37.5 แบบฝึกหัด

เขียนทั้งสองข้างเป็นกำลังของฐานเดียวกันก่อน $32=2^5$ สมการจึงเป็น $2^{x+1}=2^5$

ฟังก์ชัน $2^x$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ฐานเท่ากันแล้วเลขชี้กำลังต้องเท่ากัน ได้ $x+1=5$ แล้ว $x=4$

ตรวจ $2^{4+1}=2^5=32$ ถูกต้อง

ถามว่ายก $5$ กำลังเท่าไรจึงได้ $\tfrac{1}{125}$ เขียน $125=5^3$ แล้วใช้เลขชี้กำลังลบ $\tfrac{1}{125}=5^{-3}$

จึงได้ $\log_5(1/125)=-3$ คำตอบติดลบได้ เพราะอาร์กิวเมนต์ $\tfrac{1}{125}$ น้อยกว่า $1$ ขณะที่ฐานมากกว่า $1$

ขั้นแรกหาโดเมน ต้องมี $x-2>0$ และ $x+2>0$ พร้อมกัน จึงได้ $x>2$

รวมเป็นลอการิทึมของผลคูณ $\log_3\big((x-2)(x+2)\big)=2$ แล้วเปลี่ยนเป็นรูปกำลัง $x^2-4=3^2=9$ ได้ $x^2=13$ จึงมีราก $\pm\sqrt{13}$

$-\sqrt{13}$ ทำให้ $x-2$ ติดลบ ไม่ผ่านโดเมน รับเพียง $\sqrt{13}$ ซึ่งประมาณ $3.61$ มากกว่า $2$ จริง

ฐาน $\tfrac{1}{2}$ อยู่ระหว่างศูนย์กับหนึ่ง ฟังก์ชัน $(1/2)^x$ จึงลด ค่าที่น้อยกว่ามาจากเลขชี้กำลังที่มากกว่า

จึงต้องกลับทิศเมื่อเทียบเลขชี้กำลัง ได้ $x-1>3$ หรือ $x>4$

ตรวจด้วย $x=5$ ทางซ้ายได้ $(1/2)^4=\tfrac{1}{16}$ ซึ่งน้อยกว่า $(1/2)^3=\tfrac{1}{8}$ จริง

เริ่มจากส่วนที่เป็นกำลัง $3^x>0$ ทุกค่า $x$ บวก $2$ ทั้งสองข้างได้ $f(x)>2$

$3^x$ เล็กลงเข้าใกล้ศูนย์ได้เรื่อยๆ เมื่อ $x$ ติดลบมาก แต่ไม่เคยเป็นศูนย์ $f(x)$ จึงเข้าใกล้สองแต่ไม่เท่ากับสอง และใหญ่ได้ไม่จำกัด เรนจ์คือ $(2,\infty)$ เส้นกำกับแนวนอนคือ $y=2$

ตั้งแบบจำลอง $150(2^t)=2400$ เมื่อ $t$ นับเป็นชั่วโมง

หารด้วยค่าเริ่ม $150$ ก่อน ให้กำลังอยู่ลำพัง ได้ $2^t=16=2^4$ จึงมี $t=4$ ชั่วโมง

ตรวจ $150 \to 300 \to 600 \to 1200 \to 2400$ คูณสองสี่ครั้งพอดี

ตั้งแบบจำลองครึ่งชีวิต $96(1/2)^{t/3}=12$ เมื่อ $t$ นับเป็นวัน

หารด้วย $96$ ได้ $(1/2)^{t/3}=\tfrac{12}{96}=\tfrac{1}{8}=(1/2)^3$ ฐานเดียวกันจึงได้ $t/3=3$ คือผ่านไปสามรอบครึ่งชีวิต

แต่ละรอบยาว $3$ วัน จึงได้ $t=9$ วัน ตรวจ $96 \to 48 \to 24 \to 12$

เลือก $a=2$ และ $M=N=2$ จะได้ข้างซ้าย $\log_2 4=2$ และข้างขวา $1+1=2$ ซึ่งยังไม่หักล้าง จึงเลือก $M=2,N=4$ แทน ข้างซ้าย $\log_2 6$ แต่ขวา $3$ และ $2^3=8\ne6$ เกณฑ์ตรวจคือต้องได้ค่าต่างกันจริงและทุกอาร์กิวเมนต์บวก

เปลี่ยน pH กลับเป็นความเข้มข้นตามนิยามลอการิทึม $\text{pH} = 2$ แปลว่า $\log[\text{H}^+] = -2$ จึงได้ $[\text{H}^+] = 10^{-2}$ ส่วนกาแฟได้ $10^{-5}$

อัตราส่วนคือ $\dfrac{10^{-2}}{10^{-5}} = 10^{-2-(-5)} = 10^3 = 1000$ เท่า

pH ต่างกัน $3$ หน่วย แต่ละหน่วยคือสิบเท่า สามหน่วยจึงเป็น $10 \times 10 \times 10$ ไม่ใช่ $3$ เท่า และไม่ใช่ $\tfrac{5}{2}$ เท่า

ขึ้น $10\%$ คือคูณด้วย $1.1$ หลัง $n$ ปีราคาเป็น $100(1.1)^n$ ต้องการ $100(1.1)^n \ge 200$ หรือ $(1.1)^n \ge 2$

ใส่ $\log$ ทั้งสองข้างแล้วย้ายกำลังลงมา $n\log 1.1 \ge \log 2$ เพราะ $\log 1.1$ เป็นบวก หารแล้วทิศเดิม ได้ $n \ge \dfrac{\log 2}{\log 1.1}$ ประมาณ $7.27$

ราคาเปลี่ยนปีละครั้ง จึงตรวจจำนวนเต็มข้างเคียง $(1.1)^7$ ประมาณ $1.949$ ยังไม่ถึง $2$ ส่วน $(1.1)^8$ ประมาณ $2.144$ ถึงแล้ว คำตอบคือ $8$ ปี

ถ้าคิดว่าขึ้นปีละ $10$ บาทเท่ากันทุกปีจะได้ $10$ ปี ซึ่งผิด เพราะการขึ้นเป็นร้อยละของราคาใหม่ ไม่ใช่ของราคาเดิม