45.7 แบบฝึกหัด

ผลต่างของคู่แรกคือ $7 - 4 = 3$ และคู่ถัดไป $10 - 7 = 3$ เท่ากัน จึงเป็นลำดับเลขคณิตที่มี $a_1 = 4$ และ $d = 3$

จากพจน์แรกถึงพจน์ที่ $12$ บวก $d$ ไป $12 - 1 = 11$ ครั้ง เพราะพจน์แรกยังไม่ได้บวกเลย

$a_{12} = a_1 + 11d = 4 + 11(3) = 37$

ตรวจอัตราส่วนของพจน์ติดกันทุกคู่ในแต่ละตัวเลือก

$3,6,9,12$ มีอัตราส่วน $6/3 = 2$ แต่ $9/6 = 1.5$ ไม่คงที่ ลำดับนี้มีผลต่างคงที่ $3$ จึงเป็นเลขคณิต

$3,6,12,24$ มีอัตราส่วน $6/3 = 12/6 = 24/12 = 2$ ทุกคู่ จึงเป็นเรขาคณิต

$1,2,4,7$ มีอัตราส่วน $2/1 = 2$ แต่ $7/4$ ไม่เท่ากับ $2$ และผลต่าง $1, 2, 3$ ก็ไม่คงที่ จึงไม่ใช่ทั้งสองชนิด คู่แรกที่หารได้ $2$ หลอกให้เดาผิดได้

เป็นอนุกรมเลขคณิต $a_1 = 1$ และ $a_{20} = 20$ มี $20$ พจน์

จับคู่หัวท้าย $1 + 20 = 21$, $2 + 19 = 21$ ไปเรื่อยๆ ได้ $10$ คู่ ทุกคู่รวม $21$

$S_{20} = \dfrac{20}{2}(1 + 20) = 10 \times 21 = 210$

ลำดับเรขาคณิต $a_1 = 3$ และ $r = 2$ พจน์ทั่วไปคือ $a_n = 3(2)^{n-1}$

พจน์ที่หกคูณ $r$ ไป $6 - 1 = 5$ ครั้ง จึงได้ $a_6 = 3(2)^5 = 3 \times 32 = 96$

ตรวจโดยไล่พจน์ $3, 6, 12, 24, 48, 96$ พจน์ที่หกคือ $96$ ตรงกัน

วาดเส้นเวลาจุด $0$ ถึง $3$ เงินฝากอยู่ที่จุด $1$, $2$ และ $3$ ส่วนวันประเมินคือจุด $3$

ก้อนแรกฝากที่จุด $1$ อยู่ในบัญชีจนถึงจุด $3$ ครบสองปี จึงคูณ $1+i$ สองครั้ง ได้ตัวคูณ $(1+i)^2$

ก้อนที่สองฝากที่จุด $2$ อยู่หนึ่งปี ได้ตัวคูณ $1+i$

ก้อนสุดท้ายเพิ่งฝากที่จุด $3$ ยังไม่มีเวลาได้ดอกเบี้ย ตัวคูณจึงเป็น $1$

รวมกันได้ $R\big(1 + (1+i) + (1+i)^2\big)$ เป็นอนุกรมเรขาคณิตสามพจน์ที่มีอัตราส่วน $1+i$

ทบต้นปีละครั้ง อัตราต่องวด $i = 0.04$ และ $n = 2$ งวด

ปีแรก $5000(1.04) = 5200$ บาท ปีที่สองคิดดอกเบี้ยจาก $5200$ ไม่ใช่ $5000$ ได้ $5200(1.04) = 5408$ บาท

หรือใช้สูตร $F = P(1+i)^n = 5000(1.04)^2 = 5408$ บาท

วาดเส้นเวลา เงินฝากอยู่ที่ปลายปีที่หนึ่งและปลายปีที่สอง วันประเมินคือปลายปีที่สอง

ก้อนแรกอยู่ในบัญชีหนึ่งปี โตเป็น $2000(1.03) = 2060$ บาท

ก้อนหลังเพิ่งฝากวันประเมิน ยังเป็น $2000$ บาท

รวม $2060 + 2000 = 4060$ บาท ตรงกับสูตร $2000\dfrac{(1.03)^2 - 1}{0.03} = 4060$

อัตราส่วนของทุกคู่คือ $\tfrac12$ เช่น $2 \div 4$ และ $1 \div 2$ จึงเป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = 4$ และ $r = \tfrac12$

$|r| = \tfrac12$ น้อยกว่าหนึ่ง อนุกรมจึงลู่เข้า ใช้สูตร $S = \dfrac{a_1}{1-r} = \dfrac{4}{1 - 1/2} = 8$

ตรวจด้วยผลรวมย่อย $4, 6, 7, 7.5, 7.75, \ldots$ เข้าใกล้ $8$ จริง

1. อัตราให้มาเป็นต่อเดือนแล้ว จึงใช้ $i = 0.01$ ได้ทันที และ $n = 12$ งวด
2. ยอดกู้วันนี้เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่างวด $12$ งวด $12000 = R\dfrac{1-(1.01)^{-12}}{0.01}$
3. แก้หา $R$ ได้ $R = \dfrac{12000(0.01)}{1-(1.01)^{-12}} = \dfrac{120}{1-(1.01)^{-12}}$
4. $(1.01)^{-12}$ ประมาณ $0.887449$ ตัวส่วนประมาณ $0.112551$ จึงได้ $R$ ประมาณ $1066.19$ บาท
5. ตรวจความสมเหตุสมผล ถ้าไม่มีดอกเบี้ยจะผ่อนเดือนละ $1000$ บาท ค่างวดจริงต้องมากกว่านั้น แต่น้อยกว่าแบบอัตราคงที่ที่คิดดอกเบี้ยจากยอดเต็มทุกเดือน $\dfrac{12000 + 12000(0.01)(12)}{12} = 1120$ บาท

1. เศษและส่วนโตไม่สิ้นสุดทั้งคู่ ใช้ทฤษฎีบทผลหารตรงๆ ไม่ได้ ต้องจัดรูปก่อน
2. กำลังสูงสุดในตัวส่วนคือ $n^2$ หารทุกพจน์ด้วย $n^2$ ได้ $a_n = \dfrac{4 - 3/n}{2 + 5/n^2}$
3. $\tfrac3n \to 0$ และ $\tfrac{5}{n^2} \to 0$ เศษเข้าใกล้ $4$ ส่วนเข้าใกล้ $2$ ซึ่งไม่ใช่ศูนย์
4. ทฤษฎีบทผลหารให้ลิมิต $\dfrac{4}{2} = 2$