46.7 แบบฝึกหัด

แทน $x = 3$ ตรงๆ ได้ $\dfrac{9-9}{3-3} = \dfrac{0}{0}$ ซึ่งยังไม่ใช่คำตอบ แปลว่าเศษกับส่วนมีตัวประกอบ $x - 3$ ร่วมกัน

แยกตัวประกอบเศษด้วยผลต่างกำลังสอง $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ เมื่อ $x \ne 3$ ตัด $x - 3$ ได้ $\dfrac{x^2-9}{x-3} = x + 3$

ลิมิตดูเฉพาะค่า $x \ne 3$ จึงหาลิมิตของ $x + 3$ แทนได้ แทน $x = 3$ ได้ $3 + 3 = 6$ ลิมิตจึงเท่ากับ $6$ แม้ฟังก์ชันเดิมไม่นิยามที่ $x = 3$

$f$ ต่อเนื่องที่ $2$ เมื่อครบสามเงื่อนไข คือ $f(2)$ นิยาม ลิมิตที่ $2$ มีค่า และลิมิตเท่ากับ $f(2)$

โจทย์บอกว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ $7$ แล้ว เงื่อนไขที่เหลือคือต้องกำหนด $f(2)$ ให้เท่ากับลิมิต จึงต้องกำหนด $f(2) = 7$

ตัวเลือก $2$ เป็นค่าของตัวแปรต้น $x$ ไม่ใช่ค่าฟังก์ชัน ส่วน $0$ ไม่เกี่ยวกับเงื่อนไขใดเลย

$(2x+1)^3$ เป็นฟังก์ชันประกอบ ชั้นในคือ $u = 2x + 1$ ชั้นนอกคือ $u^3$ จึงใช้กฎลูกโซ่ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$

อนุพันธ์ชั้นนอกโดยปล่อยชั้นในไว้ตามเดิมคือ $3(2x+1)^2$ อนุพันธ์ชั้นในคือ $\dfrac{d}{dx}(2x+1) = 2$

คูณกันได้ $3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$ ถ้าหยุดที่ $3(2x+1)^2$ คือลืมคูณอนุพันธ์ชั้นใน

หาปฏิยานุพันธ์ของ $2x$ ก่อน เพิ่มเลขชี้กำลังจาก $1$ เป็น $2$ แล้วหารด้วย $2$ ได้ $\dfrac{2x^2}{2} = x^2$ ตรวจ อนุพันธ์ของ $x^2$ คือ $2x$ ถูกต้อง

ใช้ทฤษฎีบทหลักมูล แทนปลายบนลบปลายล่าง $\int_0^3 2x\,dx = \big[x^2\big]_0^3 = 3^2 - 0^2 = 9$

ตรวจด้วยรูป กราฟ $y = 2x$ บนช่วง $[0, 3]$ กับแกน $x$ เป็นสามเหลี่ยมฐาน $3$ สูง $6$ มีพื้นที่ $\tfrac{1}{2}(3)(6) = 9$ ตรงกัน

$f'(x)=3x^2$ จึงได้ $f'(0) = 0$ เส้นสัมผัสที่ศูนย์ขนานแกนนอน ศูนย์จึงเป็นจุดวิกฤต

ตรวจเครื่องหมายของ $f'$ สองข้าง $f'(-1) = 3$ และ $f'(1) = 3$ เป็นบวกทั้งคู่ ที่จริง $3x^2$ เป็นบวกทุก $x \ne 0$ ฟังก์ชันจึงเพิ่มทั้งซ้ายและขวาของศูนย์

อนุพันธ์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านศูนย์ จึงไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ศูนย์ ยืนยันด้วยค่าจริงก็ได้ $f(-0.1)$ ติดลบ $f(0) = 0$ และ $f(0.1)$ เป็นบวก กราฟผ่านศูนย์ขึ้นไปโดยไม่กลับทิศ

ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่งตามเวลา หาอนุพันธ์ทีละพจน์ $v(t) = s'(t) = 2t + 4$ เมตรต่อวินาที

แทน $t = 3$ ได้ $v(3) = 2(3) + 4 = 10$ เมตรต่อวินาที

ค่า $s(3) = 9 + 12 = 21$ เป็นตำแหน่งเมื่อเวลา $3$ วินาที มีหน่วยเป็นเมตร ไม่ใช่ความเร็ว

$P(x)$ ต่อเนื่องบนช่วงปิด $[0, 20]$ ค่าสูงสุดจึงเกิดที่จุดวิกฤตภายในช่วงหรือที่ปลายช่วง

หาจุดวิกฤต $P'(x) = -2x + 20 = 0$ ได้ $x = 10$ ซึ่งอยู่ในช่วง และ $P(10) = -100 + 200 - 36 = 64$

เทียบปลายช่วง $P(0) = -36$ และ $P(20) = -400 + 400 - 36 = -36$ ค่าที่มากที่สุดคือ $64$ กำไรสูงสุดจึงเป็น $64$ บาท เกิดเมื่อ $x = 10$

หารากในช่วงก่อน $x - 1 = 0$ ได้ $x = 1$ บนช่วง $[0, 1]$ กราฟอยู่ใต้แกน บนช่วง $[1, 3]$ อยู่เหนือแกน จึงต้องแบ่งช่วงที่ $x = 1$

ปฏิยานุพันธ์คือ $\dfrac{x^2}{2} - x$ ช่วงแรก $\int_0^1(x-1)\,dx = \left(\tfrac{1}{2} - 1\right) - 0 = -\tfrac{1}{2}$ ช่วงหลัง $\int_1^3(x-1)\,dx = \left(\tfrac{9}{2} - 3\right) - \left(\tfrac{1}{2} - 1\right) = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2} = 2$

พื้นที่คือผลรวมของขนาด $\tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2}$ ตารางหน่วย ถ้าอินทิเกรตทั้งช่วงทีเดียวจะได้ $-\tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{3}{2}$ ซึ่งเป็นปริพันธ์มีเครื่องหมาย ไม่ใช่พื้นที่

ให้ $u = 3x - 2$ และ $v = x + 1$ ได้ $u' = 3$ และ $v' = 1$

กฎผลหารให้ตัวเศษ $u'v - uv' = 3(x + 1) - (3x - 2)(1) = 3x + 3 - 3x + 2 = 5$

จึงได้ $f'(x) = \dfrac{5}{(x+1)^2}$ เมื่อ $x \ne -1$ ตัวส่วนเป็นกำลังสองจึงบวกเสมอ ความชันเป็นบวกทุกจุดในโดเมน

ก้นกล่องยาวด้านละ $24 - 2x$ และกล่องสูง $x$ ปริมาตรคือ $V(x) = x(24 - 2x)^2$ ความยาวต้องเป็นบวก จึงมีโดเมน $0 < x < 12$

ใช้กฎผลคูณและกฎลูกโซ่ $V'(x) = (24 - 2x)^2 + x \cdot 2(24 - 2x)(-2) = (24 - 2x)(24 - 6x)$

$V'(x) = 0$ ได้ $x = 12$ ซึ่งทำให้ก้นกล่องยาวศูนย์ อยู่นอกโดเมน หรือ $x = 4$ ซึ่งอยู่ในโดเมน ที่ $x$ เข้าใกล้ $0$ หรือ $12$ ปริมาตรเข้าใกล้ศูนย์ จึงเทียบได้ว่า $V(4) = 4 \cdot 16^2 = 1024$ เป็นค่ามากที่สุด

กล่องจุได้มากที่สุด $1024$ ลูกบาศก์เซนติเมตร เมื่อตัดมุมยาว $4$ เซนติเมตร