดซ้อนขึ้นไปเป็นแถวตั้ง ระยะห่างระหว่างจุดที่ซ้อนกันต้องเท่ากันทุกแถว

จำนวนจุดทั้งหมดจึงเท่ากับจำนวนข้อมูล และความสูงของแถวจุดเหนือค่าใดก็คือความถี่ของค่านั้น แผนภาพจุดจึงเป็นตารางความถี่ที่วาดเป็นรูป โดยไม่ทิ้งข้อมูลตัวไหนเลย

ตัวอย่าง 1

สร้างแผนภาพจุดของจำนวนชั่วโมงที่นักเรียน ม.2/4 นอนหลับ จากข้อมูลดิบข้างบน

หาค่าน้อยที่สุดกับค่ามากที่สุดก่อน ได้ $5$ กับ $12$ ชั่วโมง
วาดเส้นจำนวนให้ครอบคลุมตั้งแต่ $5$ ถึง $12$ แบ่งช่องห่างเท่ากันทีละ 1 ชั่วโมง ต้องมีค่า $11$ ด้วย แม้จะไม่มีใครนอน 11 ชั่วโมงก็ตาม
อ่านข้อมูลทีละตัวจากซ้ายไปขวา วางจุดเหนือค่านั้น ถ้าค่านั้นมีจุดอยู่แล้วให้วางซ้อนขึ้นไป
นับจุดเหนือแต่ละค่า ได้ $5$ ชั่วโมง 1 คน $6$ ชั่วโมง 3 คน $7$ ชั่วโมง 6 คน $8$ ชั่วโมง 9 คน $9$ ชั่วโมง 4 คน $10$ ชั่วโมง 1 คน และ $12$ ชั่วโมง 1 คน
ตรวจผลรวม $1 + 3 + 6 + 9 + 4 + 1 + 1 = 25$ เท่ากับจำนวนนักเรียน จึงไม่มีจุดตกหล่น

จำนวนชั่วโมงที่นักเรียน ม.2/4 จำนวน 25 คนนอนหลับในคืนวันอาทิตย์ จุดหนึ่งจุดแทนนักเรียนหนึ่งคน

อ่านแผนภาพจุด

พอได้รูปแล้ว ให้ดูสี่อย่างนี้เป็นนิสัย

ค่าที่จุดซ้อนสูงที่สุด คือค่าที่พบบ่อยที่สุด ในรูปนี้คือ 8 ชั่วโมง มี 9 คน
ข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ช่วงไหน จุดกองหนาอยู่ที่ 7 ถึง 9 ชั่วโมง รวม $6 + 9 + 4 = 19$ คน จาก 25 คน
ช่องว่าง ช่วงที่ไม่มีจุดเลยทั้งที่สองข้างมีข้อมูล ในรูปนี้คือ 11 ชั่วโมง
ค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่ม จุดที่ 12 ชั่วโมงอยู่โดดเดี่ยวทางขวา ห่างจากกลุ่มใหญ่ชัดเจน

ค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่มต้องตรวจก่อนนำไปใช้ อาจเป็นข้อมูลจริง เช่นนักเรียนคนนั้นป่วยจึงนอนนาน หรืออาจเป็นการจดผิด เช่นตั้งใจจะเขียน 7 แต่เขียนเป็น 12 ถ้าเป็นข้อมูลจริงก็เก็บไว้ ถ้าจดผิดต้องแก้ก่อนสรุปผล

ตัวอย่าง 2

จากแผนภาพจุดข้างบน ตอบคำถามต่อไปนี้

(1) มีนักเรียนกี่คนที่นอนน้อยกว่า 7 ชั่วโมง
(2) นักเรียนที่นอนอย่างน้อย 8 ชั่วโมงคิดเป็นร้อยละเท่าใดของทั้งห้อง
(3) ถ้าแพทย์แนะนำว่าวัยรุ่นควรนอน 8 ถึง 10 ชั่วโมง มีนักเรียนกี่คนที่นอนตามคำแนะนำ

น้อยกว่า 7 ชั่วโมง คือ 5 กับ 6 ชั่วโมง ไม่รวม 7 ได้ $1 + 3 = 4$ คน
อย่างน้อย 8 ชั่วโมง คือ 8 ชั่วโมงขึ้นไป รวม 8 ด้วย ได้ $9 + 4 + 1 + 1 = 15$ คน คิดเป็นร้อยละ $\tfrac{15}{25} \times 100 = 60$
ตั้งแต่ 8 ถึง 10 ชั่วโมง รวมทั้งสองปลาย ได้ $9 + 4 + 1 = 14$ คน ส่วนคนที่นอน 12 ชั่วโมงเกินคำแนะนำ จึงไม่นับ

คำว่า "น้อยกว่า" "อย่างน้อย" "ไม่เกิน" และ "ตั้งแต่ ถึง" ต่างกันตรงที่รวมค่าปลายหรือไม่ อ่านโจทย์ให้ชัดก่อนนับ เป็นจุดที่เสียคะแนนกันบ่อยกว่าการนับผิด

ลองคิดก่อน

เพื่อนวาดแผนภาพจุดของข้อมูลชุดนี้ โดยเขียนบนเส้นแค่ค่าที่มีข้อมูล คือ 5 6 7 8 9 10 12 วางห่างกันช่องละเท่าๆ กัน เพราะคิดว่า 11 ไม่มีใครนอน ไม่ต้องเขียนก็ได้ รูปของเพื่อนผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เส้นของแผนภาพจุดคือเส้นจำนวน ระยะบนเส้นต้องตรงกับค่าจริง 10 ถึง 12 ห่างกัน 2 ชั่วโมง จึงต้องห่างเป็นสองเท่าของ 9 ถึง 10 พอตัด 11 ทิ้ง จุดที่ 12 จะไปอยู่ติดกับ 10 เหมือนเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่ม ช่องว่างหายไป และไม่มีใครเห็นว่า 12 อยู่ห่างจากกลุ่ม ค่าที่ไม่มีข้อมูลจึงต้องเขียนไว้บนเส้นด้วยเสมอ

เทียบข้อมูลสองชุด

แผนภาพจุดสองชุดที่วาดบนสเกลเดียวกัน วางซ้อนกันบนล่าง ใช้เทียบข้อมูลสองกลุ่มได้ดีมาก เพราะเห็นทั้งตำแหน่งที่ข้อมูลกองอยู่และความกว้างของการกระจายพร้อมกัน

คะแนนสอบย่อยเต็ม 10 คะแนนของห้อง ม.2/1 และ ม.2/2 ห้องละ 20 คน วาดบนสเกลเดียวกัน

ตัวอย่าง 3

จากแผนภาพจุดของสองห้อง

(1) ห้องใดมีนักเรียนที่ได้ตั้งแต่ 8 คะแนนขึ้นไปมากกว่า และมากกว่ากี่คน
(2) ห้องใดมีคะแนนกระจายกว้างกว่า
(3) ครูบอกว่า "ห้อง ม.2/2 มีคนได้คะแนนสูงมากกว่า ห้อง ม.2/2 จึงเก่งกว่า" สรุปแบบนี้ได้ไหม

ห้อง ม.2/1 ได้ 8 คะแนนขึ้นไป $4 + 1 = 5$ คน ห้อง ม.2/2 ได้ $3 + 3 + 3 = 9$ คน ห้อง ม.2/2 มากกว่า $9 - 5 = 4$ คน
ห้อง ม.2/1 ได้คะแนนตั้งแต่ 4 ถึง 9 ส่วนห้อง ม.2/2 ได้ตั้งแต่ 2 ถึง 10 ห้อง ม.2/2 กระจายกว้างกว่ามาก จุดเกือบแบนราบทั้งเส้น ส่วนห้อง ม.2/1 กองแน่นอยู่ที่ 6 ถึง 8
สรุปแบบนั้นไม่ได้ ห้อง ม.2/2 มีคนได้คะแนนต่ำมากกว่าด้วย ได้ไม่เกิน 4 คะแนนถึง $1 + 2 + 2 = 5$ คน ส่วนห้อง ม.2/1 มีแค่ 1 คน ทั้งสองห้องมีจุดกึ่งกลางของข้อมูลอยู่แถว 7 คะแนนเหมือนกัน ที่ต่างกันจริงคือห้อง ม.2/2 คะแนนห่างกันมากกว่า

ตัวอย่างนี้บอกว่าการดูแค่ส่วนใดส่วนหนึ่งของข้อมูล เช่นดูแค่คนได้คะแนนสูง ทำให้สรุปผิดได้ ต้องดูทั้งรูป หน้า 16.4 จะสรุปตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลเป็นตัวเลขตัวเดียว ซึ่งทำให้เทียบสองห้องได้ชัดขึ้น

เมื่อไรควรใช้แผนภาพจุด

แผนภาพจุดเก็บข้อมูลไว้ครบทุกตัว อ่านง่าย และวาดเร็ว เหมาะกับข้อมูลที่มีไม่มาก และมีค่าที่ต่างกันไม่กี่ค่า เช่น จำนวนพี่น้อง คะแนนสอบย่อยเต็ม 10 หรือจำนวนชั่วโมงที่นอน

ถ้าข้อมูลมีค่าต่างกันมาก เช่นส่วนสูงของนักเรียน 40 คนที่มีตั้งแต่ 141 ถึง 172 เซนติเมตร เส้นจำนวนจะยาว 30 กว่าช่อง แต่ละค่ามีจุดแค่ 1 หรือ 2 จุด รูปจะแบนจนมองไม่เห็นว่าข้อมูลกองตรงไหน ข้อมูลแบบนี้ใช้แผนภาพต้นใบในหน้า 16.2 หรือฮิสโทแกรมในหน้า 16.3 ดีกว่า

สรุป

แผนภาพจุดวางข้อมูลหนึ่งตัวเป็นจุดหนึ่งจุดเหนือเส้นจำนวน ค่าซ้ำวางซ้อนขึ้นไป
เส้นต้องเป็นสเกลจริง ช่องห่างเท่ากัน และเขียนค่าที่ไม่มีข้อมูลไว้ด้วย
อ่านค่าที่พบบ่อยที่สุด ช่วงที่ข้อมูลกองอยู่ ช่องว่าง และค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่ม
เทียบข้อมูลสองชุดด้วยแผนภาพจุดบนสเกลเดียวกัน ดูทั้งตำแหน่งและการกระจาย
เหมาะกับข้อมูลจำนวนไม่มากที่มีค่าต่างกันไม่กี่ค่า