50.5 แบบฝึกหัด

1. ตารางการแจกแจงที่ใช้ได้ต้องมีความน่าจะเป็นรวมทุกค่าเท่ากับ $1$
2. ตั้งสมการ $0.1+0.6+c=1$
3. ย้ายข้างได้ $c=1-0.1-0.6=0.3$ ค่านี้ไม่ติดลบ ตารางจึงใช้ได้

ตรวจสี่เงื่อนไขของทวินามทีละตัวเลือก คือจำนวนครั้งคงที่ แต่ละครั้งมีสองผล โอกาสสำเร็จเท่ากันทุกครั้ง และแต่ละครั้งเป็นอิสระ

1. โยนเหรียญอิสระสิบครั้งแล้วนับหัว จำนวนครั้งคงที่ $n=10$ แต่ละครั้งได้หัวหรือก้อย โอกาสหัวเท่ากันทุกครั้ง และการโยนไม่ขึ้นต่อกัน ครบทั้งสี่ข้อ จึงเป็น $B(10,p)$
2. หยิบสองลูกไม่คืนแล้วนับแดง โอกาสได้แดงในครั้งที่สองขึ้นกับว่าครั้งแรกได้แดงหรือไม่ จึงขาดเงื่อนไขโอกาสคงที่และความเป็นอิสระ
3. เวลารอรถเป็นค่าที่วัดได้ต่อเนื่อง ไม่ใช่จำนวนครั้งที่สำเร็จ จึงไม่ใช่ทวินาม

คำตอบคือข้อแรก

1. ค่าคาดหมายคือผลบวกของค่าแต่ละค่าคูณโอกาสของค่านั้น $E(X)=\sum xp(x)$
2. $E(X)=0(0.6)+5(0.4)=0+2=2$
3. ค่า $2$ อยู่ใกล้ $0$ มากกว่า $5$ เพราะ $X=0$ มีโอกาสมากกว่า สมเหตุสมผล

1. ให้ $X$ เป็นจำนวนหัว การโยนเป็นอิสระ จำนวนครั้งคงที่ และโอกาสหัวเท่ากัน จึงได้ $X\sim B(3,1/2)$
2. ลำดับที่มีหัวพอดีหนึ่งครั้งคือ HTT THT TTH มี $\binom31=3$ ลำดับ แต่ละลำดับมีโอกาส $(1/2)^1(1/2)^2=1/8$
3. $P(X=1)=\binom31(1/2)^1(1/2)^2=3\times\dfrac18=\dfrac38$

1. ความสูงของโค้งปกติที่จุดหนึ่งคือความหนาแน่น บอกว่าค่าแถวนั้นเกิดหนาแน่นแค่ไหน แต่ยังไม่ใช่ความน่าจะเป็น
2. ความน่าจะเป็นของตัวแปรต่อเนื่องคือพื้นที่ใต้โค้งบนช่วง ซึ่งเท่ากับความสูงโดยประมาณคูณความกว้างของช่วง
3. จุดเดี่ยวมีความกว้างศูนย์ พื้นที่จึงเป็นศูนย์ ความน่าจะเป็นที่ได้ค่าใดค่าหนึ่งพอดีจึงเป็นศูนย์ แม้ค่านั้นเป็นไปได้และความสูงของโค้งตรงนั้นเป็นบวก
4. ผลที่ตามมาคือ $P(a\le X\le b)=P(a<X<b)$ สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง

1. ให้ $X$ เป็นรางวัล $X=20$ ด้วยโอกาส $1/4$ และ $X=0$ ด้วยโอกาส $3/4$
2. รางวัลคาดหมาย $E(X)=20\cdot\dfrac14+0\cdot\dfrac34=5$ บาท
3. กำไรสุทธิคือ $X-6$ ใช้สมบัติ $E(X+b)=E(X)+b$ ได้ $5-6=-1$ บาท
4. เกมนี้เสียเปรียบผู้เล่นเฉลี่ยครั้งละ $1$ บาท จะเป็นเกมยุติธรรมเมื่อค่าเล่นเท่ากับ $5$ บาท

1. นับชิ้นเสีย จึงให้ชิ้นเสียเป็นสำเร็จ ชิ้นงานอิสระกัน จำนวนชิ้นคงที่ และโอกาสเสียเท่ากันทุกชิ้น ได้ $X\sim B(30,0.1)$
2. ค่าคาดหมายของทวินามคือ $E(X)=np=30(0.1)=3$ ชิ้น
3. ค่านี้เป็นค่าเฉลี่ยระยะยาว การตรวจแต่ละรอบอาจพบเสียมากหรือน้อยกว่า $3$ ชิ้นได้

1. แปลงขอบเป็นคะแนนมาตรฐาน $z=\dfrac{115-100}{15}=1$ ตัวหารคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $15$ ไม่ใช่ความแปรปรวน $225$
2. $P(X>115)=P(Z>1)$ เป็นพื้นที่หางขวา
3. $\Phi(1)=0.8413$ เป็นพื้นที่ทางซ้าย หางขวาจึงเท่ากับ $1-0.8413=0.1587$
4. ตรวจด้วยกฎ 68 95 99.7 นอกช่วง $\mu\pm\sigma$ มีราว $32\%$ แบ่งสองข้างได้ข้างละราว $16\%$ ใกล้กับ $0.1587$

1. ทุกเลขที่มีโอกาส $1/40$ เท่ากัน $X$ จึงมีการแจกแจงเอกรูป โอกาสของเหตุการณ์เท่ากับจำนวนค่าที่เข้าเงื่อนไขหารด้วย $40$
2. หารด้วย $5$ ลงตัวคือ $5,10,\ldots,40$ มี $40/5=8$ ค่า
3. มากกว่า $36$ คือ $37,38,39,40$ มี $4$ ค่า
4. ค่า $40$ อยู่ในทั้งสองกลุ่ม ใช้หลักการบวกแบบหักส่วนซ้ำ ได้ $8+4-1=11$ ค่า ไม่ใช่ $12$ ค่า
5. ตรวจด้วยการไล่ค่า $5,10,15,20,25,30,35,37,38,39,40$ ได้ $11$ ค่า โอกาสจึงเป็น $11/40=0.275$

1. กลุ่มร้อยละ $2.5$ บนสุดคือพื้นที่หางขวา $0.025$ พื้นที่ทางซ้ายของคะแนนตัดจึงเป็น $1-0.025=0.975$
2. ตารางให้ $\Phi(1.96)=0.9750$ คะแนนตัดจึงมีคะแนนมาตรฐาน $z=1.96$ เป็นบวกเพราะอยู่เหนือค่าเฉลี่ย
3. แปลงกลับจาก $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ ได้ $x=\mu+z\sigma=50+1.96(15)=50+29.4=79.4$ คะแนน
4. ตรวจความสมเหตุสมผล ตามกฎ 68 95 99.7 ราว $95\%$ อยู่ใน $\mu\pm2\sigma$ หางขวาจึงมีราว $2.5\%$ เหนือ $50+2(15)=80$ คำตอบ $79.4$ ใกล้ $80$ ตรงกัน