descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 43 หลักการนับเบื้องต้นตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.4 บทที่ 3 และเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 2 บทที่ 2พื้นฐานเพิ่มเติม

43.2 การเรียงสับเปลี่ยน

เลือกหัวหน้ากับรองหัวหน้าจากห้องเดียวกัน ถ้าสลับสองคนจะได้หน้าที่ต่างกัน การเลือกนี้จึงต้องนับลำดับด้วย

ลองนึกถึงการถ่ายรูปหมู่ของเพื่อน 66 คนที่ยืนเรียงแถวเดียว ถ้าถ่ายทุกแบบที่ยืนสลับที่กันได้ จะต้องถ่ายกี่รูป หลายคนเดาว่าราวสามสิบหรือห้าสิบรูป แต่คำตอบจริงคือ 720720 รูป ตัวเลขโตเร็วกว่าที่คาดมาก และถ้ามีเงื่อนไขเพิ่ม เช่นคู่ซี้สองคนขอยืนติดกัน หรือสองคนที่ทะเลาะกันห้ามยืนติดกัน คำตอบก็เปลี่ยนไปอีก หน้านี้จะเขียนรูปแบบผลคูณที่ลดลงทีละหนึ่งจากหน้า 43.1 ให้เป็นสูตร แล้วใช้สูตรนั้นกับเงื่อนไขติดกันและห้ามติดกัน

แฟกทอเรียลมาจากหลักการคูณ

เรียงเพื่อน 66 คนลงตำแหน่งที่หนึ่งถึงหกของแถว ตำแหน่งแรกมีคนให้เลือก 66 คน พอวางไปหนึ่งคน ตำแหน่งที่สองเหลือ 55 คน ลดลงไปเรื่อยๆ จนตำแหน่งสุดท้ายเหลือคนเดียว ตามหลักการคูณได้ 6×5×4×3×2×1=7206\times5\times4\times3\times2\times1=720 แบบ ผลคูณแบบนี้เจอบ่อยจนมีชื่อและสัญลักษณ์เฉพาะ

นิยาม

n!=n(n−1)⋯1n!=n(n-1)\cdots1 และกำหนด 0!=10!=1 การนำของต่างกัน nn ชิ้นมาเรียง rr ตำแหน่งโดยไม่ซ้ำ มี Pn,r=n!(n−r)!P_{n,r}=\dfrac{n!}{(n-r)!} วิธี เมื่อ 0≤r≤n0\le r\le n

อ่าน n!n! ว่า nn แฟกทอเรียล ค่าของแฟกทอเรียลโตเร็วมาก ดูได้จากตาราง

nn001122334455667788
n!n!111122662424120120720720504050404032040320

สังเกตว่าแถวล่างแต่ละช่องได้จากช่องก่อนหน้าคูณด้วย nn คือ n!=n⋅(n−1)!n! = n\cdot(n-1)! สมบัตินี้ช่วยให้หารแฟกทอเรียลได้โดยไม่ต้องคูณจนสุด

ส่วนที่มาของ Pn,rP_{n,r} คือหลักการคูณเหมือนเดิม ช่องแรกมี nn ทาง ช่องถัดไปเหลือ n−1n-1 และลดไปจนครบ rr ช่อง ช่องที่ rr มี n−r+1n-r+1 ทาง จึงได้ n(n−1)⋯(n−r+1)n(n-1)\cdots(n-r+1) ซึ่งเป็นผลคูณ rr ตัว ถ้าคูณทั้งเศษและส่วนด้วย (n−r)!(n-r)! ก็จะเขียนเป็น n!(n−r)!\dfrac{n!}{(n-r)!} ได้ ตอนคำนวณจริงใช้แบบผลคูณ rr ตัวจะเร็วกว่า

ทำไมต้องกำหนด 0!=10!=1 ดูจากกรณีเรียงครบทุกชิ้น r=nr=n เราอยากได้ Pn,n=n!P_{n,n}=n! เพราะเป็นการเรียงทั้ง nn ชิ้น แต่สูตรให้ n!0!\dfrac{n!}{0!} ถ้า 0!0! ไม่เท่ากับ 11 สูตรจะขัดกับการนับจริง ค่า 0!=10!=1 จึงเป็นค่าที่ทำให้สูตรใช้ได้ทุกกรณี ไม่ใช่ข้อตกลงที่เลือกตามใจ

ตัวอย่าง 1

หาค่า 10!8!\dfrac{10!}{8!} และ P7,3P_{7,3} โดยไม่คูณแฟกทอเรียลจนสุด

  1. เขียน 10!=10×9×8!10! = 10\times9\times8! เพราะ n!=n⋅(n−1)!n! = n\cdot(n-1)! ใช้ซ้ำสองครั้ง
  2. ตัด 8!8! ที่เศษกับส่วน เหลือ 10×9=9010\times9=90 ไม่ต้องคำนวณ 10!10! ซึ่งเป็นเลขเจ็ดหลัก
  3. P7,3P_{7,3} คือผลคูณสามตัวที่เริ่มจาก 77 แล้วลดทีละหนึ่ง ได้ 7×6×5=2107\times6\times5=210 ตรงกับ 7!4!=504024\dfrac{7!}{4!} = \dfrac{5040}{24}

ตัวอย่าง 2

มีนักเรียน 66 คน เลือกหัวหน้า รองหัวหน้า และเหรัญญิก คนละตำแหน่ง ได้กี่วิธี

  1. สามตำแหน่งต่างกัน ถ้าสลับคนระหว่างตำแหน่งจะได้คณะที่ทำงานต่างกัน ลำดับจึงมีผล
  2. ตำแหน่งหัวหน้ามี 66 ทาง รองหัวหน้าเหลือ 55 ทาง เหรัญญิกเหลือ 44 ทาง
  3. รวม 6×5×4=1206\times5\times4=120 วิธี คือ P6,3P_{6,3}

ลองคิดก่อน

เลือกหัวหน้ากับรองจากห้าคนได้ (52)\binom{5}{2} วิธีหรือไม่

ดูคำตอบ

ยังน้อยไป เพราะคู่นักเรียนเดียวกันสลับหน้าที่ได้อีกหนึ่งแบบ ตำแหน่งต่างกันจึงใช้ 5×4=205\times4 = 20 ไม่ใช่ 1010 สัญลักษณ์ (52)\binom{5}{2} จะได้เรียนในหน้า 43.3 ใช้กับการเลือกที่สลับคนแล้วได้ผลเดิม

ของที่ต้องอยู่ติดกันให้มัดรวมก่อน

เงื่อนไขว่าสองคนต้องอยู่ติดกันทำให้นับตรงๆ ยาก เพราะต้องไล่ว่าคู่นั้นอยู่ช่องไหนได้บ้าง วิธีที่ง่ายกว่าคือมัดรวม สองคนนั้นให้เป็นก้อนเดียว ก้อนนี้เคลื่อนไปที่ไหนสองคนก็ติดกันเสมอ แล้วนับเป็นสองขั้น

  1. เรียงก้อนกับของที่เหลือ โดยถือว่าก้อนเป็นของหนึ่งชิ้น
  2. เรียงของภายในก้อน เพราะคนในก้อนสลับซ้ายขวากันได้

สองขั้นนี้ทำต่อกันจึงคูณกัน ขั้นที่สองมักถูกลืม แต่ถ้าในก้อนเป็นคนต่างกัน การสลับในก้อนทำให้แถวเปลี่ยนจริง

ตัวอย่าง 3

เรียงหนังสือต่างกัน 55 เล่ม โดยสองเล่มที่กำหนดต้องติดกัน

  1. รวมสองเล่มเป็นก้อน จึงเหลือ 44 สิ่งมาเรียง ได้ 4!4!
  2. สลับในก้อนได้ 2!2! รวม 4!2!=484!2!=48 วิธี

ตัวอย่าง 4

จัดนักเรียน 66 คนนั่งเก้าอี้แถวเดียว 66 ตัว โดยต้นกับฝนต้องนั่งติดกัน ได้กี่วิธี และถ้าต้นกับฝนห้ามนั่งติดกัน ได้กี่วิธี

  1. มัดต้นกับฝนเป็นก้อนเดียว ตอนนี้มีของที่ต้องเรียงคือก้อนหนึ่งก้อนกับนักเรียนอีก 44 คน รวม 55 สิ่ง เรียงได้ 5!=1205!=120 วิธี
  2. ในก้อนจะเป็นต้นซ้ายฝนขวา หรือฝนซ้ายต้นขวาก็ได้ มี 2!=22!=2 วิธี
  3. ติดกันจึงมี 5!×2!=2405!\times2!=240 วิธี
  4. กรณีห้ามติดกัน ใช้ส่วนที่เหลือ ทุกแถวมีต้นกับฝนติดกันหรือไม่ติดกันอย่างใดอย่างหนึ่ง จึงได้ 6!−240=720−240=4806!-240=720-240=480 วิธี

ของที่ห้ามอยู่ติดกันให้คั่นช่อง

วิธีลบออกจากทั้งหมดใช้ได้ดีเมื่อมีคนห้ามติดกันแค่สองคน แต่ถ้ามีหลายคนที่ห้ามติดกันเลยสักคู่ การลบจะยุ่งมาก วิธีที่ตรงกว่าคือคั่นช่อง เรียงคนที่ไม่มีข้อห้ามก่อน แล้วสังเกตว่าเกิดช่องว่างระหว่างคนและที่หัวท้ายแถว เมื่อวางคนที่ห้ามติดกันลงในช่องเหล่านี้ช่องละไม่เกินหนึ่งคน จะมีคนอื่นคั่นอยู่ระหว่างพวกเขาเสมอ

ถ้าเรียงไว้ก่อน mm คน ช่องจะมี m+1m+1 ช่อง คือช่องระหว่างคน m−1m-1 ช่องกับหัวและท้ายแถวอีกสองช่อง

ตัวอย่าง 5

นักเรียนชาย 44 คนและหญิง 33 คนยืนเรียงแถวถ่ายรูป โดยไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยืนติดกัน ได้กี่วิธี

  1. เรียงนักเรียนชายก่อน เพราะชายไม่มีข้อห้าม ได้ 4!=244!=24 วิธี
  2. ชาย 44 คนสร้างช่องว่าง 55 ช่อง เขียนเป็น □\square ช □\square ช □\square ช □\square ช □\square โดย □\square คือช่อง
  3. วางหญิง 33 คนลงคนละช่อง ช่องต่างกันและหญิงแต่ละคนต่างกัน จึงเป็นการเรียง 33 คนลง 55 ตำแหน่ง ได้ P5,3=5×4×3=60P_{5,3}=5\times4\times3=60 วิธี
  4. สองขั้นทำต่อกัน รวม 24×60=144024\times60=1440 วิธี

ลองคิดก่อน

จากตัวอย่างที่ 5 เพื่อนคิดอีกแบบว่า หญิงสามคนติดกันหมดมัดเป็นก้อนได้ 5!×3!=7205!\times3!=720 วิธี จึงตอบว่าไม่มีหญิงติดกันได้ 7!−720=43207!-720=4320 วิธี ถูกหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ถูก 7!−7207!-720 คือจำนวนแถวที่หญิงไม่ได้ยืนติดกันครบทั้งสามคน ซึ่งยังรวมแถวที่หญิงสองคนยืนติดกันแล้วอีกคนแยกไป เช่น ช ญ ญ ช ช ญ ช แถวแบบนี้ผิดเงื่อนไขของโจทย์ คำว่าไม่ติดกันทั้งสามคนกับไม่มีสองคนใดติดกันเป็นคนละเงื่อนไข คำตอบจึงต่างกันมาก คือ 43204320 กับ 14401440

จัดช่องที่มีข้อจำกัดก่อน

จำนวนที่เขียนด้วยสามหลักกับรหัสสามตัวไม่เหมือนกัน เพราะจำนวนสามหลักห้ามศูนย์เป็นหลักร้อย แต่รหัสอาจอนุญาต ข้อห้ามเกี่ยวกับหลักแรกทำให้ควรเลือกหลักแรกก่อน จากนั้นคิดจำนวนตัวที่เหลือจริง ไม่ใช้จำนวนทางเท่าเดิมทุกหลักเมื่อห้ามซ้ำ กรณีนี้ใช้ Pn,rP_{n,r} ตรงๆ ไม่ได้ เพราะหลักแรกมีทางเลือกน้อยกว่าที่สูตรคิด ต้องกลับไปใช้หลักการคูณเป็นช่องๆ

ตัวอย่าง 6

ใช้เลข 0,1,2,3,40,1,2,3,4 สร้างจำนวนสามหลักไม่ซ้ำได้กี่จำนวน

  1. หลักร้อยเลือกจาก 1,2,3,41,2,3,4 ได้ 44 ทาง
  2. หลักสิบเหลือ 44 ทาง เพราะใช้เลขไปหนึ่งตัวและยังใช้ศูนย์ได้
  3. หลักหน่วยเหลือ 33 ทาง รวม 4×4×3=484\times4\times3=48 จำนวน
  4. ตรวจอีกทาง ถ้าไม่สนเรื่องศูนย์จะได้ P5,3=60P_{5,3}=60 แบบ แบบที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์มี P4,2=12P_{4,2}=12 แบบ ลบออกได้ 60−12=4860-12=48 ตรงกัน

ตรวจวิธีคิด

ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็นรหัสที่ขึ้นต้นศูนย์ได้ คำตอบจะเป็นห้าคูณสี่คูณสาม ความต่างนี้ไม่ได้มาจากสูตร แต่เกิดจากนิยามผลลัพธ์ที่โจทย์อนุญาต

สรุป

  • การเรียงแยกคำตอบที่สลับตำแหน่ง
  • n!n! คือการเรียงของต่างกันครบ nn ชิ้น และ 0!=10!=1
  • Pn,r=n!(n−r)!P_{n,r}=\dfrac{n!}{(n-r)!} คือผลคูณ rr ตัวที่เริ่มจาก nn แล้วลดทีละหนึ่ง
  • ห้ามซ้ำทำให้จำนวนทางลดลงทีละหนึ่ง
  • กรณีติดกันต้องนับทั้งก้อนและภายในก้อน
  • กรณีห้ามติดกันหลายคน เรียงคนที่ไม่มีข้อห้ามก่อนแล้ววางลงช่องคั่น

ทุกข้อในหน้านี้สลับคนแล้วได้ผลลัพธ์ใหม่ แต่ถ้าเลือกคนไปเป็นทีมที่ไม่มีตำแหน่ง การสลับลำดับไม่ได้ทำให้ได้ทีมใหม่ หน้า 43.3 จะหาว่าต้องหารการนับซ้ำออกด้วยจำนวนเท่าไร