37.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ถ้าจำนวนผู้ชมคลิปเพิ่มเป็นสองเท่าทุกวัน จำนวนที่เพิ่มแต่ละวันจะไม่คงที่ แต่สัดส่วนระหว่างวันติดกันคงที่ การมีตัวแปรอยู่บนเลขชี้กำลังอธิบายการเปลี่ยนแปลงแบบนี้ได้

ลองเทียบคลิปสองคลิป ทั้งคู่มีผู้ชม $100$ คนในวันแรกที่ลง คลิปแรกมีคนดูเพิ่มวันละ $100$ คนเท่ากันทุกวัน คลิปที่สองมีคนแชร์ต่อ จำนวนผู้ชมจึงเพิ่มเป็นสองเท่าทุกวัน

สองวันแรกตัวเลขเท่ากันจนแยกไม่ออก แต่พอถึงวันที่ $10$ คลิปที่สองมีผู้ชมมากกว่าเกือบร้อยเท่า ความต่างนี้มาจากวิธีเพิ่ม คลิปแรกบวกจำนวนเท่าเดิมทุกวัน ส่วนคลิปที่สองคูณด้วยจำนวนเท่าเดิมทุกวัน ยิ่งจำนวนที่ถูกคูณโตขึ้น ส่วนที่เพิ่มก็ยิ่งโตตาม หน้านี้จะศึกษาฟังก์ชันที่อธิบายการคูณซ้ำแบบนี้

จากการคูณซ้ำสู่ฟังก์ชัน

ผู้ชมคลิปที่สองในวันที่ $t$ คือ $100$ คูณด้วย $2$ ไปอีก $t$ ครั้ง เขียนสั้นๆ ได้ว่า $N(t) = 100 \cdot 2^t$ สังเกตว่าตัวแปร $t$ อยู่บนเลขชี้กำลัง ไม่ได้อยู่ที่ฐาน ต่างจากฟังก์ชันกำลังสองในบทที่ 25 ที่ตัวแปรอยู่ที่ฐาน เช่น $x^2$

ถ้าถามจำนวนผู้ชมแค่วันเต็มๆ เลขชี้กำลังก็เป็นจำนวนนับ ใช้ความหมายเดิมจากบทที่ 14 ได้ทันที แต่ถ้าอยากรู้ค่าตอนกลางวันที่ $1$ กับวันที่ $2$ คือ $t = 1.5$ จะต้องใช้ $2^{1.5}$ ซึ่งหน้า 35.2 ให้ความหมายไว้แล้วว่า $2^{3/2} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}$ ประมาณ $2.83$ ส่วนเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนอตรรกยะอย่าง $2^{\sqrt{2}}$ ให้คิดว่าเป็นค่าที่ $2^{1.4}$ $2^{1.41}$ $2^{1.414}$ ขยับเข้าไปหาเรื่อยๆ เราจึงยกกำลังด้วยจำนวนจริงทุกจำนวนได้ และวาดกราฟเป็นเส้นต่อเนื่องได้

เงื่อนไขของฐานแต่ละข้อมีเหตุผล

• ฐานต้องบวกเพื่อให้กำลังทุกค่าจริงนิยามได้ ถ้าฐานเป็น $-4$ จะได้ $(-4)^{1/2} = \sqrt{-4}$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนจริง กราฟจะขาดเป็นจุดๆ
• ฐานเป็นศูนย์ไม่ได้ เพราะ $0^x$ เป็นศูนย์เมื่อ $x$ บวก และไม่มีความหมายเมื่อ $x$ เป็นศูนย์หรือติดลบ
• ถ้าฐานเป็นหนึ่งจะได้ฟังก์ชันคงตัว $1^x = 1$ ทุกค่า $x$ ไม่ใช่กรณีที่ศึกษาในบทนี้ และหน้าถัดไปจะเห็นว่าฟังก์ชันนี้ย้อนกลับไม่ได้

ส่วนจุด $(0, 1)$ มาจาก $a^0 = 1$ ในบทที่ 14 ทุกฐานจึงผ่านจุดนี้เหมือนกันหมด ไม่ว่าฐานจะเป็นเท่าไร

ฐานกำหนดทิศการเปลี่ยน

สำหรับ $2^x$ เมื่อ $x=-2,-1,0,1,2$ ได้ $1/4,1/2,1,2,4$ ส่วน $(1/2)^x=2^{-x}$ มีค่ากลับลำดับ

อ่านตารางแถวบนจากซ้ายไปขวา ทุกครั้งที่ $x$ เพิ่มหนึ่ง ค่าถูกคูณด้วย $2$ ค่าจึงโตขึ้นเรื่อยๆ อ่านแถวล่าง ทุกครั้งที่ $x$ เพิ่มหนึ่ง ค่าถูกคูณด้วย $\tfrac{1}{2}$ คือถูกแบ่งครึ่ง ค่าจึงเล็กลงเรื่อยๆ ทั้งสองแถวไม่เคยเป็นศูนย์หรือติดลบ เพราะแบ่งครึ่งจำนวนบวกกี่ครั้งก็ยังได้จำนวนบวก แค่เล็กลงจนเกือบศูนย์ แกน $x$ จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอนที่กราฟเข้าใกล้แต่ไม่แตะ

กราฟสองเส้นสะท้อนกันข้ามแกน $y$ เพราะ $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ ค่าของเส้นเขียวที่ $x$ จึงเท่ากับค่าของเส้นส้มที่ $-x$ การเขียนตารางช่วยตรวจว่ากราฟที่วาดเพิ่มหรือลดถูกด้าน

ถ้า $a>1$ กราฟเพิ่ม ถ้า $0<a<1$ กราฟลด แม้ค่าจะเข้าใกล้ศูนย์แต่ไม่เคยเป็นศูนย์ ฐานยิ่งห่างจาก $1$ กราฟยิ่งชัน เพราะตัวคูณต่อหนึ่งหน่วยใหญ่ขึ้น (หรือเล็กลงมาก) ลองเลื่อนฐานในกราฟข้างล่างดู ตอนนี้ให้ดูแค่เส้นสีส้ม เส้นประเขียวจะใช้ในหน้าถัดไป

ข้อนี้ใช้ทิศของกราฟแทนการคำนวณ ซึ่งสำคัญมากในหน้า 37.3 เพราะการแก้อสมการก็คือการเทียบค่าแบบนี้ แต่ย้อนจากค่าไปหาเลขชี้กำลัง

เลื่อนกราฟ

กราฟ $y = a^{x-h}+k$ ได้จากการเลื่อน $y = a^x$ ไปทางขวา $h$ หน่วยและขึ้น $k$ หน่วย หลักเดียวกับการเลื่อนพาราโบลาในบทที่ 25 การเลื่อน $a^{x-h}+k$ ย้ายจุด $(0,1)$ ไปเป็น $(h,1+k)$ และย้ายเส้นกำกับแนวนอนจาก $y=0$ ไปเป็น $y=k$ เรนจ์จึงเป็น $(k,\infty)$ เมื่อไม่มีการสะท้อน

เหตุผลของเรนจ์ไม่ต้องจำ ให้คิดเป็นสองขั้น ขั้นแรก $a^{x-h}$ เป็นบวกเสมอ ขั้นสองบวก $k$ เข้าไปทุกค่า จึงได้ผลมากกว่า $k$ เสมอ แต่ $a^{x-h}$ เล็กลงจนเกือบศูนย์ได้ ผลจึงเข้าใกล้ $k$ ได้มากเท่าไรก็ได้แต่ไม่ถึง การหาเรนจ์ด้วยการไล่ขอบเขตแบบนี้ใช้วิธีเดียวกับหน้า 36.3

เทียบผลต่างกับอัตราส่วน

ถ้าเวลาห่างกันเท่ากัน แบบจำลองเชิงเส้นรักษาผลต่าง แต่แบบจำลองเอกซ์โพเนนเชียลรักษาอัตราส่วน การตรวจนี้ช่วยเลือกสูตรก่อนวาดกราฟ ย้อนไปดูตารางคลิปตอนต้นหน้า คลิปแรกมีผลต่างวันละ $100$ เท่ากันหมด คลิปที่สองมีอัตราส่วนวันถัดไปต่อวันก่อนเป็น $2$ เท่ากันหมด

การมีตัวคูณหน้า $a^t$ ไม่เปลี่ยนอัตราส่วนต่อหนึ่งหน่วยเวลา แต่เปลี่ยนค่าตั้งต้นที่ $t=0$ อย่าสับสนฐานสามกับตัวคูณสี่ เพราะทำหน้าที่คนละส่วนของแบบจำลอง

ร้อยละที่เพิ่มคงที่ก็เป็นอัตราส่วนคงที่เช่นกัน หน้า 35.3 แสดงว่าเพิ่ม $10\%$ คือคูณด้วย $1.1$ ถ้าราคาขนมกล่องหนึ่งเป็น $50$ บาทและขึ้นปีละ $10\%$ ราคาหลัง $t$ ปีคือ $50(1.1)^t$ หลังสองปีได้ $50 \times 1.21 = 60.5$ บาท ไม่ใช่ $60$ บาท เพราะปีที่สองขึ้นจากราคาใหม่ $55$ บาท ไม่ใช่จากราคาเดิม

ถ้าถามกลับว่าคลิปที่สองจะมีผู้ชมถึง $10000$ คนในวันไหน เราต้องแก้ $100 \cdot 2^t = 10000$ หรือ $2^t = 100$ ตัวไม่รู้อยู่บนเลขชี้กำลัง และไม่มีจำนวนเต็มใดทำให้ $2^t = 100$ พอดี หน้าถัดไปจะสร้างเครื่องมือชื่อลอการิทึมไว้ตอบคำถามแบบนี้

สรุป

• $f(x) = a^x$ มีตัวแปรอยู่บนเลขชี้กำลัง ฐานต้องบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง
• โดเมนทุกจำนวนจริง เรนจ์บวก ทุกฐานผ่าน $(0, 1)$
• ฐานมากกว่าหนึ่งเพิ่ม ฐานระหว่างศูนย์กับหนึ่งลด
• การเลื่อนแนวตั้งเปลี่ยนเรนจ์และเส้นกำกับ
• ผลต่างคงที่คือเชิงเส้น อัตราส่วนคงที่คือเอกซ์โพเนนเชียล